圓的有關性質

24.1圓的有關性質一、圓的概念1、圓：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓。其固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。以點O為圓心的圓，記作⊙O，讀作“圓O”。注：①圓上各點到定點(圓心O)的距離都等于定長(半徑r)；到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上；②圓心為O、半徑為的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合。2、圓的兩要素：圓心（定點）、半徑（定長）。注：①同心圓：圓心重合、半徑不同的圓是同心圓；②等圓：半徑相等的圓是等圓。二、圓的相關概念1、弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。2、直徑：經過圓心的弦叫做直徑。3、圓弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A,B為端點的弧記作AB,讀作“圓弧AB”或“弧AB”。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。4、等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓。半徑相等的兩個圓是等圓；反過來，同圓或等圓的半徑相等。5、等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。三、垂直于弦的直徑1、圓的對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸。2、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論：平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。四、弧、弦、圓心角1、圓心角的概念：我們把頂點在圓心的角叫做圓心角。2、弧、弦、圓心角之間的關系：（1）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；（2）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等；（3）在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對應的圓心角相等，所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等。五、圓周角1、圓周角的概念：把頂點在圓周，并且兩邊都與圓相交，這樣的角叫做圓周角；2、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；3、圓周角定理的推論：（1）同弧或等弧所對的圓周角相等。（2）半圓所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。六、圓內接多邊形1、圓內接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。2、圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補。題型一圓的相關概念的理解【例1】到O點距離為2的點的集合是．【答案】以點O為圓心，以2為半徑的圓【變式11】下列命題：①長度相等的弧是等?。虎谥睆绞菆A中最長的弦；③相等的圓心角所對的弦相等；④半圓是?。渲姓婷}共有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【解析】解：完全重合的弧為等弧，長度相等的弧不一定是等弧，故①錯誤；直徑是圓中最長的弦，故②正確；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所以③錯誤；圓的直徑的兩個端點把圓周分成兩條弧，每一條弧叫做半圓，故半圓是弧，符合半圓的概念，故④正確；綜上分析可知，真命題有2個．故選：C．【變式12】下列條件中，能確定一個圓的是（

）A．以點O為圓心 B．以2cmC．以點O為圓心，10cm長為半徑 D．經過點【答案】C【解析】解：∵圓心確定，半徑確定后才可以確定圓，∴C選項正確.【變式13】若⊙O的直徑長為4，點A，B在⊙O上，則AB的長不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】解：∵若⊙O的直徑長為4，點A，B在⊙O上，∴AB的長不可能是5，故選：D．【變式14】在同一平面內，點P到圓上的點的最大距離為6，最小距離為4，則此圓的半徑為（

）A．2 B．5 C．1 D．5或1【答案】D【解析】解：分兩種情況討論：①如圖1，當點P在圓外時，此時PA=6，PB=4，∴此圓的半徑為6-42②如圖2，當點P在圓內時，此時PA=6，PB=4，∴此圓的半徑為6+42綜上可知，此圓的半徑為1或5，故選：D．題型二求圓中弦的條數(shù)【例2】如圖，點A，O，D，點C，D，E以及點B，O，C分別在一條直線上，則圓中弦的條數(shù)為（

）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【答案】A【解析】解：圖中的弦有BC，CE共2條．故選：A．【變式21】如圖所示，在⊙O中，點A，O，D以及點B，O，C分別在一條直線上，則圖中的弦有(

