第2講公式法解決等差數(shù)列問題-四年級數(shù)學上冊數(shù)學思想方法系列（人教版）（含解析）

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第2講等差數(shù)列中的奧秘

把一些數(shù)按照一定順序排成一列叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項，數(shù)列中數(shù)的個數(shù)（項的個數(shù)）叫做項數(shù)。像：

0，1，2，3，4，5，6…

2，4，6，8，10，12…

1，4，7，10，13，16…

100，90，80，70，60…

從第2項起，每一項與前一項的差是同一個數(shù)。這個數(shù)列叫做等差數(shù)列。等差數(shù)列常見問題公式：

第n項＝首項＋（n－1）公差

項數(shù)＝（末項－首項）÷公差＋1

和＝（首項＋末項）項數(shù)÷2

【例題1】

1．有20個數(shù)，第一個數(shù)是9，以后每一個數(shù)都比前一個數(shù)大2，第20個數(shù)是（）

A．47B．49C．51D．53

思路分析：由于第一個數(shù)是9，從第二個數(shù)起，每一個數(shù)都比前一個數(shù)大2，所以第20個數(shù)比9大19個2。

規(guī)范解答：

。

答：第20個數(shù)是47。

故選：A。

【例題2】

2．有一堆粗細均勻的圓木，堆成梯形，最上面的一層有4根圓木，每向下一層增加二根，一共堆了28層，那么最下面一層有()根。

思路分析：本題看作是等差數(shù)列，首項是4，公差是2，項數(shù)是28，求末項，根據(jù)高斯求和相關公式：末項首項（項數(shù)公差解答即可。

規(guī)范解答：

（根）

答：最下面一層有58根。

【例題3】

3．粗心的俊俊想要計算“”的和，但他不慎把其中的一個數(shù)加了兩次，結果得到了64，那么，俊俊把()加了兩次。

思路分析：按照正確的計算一下，再找出兩次的數(shù)字差即可求解。

規(guī)范解答：正確的做法是

原式

；

算錯的結果是64，其中有一個數(shù)字計算兩次，

；

【例題4】

4．在一個神奇的地方，有一排奇怪的雕塑，這些雕塑都是由巧克力構成的，第一個雕塑由3塊巧克力組成，第二個雕塑由6塊巧克力組成，第三個雕塑由9塊巧克力組成，以此類推，每個雕塑都比前一個多3塊巧克力。那么，第()個雕塑恰好由2023塊巧克力組成。

思路分析：先觀察，顯然這些雕塑的巧克力塊數(shù)組成一個首項為3，公差為3的等差數(shù)列，可以先求出數(shù)列的通項公式，再算第幾項為2023。

規(guī)范解答：根據(jù)分析，這些雕塑的巧克力塊數(shù)組成一個首項為3，公差為3的等差數(shù)列，設此數(shù)列第項為，則

由題意，

故答案為：671。

【例題5】

5．有這樣一列數(shù)：1，2，3，4，5，…，99，100，請求出這列數(shù)各項相加的和。

思路分析：如果把數(shù)列1，2，3，4，5，…，99，100這100個數(shù)配對，如：1＋100，2＋99，3＋98，4＋97，…，50＋51，每對的和都是101，一共有100個數(shù)，2個配一對，一共可以配50對。這樣就可以求出這100個數(shù)的和。

規(guī)范解答：1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋100

＝（1＋100）100÷2

＝5050

1.等差數(shù)列求項數(shù)

