平移旋轉與軸對稱

第二十四講平移、旋轉與軸對稱一、有關性質1.平移的性質：(1)平移后的圖形與原圖形的對應線段_____(或在同一條直線上)且_____，對應角_____.平行相等相等(2)連接各組對應點的線段_____(或在同一條直線上)且_____.平行相等2.旋轉的性質：(1)對應點到旋轉中心的距離_____.(2)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于_______.(3)旋轉前、后的圖形_____.相等旋轉角全等3.軸對稱的性質：(1)如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的___________.(2)軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應點所連線段的___________.垂直平分線垂直平分線4.中心對稱的性質：(1)中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過__________，而且被對稱中心所_____.(2)中心對稱的兩個圖形是_____圖形.對稱中心平分全等二、坐標變換的規(guī)律1.在直角坐標系中，將點(x，y)向右(或左)平移a個單位長度，可以得到對應點________(或________)；將點(x，y)向上(或下)平移b個單位長度，可以得到對應點________(或________).(x+a，y)(x-a，y)(x，y+b)(x，y-b)2.在直角坐標系中，點(x，y)關于x軸對稱的點的坐標為________，關于y軸對稱的點的坐標為________.3.在直角坐標系中，兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P(x，y)關于原點的對稱點為P′________.(x，-y)(-x，y)(-x，-y)【自我診斷】(打“√”或“×”)1.在平面直角坐標系中，點A(a-3，b+4)向左平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度可得到點A′(a，b). ()×2.點P關于x軸對稱點P1的坐標是(4，-8)，則P點關于原點的對稱點P2的坐標是(-4，-8). ()3.等腰三角形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形. ()√×4.如圖，△ODC是由△OAB繞點O順時針旋轉31°后得到的圖形，若點D恰好落在AB上，且∠AOC的度數(shù)為100°，則∠DOB的度數(shù)是38°. ()√5.如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=10，E是CD上一點，把△ADE沿直線AE翻折，D點恰好落在BC邊上的F點處，則CE=3. ()√考點一平移、旋轉與對稱的識別【示范題1】(2018·煙臺中考)在學習《圖形變化的簡單應用》這一節(jié)時，老師要求同學們利用圖形變化設計圖案.下列設計的圖案中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是 (

)【思路點撥】判斷軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，對稱軸兩邊部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合.【自主解答】選C.A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項正確；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項錯誤.【答題關鍵指導】(1)抓住圖上的“關鍵點”平移，以“點”帶動“整個圖形”的平移，平移不改變圖形的形狀和大小.(2)將圖形沿某條直線對折，兩旁的部分重合，即為軸對稱圖形.(3)中心對稱圖形是圖形沿對稱中心旋轉180°后與原圖重合.【跟蹤訓練】(2018·張家界中考)下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是 (

)【解析】選C.選項A和選項C是中心對稱圖形，選項B、選項C和選項D是軸對稱圖形，所以選項C既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.考點二平移、旋轉與對稱性質的應用【示范題2】

(2018·山西中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉得到△A′B′C，此時點A′恰好在AB邊上，則點B′與點B之間的距離為 (

)A.12 B.6 C.6 D.6

【思路點撥】連接B′B，利用旋轉的性質和直角三角形的性質解答即可.【自主解答】選D.連接B′B.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，所以BC=ACtanA=6×tan60°=6，由旋轉的性質得：A′C=AC=6，B′C=BC，∠ACA′=∠BCB′.又因為∠A=60°，所以∠ACA′=∠BCB′=∠A=60°，即△BCB′是等邊三角形，所以BB′=BC=6.【答題關鍵指導】從“動”的角度去思考，明確“動中不動”(1)對應線段相等，對應角相等，形狀、大小不變.(2)把握住平移方向、平移距離，旋轉中心、旋轉角度及旋轉方向.【跟蹤訓練】(2018·桂林中考)如圖，在正方形ABCD中，AB=3，點M在CD的邊上，且DM=1，△AEM與△ADM關于AM所在的直線對稱，將△ADM按順時針方向繞點A旋轉90°得到△ABF，連接EF，則線段EF的長為 (

)A.3

B.2

C.

D.

【解析】選C.連接BM，因為△AEM與△ADM關于AM所在的直線對稱，所以AE=AD=AB，∠MAD=∠MAE，因為△ADM按照順時針方向繞點A旋轉90°得到△ABF，所以AF=AM，∠FAB=∠MAD，所以∠FAB=∠MAE，所以∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠MAE，所以∠FAE=∠MAB，所以△EAF≌△BAM(SAS)，所以EF=BM，因為四邊形ABCD是正方形，所以BC=CD=AB=3，因為DM=1，所以CM=2，在Rt△BCM中，BM=所以EF=BM=.考點三圖形的變化與點的坐標變化【考情分析】平面直角坐標系中圖形的變化引起了點的坐標變化，從而賦予了點的坐標更豐富的內容，題型有選擇題、填空題，解答題是與平移、旋轉、對稱作圖相結合命題.命題角度1：平移與坐標的變化

【示范題3】(2018·海南中考)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC位于第一象限，點A的坐標是(4，3)，把△ABC向左平移6個單位長度，得到△A1B1C1，則點B1的坐標是 (