)A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【答案】B【解析】解：圖中的弦有AB，BC，CE共三條，故選B．【變式22】如圖，在⊙O中，點A、O、D和點B、O、C分別在一條直線上，圖中共有條弦，它們分別是．【答案】三AE，DC，AD【解析】解：圖中的弦有AE，DC，AD共三條【變式23】如圖，⊙O中，點A、O、D以及點B、O、C分別在一條直線上，圖中弦的條數(shù)有條．【答案】三【解析】解：根據弦的定義可得：圖中的弦有AB，BC，CE共三條．【變式24】如圖，△ABC是⊙O內接三角形，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖．（1）在圖1中，畫山一條與BC相等的弦；（2）在圖2中，畫出一個與△ABC全等的三角形．【答案】見解析【解析】解：（1）如圖1，DE為所作；連結CO并延長交⊙O于E，連接BO并延長交⊙O于D，連結∵OB=OD=OE=OC，在△BOC和△DOE中，OC=∴△BOC≌△DOE（SAS），∴BC=DE；（2）如圖2，△A′B′C′為所作．連結AO并延長交⊙O于A′，OA=OA′，連結BO并延長交⊙O于B′，OB=OB′，連結CO并延長交⊙O于C′在△BOC和△B′OC′中，OC=∴△BOC≌△B′OC′（SAS），∴BC=B′C′；同理可證△BOA≌△B′OA′（SAS），∴AB=A′B′，同理可證△AOC≌△A′OC′（SAS），∴AC=A′C′，在△ABC和△A′B′C′中，AB=∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．題型三圓的周長和面積問題【例3】由所有到已知點O的距離大于或等于1，并且小于或等于2的點組成的圖形的面積為（

）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】C【解析】解：由所有到已知點O的距離大于或等于1，并且小于或等于2的點組成的圖形的面積為以2為半徑的圓與以1為半徑的圓組成的圓環(huán)的面積，即π×22【變式31】如圖，一塊四邊形綠化園地，四角都做有半徑為R的圓形噴水池，則這四個噴水池占去的綠化園地的面積為（

）A．2πR2 B．4πR2 C【答案】C【解析】解：因為四邊形內角和為360°，所以四個噴水池的面積之和正好等于一個半徑為R的圓的面積，即這四個噴水池占去的綠化園地的面積為πR2【變式32】小麗用圓規(guī)畫了一個半徑為2cm的圓，小杰用12.56cm的線圍成一個圓．下列說法正確的是（A．兩個圓一樣大 B．小杰圍的圓大 C．小麗畫的圓大 D．無法確定兩個圓的大小【答案】A【解析】解：∵小麗用圓規(guī)畫的圓的半徑為2cm∴小麗用圓規(guī)畫的圓的周長為：2×3.14×2=12.56cm∴小麗與小杰所得的圓一樣大，故選：A．【變式33】圓的面積擴大為原來的4倍，則半徑（

）A．擴大為4倍 B．擴大為16倍 C．不變 D．擴大為2倍【答案】D【解析】解：設原來圓面積為S，當圓的面積擴大為原來的4倍，即4S，根據圓面積公式S=πr2，那么4【變式34】如圖，大螞蟻沿著大圓爬一圈，小螞蟻沿著兩個小圓各爬了一圈．誰爬的路程長？請通過計算說明．【答案】大螞蟻和小螞蟻爬的路程一樣長，見解析【解析】解：大圓的周長=20π，兩個小圓的周長和=2×∴大圓的周長＝兩個小圓的周長和，∴大螞蟻和小螞蟻爬的路程一樣長．題型四利用垂徑定理求解【例4】如圖，⊙O的半徑為5,M是圓外一點，MO=6，∠OMB=30°,MB交⊙O于點A,B，則弦AB的長為（

）A．4 B．6 C．63 D．【答案】D【解析】解：過O作OC⊥AB于C，連接OA，則∠OCA=90°，∵MO=6，∠OMA=30°，∴OC=1在Rt△OCA中，由勾股定理得：AC=∵OC⊥AB，∴BC=AC，即AB=2AC=2×4=8，故選：D．【變式41】將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B．42 C．43 D【答案】C【解析】解：作OD⊥AB于C，交小圓于D，則CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4∴OC=2∴AC=OA∴AB=2AC=4【變式42】興隆蔬菜基地建圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB=16m，半徑OA=10m，高度CD為【答案】4【解析】解：根據題意得，在Rt△ADO中，AB=16m∴OC=OA=10m，AD∴CD=【變式43】如圖，⊙O的直徑為10cm，弦AB=8cm,P是弦AB上的一個動點，則OP【答案】3【解析】解：當點P與點AB，重合時，此時OP最長，為⊙∵⊙O的直徑為10∴OP的長的最大值為5cm當OP⊥AB時，如圖：連接OA,則：AP=12在Rt△OPA中，∴3cm【變式44】在半徑為10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，則AB與CD之間的距離是【答案】2或14【解析】解：①當弦AB與CD在圓心同側時，如圖①，過點O作OF⊥AB，垂足為F，交CD于點E，連接∵AB∥∴OE⊥∵AB=12∴CE=8∵OA=∴由勾股定理得：EO=102∴EF=②當弦AB與CD在圓心異側時，如圖，過點O作OE⊥CD于點E，反向延長OE交AB于點F，連接同理EO=102EF=所以AB與CD之間的距離是2或14．題型五垂徑定理的推理的理解【例5】如圖，⊙O的半徑為4，將⊙O的一部分沿著弦AB翻折，劣弧恰好經過圓心O．則折痕AB的長為（