6．有一列數(shù)：4，10，16，22，…，52，這個數(shù)列一共有多少項？

7．有一個等差數(shù)列，首項是11，末項是101，總和是504，這個數(shù)列共有多少項？

2.等差數(shù)列求末項

8．有一個等差數(shù)列：1，4，7，10，…，這個等差數(shù)列的第30項是多少？

9．有一個等差數(shù)列：3，7，11，15，…，這個等差數(shù)列的第100項是多少？

3.等差數(shù)列求和

10．求2＋4＋6＋8＋…＋98＋100的和。

11．有一列數(shù)：3，6，9，12，…，99，請求出這列數(shù)的和。

4.利用等差數(shù)列解決問題

12．一箱蘋果，第一次從箱里拿出1個，第二次拿出3個，第三次拿出5個，以后每次比前一次多拿2個，10次剛好拿完。這箱蘋果一共有多少個？

13．一個電影院設置了20排座位，第一排有38個座位，往后每一排都比前一排多2個座位，這個電影院一共設置了多少個座位？

14．若三個連續(xù)奇數(shù)的和是111，則最小的奇數(shù)是()。

15．在數(shù)列5，12，19，26…中，從左往右數(shù)第()個數(shù)是2023。

16．小明發(fā)現(xiàn)在2023年3月的日歷某一列上的5個日期的數(shù)字之和是80，那么這一列上的第二個日期是()號。

17．若五個連續(xù)偶數(shù)的和是320，這五個偶數(shù)中最小的一個是()。

18．某收購站依墻堆放著同樣大小的玻璃瓶（如圖）。這堆玻璃瓶共有個。

19．劉大媽做一批工藝鞋，第一天做了8雙，第二天起手藝越來越熟練，每天都比前一天多做2雙，最后一天做了24雙。她一共做了（）天？

A．7B．8C．9D．10

20．小明看一本故事書，第一天看25頁，以后每天都比前一天多看3頁，第五天從()頁開始看。

21．藥店有5000個口罩，前三天每天賣200個口罩（只賣不進），之后每天白天賣出800個，晚上買進700個，第()天剛好第一次賣光。

試卷第1頁，共3頁

試卷第1頁，共3頁

參考答案：

1．A

【分析】由于第一個數(shù)是9，從第二個數(shù)起，每一個數(shù)都比前一個數(shù)大2，所以第20個數(shù)比9大19個

【詳解】9+（20﹣1）×2

=9+19×2

=9+38

=47．

答：第20個數(shù)是47．

2．58

【分析】由題可知：最上面的一層有4根圓木，每向下一層增加二根；

那么第二層就有4＋2×（2－1）根圓木；

第三層有4＋2×（3－1）根圓木；

第四層有4＋2×（4－1）根圓木；

……當?shù)降趎層時，就有4＋2×（n－1）根圓木；帶入層數(shù)計算即可。

【詳解】由分析得

4＋2×（28－1）

＝4＋2×27

＝4＋54

＝58（根）

那么最下面一層有58根。

【點睛】此題主要考查探索規(guī)律，找準規(guī)律是解題的關鍵。

3．9

【分析】按照正確的計算一下，再找出兩次的數(shù)字差即可；據(jù)此解答。

【詳解】根據(jù)分析：

＝11×10÷2

＝110÷2

，所以俊俊把9加了兩次。

【點睛】觀察并找出算式計算的規(guī)律，可以用更簡便的方法進行計算。

4．671

【分析】第一個雕塑有（3×1＝3）塊巧克力，第二個雕塑有（3×2＝6）塊巧克力，第三個雕塑有（3×3＝9）塊巧克力，第幾個雕塑，巧克力的塊數(shù)就是3的幾倍。用2023除以3，即可算出是第幾個雕塑恰好由2023個巧克力組成。

【詳解】2023÷3＝671（個）

第671個雕塑恰好由2023塊巧克力組成。

【點睛】對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解。

5．5050

【分析】如果把數(shù)列1，2，3，4，5，…，99，100這100個數(shù)配對，如：1＋100，2＋99，3＋98，4＋97，…，50＋51，每對的和都是101，一共有100個數(shù)，2個配一對，一共可以配50對，這樣就可以求出這100個數(shù)的和。

【詳解】1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋100

＝（1＋100）100÷2

＝101×100÷2

＝10100÷2

＝5050

答：這列數(shù)各項相加的和是5050。

【點睛】本題主要考查簡單周期現(xiàn)象中的規(guī)律，關鍵培養(yǎng)對知識點的記憶、理解能力。

6．9項

【分析】根據(jù)“（末項－首項）÷公差＋1＝項數(shù)”解題；據(jù)此解答。

【詳解】（52－4）÷（10－4）＋1

＝48÷6＋1

＝8＋1

＝9（項）

答：這個數(shù)列一共有9項。

【點睛】掌握等差數(shù)列項數(shù)的計算方法是解答本題的關鍵。

7．9項

【分析】等差數(shù)列的求和公式是：（首項＋末項）×項數(shù)÷2＝和，用504乘2再除以（11＋101），即可算出這個數(shù)列共有多少項。

【詳解】504×2÷（11＋101）

＝504×2÷112

＝1008÷112

＝9（項）

答：這個數(shù)列共有9項。

【點睛】此題考查的是等差數(shù)列，熟記等差數(shù)列的求和公式是解題關鍵。

8．88

【分析】4－1＝3、7－4＝3、10－7＝3，觀察發(fā)現(xiàn)公差為3，求等差數(shù)列第n項時，用“首項＋（n－1）×公差”即可求出；據(jù)此解答。