)A.(-2，3) B.(3，-1)C.(-3，1) D.(-5，2)【思路點撥】根據點的平移的規(guī)律：向左平移a個單位，坐標P(x，y)?P(x-a，y)，據此求解可得.【自主解答】選C.由平移的性質可知，對應點平移的距離相等，點A向左平移六個單位長度，則點B也向左平移六個單位長度，所以點B的對應點B1的坐標是(-3，1).命題角度2：中心對稱與坐標變化【示范題4】(2018·烏魯木齊中考)在平面直角坐標系xOy中，將點N(-1，-2)繞點O旋轉180°，得到的對應點的坐標是 (

)A.(1，2) B.(-1，2)C.(-1，-2) D.(1，-2)【自主解答】選A.在平面直角坐標系xOy中，將點N(-1，-2)繞點O旋轉180°，得到的對應點的坐標是(1，2).命題角度3：軸對稱與坐標變化【示范題5】(2018·沈陽中考)在平面直角坐標系中，點B的坐標是(4，-1)，點A與點B關于x軸對稱，則點A的坐標是 (

)A.(4，1) B.(-1，4)C.(-4，-1) D.(-1，-4)【自主解答】選A.關于x軸對稱的點的橫坐標不變，縱坐標改變符號，點A與點B關于x軸對稱，點B的坐標是(4，-1)，所以點A的坐標是(4，1).命題角度4：圖形變化【示范題6】(2018·眉山中考)在邊長為1個單位長度的正方形網格中建立如圖所示的平面直角坐標系，△ABC的頂點都在格點上，請解答下列問題：(1)作出△ABC向左平移4個單位長度后得到的△A1B1C1，并寫出點C1的坐標.(2)作出△ABC關于原點O對稱的△A2B2C2，并寫出點C2的坐標.(3)已知△ABC關于直線l對稱的△A3B3C3的頂點A3的坐標為(-4，-2)，請直接寫出直線l的函數(shù)解析式.【思路點撥】(1)利用正方形網格特征和平移的性質，結合A，B，C的坐標，在平面直角坐標系中描點A1，B1，C1，連線即可得到△A1B1C1.(2)根據關于原點對稱的點的特征得出A2，B2，C2的坐標，然后在平面直角坐標系中描點A2，B2，C2連線即可得到△A2B2C2.(3)根據A與A3的點的特征得出直線l的解析式.【自主解答】(1)如圖所示，C1的坐標為C1(-1，2).(2)如圖所示，C2的坐標為C2(-3，-2).(3)直線l的函數(shù)解析式為y=-x.【答題關鍵指導】1.解答此類題目，抓住各類圖形變換的特征，找出變換前后坐標的關系，同時注意圖形變換的性質的應用.2.在平面直角坐標系中，圖形向右(左)平移m個單位，則圖形上各點的縱坐標不變，橫坐標加上(或減去)m個單位(m>0)；圖形向上(下)平移n個單位，則圖形上各點的橫坐標不變，縱坐標加上(或減去)n個單位(n>0).3.對稱引起的坐標變化依據關于x軸、y軸、原點對稱的坐標變化規(guī)律.4.與旋轉有關的坐標變化通常構造直角三角形，利用勾股定理求相關線段的長度.【跟蹤訓練】1.(2018·棗莊中考)在平面直角坐標系中，將點A(-1，-2)向右平移3個單位長度得到點B，則點B關于x軸的對稱點B′的坐標為 (

)A.(-3，-2) B.(2，2)C.(-2，2) D.(2，-2)【解析】選B.點A(-1，-2)向右平移3個單位長度得到的B的坐標為(-1+3，-2)，即(2，-2)，則點B關于x軸的對稱點B′的坐標是(2，2).2.(2018·聊城中考)如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OA，OC分別在x軸和y軸上，并且OA=5，OC=3.若把矩形OABC繞著點O逆時針旋轉，使點A恰好落在BC邊上的點A1處，則點C的對應點C1的坐標為 (

)A. B.C. D.

【解析】選A.如圖所示，作A1M⊥x軸于點M，C1N⊥x軸于點N，∵矩形OABC的兩邊OA，OC分別在x軸和y軸上，并且OA=5，OC=3，把矩形OABC繞著點O逆時針旋轉，使點A恰好落在BC邊上的點A1處，∴OA1=OA=5，A1M=OC1=OC=3，∴OM==4.由題意得△C1ON∽△OA1M，∴即∴C1N=，ON=，∴點C1的坐標為.考點四與平移、旋轉、對稱相關的網格作圖【示范題7】(2018·龍東中考)如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系內，△ABC的三個頂點坐標分別為A(1，4)，B(1，1)，C(3，1).(1)畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1.(2)畫出△ABC繞點O逆時針旋轉90°后的△A2B2C2.(3)在(2)的條件下，求線段BC掃過的面積(結果保留π).【自主解答】(1)△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1如圖所示.(2)△ABC繞點O逆時針旋轉90°后的△A2B2C2如圖所示.(3)BC掃過的面積==2π.【答題關鍵指導】網格作圖的三個技巧(1)平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標左減右加，縱坐標上加、下減.(2)利用