）A．3 B．23 C．6 D．【答案】D【解析】解：過點O作OC⊥AB與AB交于點D，交⊙O于點C根據題意可得：OD=∵OC⊥∴AD=BD在Rt△OAD中，AB=2AD=4【變式51】如圖所示，⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AM=BM,OM:OC=3:5，則AB的長為（

A．8cm B．91cm C．6cm【答案】A【解析】解：連接AO，∵⊙O的直徑為10∴OA=∵OM:∴OM=3∵AM=∴OC⊥在Rt△OMA中，∴AB=2AM=8【變式52】如圖，⊙O的弦AB=6，C為AB的中點，且OC=4，則⊙O的半徑為（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】C【解析】解：連接OA，OB，如圖所示：∵OA和OB是⊙∴OA又∵C為AB的中點，且AB=6∴AC=1∴∠OCA在Rt△AOC中，∠OCA∴OA∴⊙O的半徑為：5，故選C【變式53】如圖，點A、B、C三點在⊙O上，點D為弦AB的中點，AB=8cm，CD=6cm，則A．43cm B．53cm C．83【答案】B【解析】解：連接OA，設OA=則OC=∵點D為弦AB的中點，O為圓心，∴OD∵AB∴AD∵CD∴OD在Rt△AOD中，由勾股定理得∴r解得r=∴OD=53【變式54】如圖，已知在半圓AOB中，AD=DC，∠CAB=30°，AB=8，求AD的長．【答案】AD【解析】解：連接OD交AC于E，如圖，∵AD=∴AD=∴OD⊥∴∠AEO∵∠CAB∴∠AOE而OA=∴△OAD∴AD=題型六垂徑定理的實際應用【例6】一輛裝滿貨物，寬2.4m的卡車，欲通過如圖所示的隧道（截面上部為半圓形，下部為長4m，寬2.5mA．4.1m B．4.0m C．3.9m【答案】A【解析】解：∵車寬2.4米，∴欲通過如圖的隧道，只要比較距隧道中線1.2米處的高度與車高，在Rt△CD=OCCH=∴卡車的外形高必須低于4.1米.故選：A.【變式61】如圖是一個圓柱形輸水管橫截面的示意圖，陰影部分為有水部分，如果水面AB的寬為8cm，水面最深的地方高度為2A．5cm B．6cm C．7cm【答案】A【解析】作半徑OD⊥AB于C，連接設圓的半徑是rcm，∵CD=2∴OC=(∵OD⊥∴AC=∵OA∴r2∴r=5∴該輸水管的半徑為5cm，故選：A【變式62】唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代明輪航行模式之先導．如圖，某槳輪船的輪子被水面截得的弦AB長8m，輪子的吃水深度CD為2m，則該槳輪船的輪子直徑為（A．10m B．8m C．6m【答案】A【解析】解：設半徑為r，則OA=∴OD∵AB∴AD在Rt△ODAOA2r2解得r=5則該槳輪船的輪子直徑為10m，故選：A．【變式63】一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的截面圓半徑OB=10，截面圓圓心O到水面的距離OC=6，求水面的寬AB．【答案】16【解析】解：∵截面圓圓心O到水面的距離OC=6∴OC∴AB在Rt△BC=∴答：水面寬AB長為16．【變式64】如圖，一座石橋的主橋拱是圓弧形，某時刻測得水面AB寬度為6米，拱高CD（弧的中點到水面的距離）為1米，若水面下降1米，則此時水面的寬度為（

）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【答案】D【解析】解：如圖，以O為圓心，連接OC、由題意可得，D為弧AB的中點，∴∠AOD∵OA=∴OD⊥設OD=r，則在Rt△AOC中，OA∴r2解得：r=5∴主橋拱所在圓的半徑5m由題意得，水面下降為EF，連接OE，∵水面下降1米，∴OG=則EG=∴EF=2EG=8m，即水面的寬度為題型七利用弧、弦、圓心角求解【例7】如圖，點A，B，C，D，E均在⊙O上，AB=CD，∠CED=21°，則∠AOB的度數(shù)是（A．69° B．48° C．42° D．21°【答案】C【解析】解：連接OC,∵AB=∴∠AOB∵∠COD∴∠AOB=42°，故選：【變式71】如圖，EF、CD是⊙O的兩條直徑，A是劣弧DF的中點，若∠EOD=32°，則∠CDA的度數(shù)是（A．37° B．74° C．53° D．63°【答案】C【解析】解：如下圖，連接OA，∵A是劣弧DF的中點，即DA=∴∠DOA∵∠EOD∴∠DOA∵OD=∴∠ODA即∠CDA=53°．故選：【變式72】如圖，AB是⊙O的直徑，CD、BE是⊙O的兩條弦，CD交AB于點G，點C是BE的中點，點B是CD的中點，若AB=10，BG=2，則BE的長為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】解：如圖所示，連接OC，∵點B是CD的中點，AB是⊙O∴AB⊥CD，∴CD=2∵AB=10∴OC=∵BG=2∴OG=3在Rt△COG中，由勾股定理得∴CD=2∵點C是BE的中點，∴BC=∴BC∴BE∴BE=CD=8【變式73】如圖，AB是⊙O的弦，C是AB的中點，OC交AB于點D．（1）若∠AOB=120°，則∠AOC=°；（2）若AB=8cm，則AD=cm【答案】604【解析】解：∵C是AB的中點，∠AOB∴AC∴∠AOC∵C是AB的中點，OC過圓心O，AB=8∴AD=BD=12AB=4【變式74】如圖所示，A,B是半徑為3的⊙O上的兩點．若∠AOB=120°,C是AB的中點，則四邊形AOBC的周長為．【答案】12【解析】解：連接OC，∵C是AB的中點，∴∠AOC∵∠AOB=120°∴∠AOC∵OA=∴△AOC和△BOC∴OA=OB∴四邊形AOBC的周長等于為12．題型八利用弧、弦、圓心角求證【例8】如圖所示，在⊙O中，AB=CD，則在①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】解：∵在⊙O中，AB=∴AB=CD∵BC∴AC=BD，故∴AC=BD∴∠AOC=∠BOD綜上分析可知，正確的有4個．故選：D．【變式81】如圖，點A、B、C、D在⊙O中，且AB=AC，AC與【答案】相等，理由見解析【解析】AC與BD相等．理由如下：∵AB=∴AB即AC=∴AC=【變式82】如圖，在⊙O中，弦AB、CD交于點E，且AB=CD．求證：DE=BE．【答案】見解析【解析】證明：連接BD，∵AB∴AB∴AD=∴∠BDE∴DE【變式83】如圖，在⊙O中，∠AOB=∠COD，證明AC=【答案】見解析【解析】解：∵∠AOB∴∠AOB即∠AOC∴AC=【變式84】如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD．證明：E是OB的中點．【答案】證明見解析【解析】證明：連接AC，如圖，∵直徑AB垂直于弦CD于點E，∴AC=∴AC=∵過圓心O的CF⊥∴AC∴AC=∴AC=則△ACD是等邊三角形，又CF∴∠FCD∴在Rt△COE中，∴OE=∴點E為OB的中點．題型九圓心角的理解與圓弧度數(shù)【例9】下列圖形中的角是圓心角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】解：圓心角的定義：圓心角的頂點必在圓心上，故選：A．【變式91】下列說法正確的是（）A．如果一個角的一邊過圓心，則這個角就是圓心角B．圓心角α的取值范圍是0°<α<180°C．圓心角就是頂點在圓心，且角的兩邊是兩半徑所在的射線的角D．圓心角就是在圓心的角【答案】C【解析】解：∵圓心角就是頂點在圓心，且角的兩邊是兩半徑所在的射線的角，∴A、D錯誤，C正確；∵圓心角α的取值范圍是0°<α<360°，∴【變式92】如圖△ABC中，∠C=90°,∠B=20°，以C為圓心，CA為半徑A．30° B．40° C．45°【答案】B【解析】解：如圖，連接CD,∵∠C∴∠A∵CD=∴∠A∴∠ACD∴AD的度數(shù)為：40°.故選【變式93】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，以點C為圓心，CA為半徑的圓交AB于點D，交BC于點E，那么DE的度數(shù)是．【答案】34°【解析】解：連接CD，∵∠C=90°，∴∠BAC∵CA=∴∠CAD∴∠DCE∴DE的度數(shù)是34°.【變式94】如圖，

AB、CD是⊙O的直徑，弦CE∥AB，若∠AOC=75°，則【答案】30°【解析】連接OE，∵CE∥AB∴∠C∵OC∴∠E∴∠COE∴CE的度數(shù)是30°．題型十圓周角的理解與運用【例10】下列圖形中的角是圓周角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：選項A和選項B中的角的頂點沒有在圓上，選項D中的角的一邊沒有與圓相交，均不是圓周角，選項C中的角的頂點在圓上，并且角的兩邊與圓相交，是圓周角．【變式101】如圖，△ABC內接于圓，弦BD交AC于點P，連接AD．下列角中，AB所對圓周角的是（

）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC【答案】C【解析】解：由圖可知：AB所對圓周角的是∠ACB或∠ADB，故選C．【變式102】已知弦AB把圓周分成1:3兩部分，則弦AB所對圓周角的度數(shù)為（

）A．45° B．135° C．90°或270° D．45°或135°【答案】D【解析】解：∵弦AB把圓周分成1:3兩部分，∴劣弧AB的度數(shù)為：360°×14=90°優(yōu)弧AB的度數(shù)為：360°×34=270°∴弦AB所對圓周角的度數(shù)為45°或135°；故選：D．【變式103】觀察下圖中角的頂點與兩邊有何特征？指出哪些角是圓周角？【答案】特征見解析，(c)圖中∠3、∠4、∠BAD是圓周角【解析】解：(a)∠1頂點在⊙O內，兩邊與圓相交，所以∠1不是圓周角；(b)∠2頂點在圓外，兩邊與圓相交，所以∠2不是圓周角；(c)圖中∠3、∠4、∠BAD的頂點在圓周上，兩邊均與圓相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圓周角．(d)∠5頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓不相交，所以∠5不是圓周角；(e)∠6頂點在圓上，兩邊與圓均不相交，由圓周角的定義知∠6不是圓周角.【變式104】如圖，CD是⊙O的直徑，∠EOD＝84°，AE交⊙O于點B，且AB＝OC，求BE的度數(shù)【答案】68°【解析】解：連接OB，如圖，∵OB=OC，OC=AB，∴OB=AB，∴∠A=∠BOA，∴∠EBO=∠A+∠BOA=2∠A，∵OB=OE，∴∠E=∠EBO=2∠A，∵∠EOD=∠E+∠A，∴2∠A+∠A=84°，解得∠A=28°，∴∠E=∠EBO=56°，∴∠BOE=180°∠E∠EBO=180°56°56°=68°，∴BE的度數(shù)為68°．題型十一利用圓周角定理求解【例11】如圖，AB、CD是⊙O的兩條直徑，點E是弧BD的中點，連接AC、BE，若A．40° B．44° C．50° D．55°【答案】D【解析】解：連接OE，如圖所示，∵∠ACD∴∠AOD∵點E是弧BD的中點，∴∠DOE∵OE=∴∠ABE=∠OEB【變式111】如圖，△ADC內接于⊙O，BC是⊙O的直徑，若∠A=66°，則∠BCD等于（

）A．66° B．34° C．24° D．14°【答案】C【解析】∵∠A∴∠B∵BC是⊙O∴∠BDC∴∠BCD=90°-66°=24°．故選：【變式112】如圖，等邊△ABC內接于⊙O，D是⊙O上的一點，∠CAD=45°，則∠BCD的度數(shù)是．【答案】15°【解析】解：∵△ABC∴∠ACB∵∠CAD∴∠BAD∴∠BCD【變式113】已知：如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別