【詳解】1＋（30－1）3

＝1＋29×3

＝1＋87

＝88

答：這個等差數(shù)列的第30項是88。

【點睛】掌握求等差數(shù)列的計算方法是解答本題的關鍵。

9．399

【分析】這組數(shù)據(jù)的排列規(guī)律是前一個數(shù)字加4得到下一個數(shù)字，第100項加了（100－1）個4，（100－1）乘4再加上第一個數(shù)字即是這個等差數(shù)列的第100項。

【詳解】（100－1）×4＋3

＝99×4＋3

＝396＋3

＝399

答：這個等差數(shù)列的第100項是399。

【點睛】找出這組數(shù)據(jù)的排列規(guī)律是解題關鍵。

10．2550

【分析】從2數(shù)到100的偶數(shù)有50個，將第一個數(shù)2與末尾的數(shù)100相加，再將第二個數(shù)4與倒數(shù)第二個偶數(shù)98相加，發(fā)現(xiàn)每組數(shù)的結果都相等，那么湊成的數(shù)乘50再除以2即可；據(jù)此解答。

【詳解】（2＋100）50÷2

＝102×50÷2

＝5100÷2

＝2550

答：2＋4＋6＋8＋…＋98＋100的和是2550。

【點睛】掌握算式的規(guī)律是解答本題的關鍵。

11．1683

【分析】先求出這組數(shù)有幾項：（尾項－首項）÷公差＋1＝項數(shù)，再將首位相加，乘項數(shù)然后除以2即可；據(jù)此解答。

【詳解】（99－3）÷（6－3）＋1

＝96÷3＋1

＝32＋1

＝33（項）

（3＋99）×33÷2

＝102×33÷2

＝3366÷2

＝1683

答：這列數(shù)的和是1683。

【點睛】掌握等差數(shù)列的計算方法是解答本題的關鍵。

12．100個

【分析】每次比前一次多拿2個，拿出的蘋果個數(shù)是：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。將這組數(shù)據(jù)相加，利用等差數(shù)列求和公式即可算出這箱蘋果一共有多少個。

【詳解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19

＝（1＋19）×10÷2

＝20×10÷2

＝200÷2

＝100（個）

答：這箱蘋果一共有100個。

【點睛】等差數(shù)列的求和公式是（首項＋末項）×項數(shù)÷2。

13．1140個

【分析】每一排都比前一排多2個座位，最后一排增加了（20－1）個2個座位，增加的座位個數(shù)加上第一排座位個數(shù)，即可算出這個電影院的第20排有多少個座位。將第一排到第20排的座位數(shù)相加，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式：（首項＋末項）×項數(shù)÷2，即可算出這個電影院一共設置了多少個座位。

【詳解】38＋（20－1）×2

＝38＋19×2

＝38＋38

＝76（個）

（38＋76）×20÷2

＝114×20÷2

＝2280÷2

＝1140（個）

答：這個電影院一共設置了1140個座位。

【點睛】此題考查的是等差數(shù)列，熟記等差數(shù)列的求和公式：（首項＋末項）×項數(shù)÷2是解題關鍵。

14．35

【分析】這三個連續(xù)奇數(shù)的平均數(shù)是中間的那個數(shù)，平均數(shù)＝總數(shù)÷總份數(shù)，用111除以3即可算出這三個連續(xù)奇數(shù)中間的那個數(shù)，中間的數(shù)再減去2就是最小的奇數(shù)。

【詳解】111÷3－2

＝37－2

＝35

若三個連續(xù)奇數(shù)的和是111，則最小的奇數(shù)是35。

【點睛】此題主要考查奇數(shù)的認識和對平均數(shù)意義的理解，解題關鍵是掌握三個連續(xù)奇數(shù)的排列規(guī)律。

15．287

【分析】觀察這組數(shù)，5＋7＝12，12＋7＝19，19＋7＝26……這組數(shù)的規(guī)律就是連續(xù)加7。2023減去5再除以7，即可算出連續(xù)加了多少個7，再將商加1即可。

【詳解】（2023－5）÷7

＝2023÷7

＝286（個）

286＋1＝287（個）

在數(shù)列5，12，19，26…中，從左往右數(shù)第287個數(shù)是2023。

16．9

【分析】日歷表上同一列上的數(shù)字之間的差是7，這5個日期的數(shù)字之和是80，用80除以7即可算出這一列數(shù)字中最中間的那個日期，最中間的那個日期減去7即可算出這一列上的第二個日期是幾號。

【詳解】80÷5－7

＝16－7

＝9（號）

小明發(fā)現(xiàn)在2023年3月的日歷某一列上的5個日期的數(shù)字之和是80，那么這一列上的第二個日期是9號。

【點睛】理解日歷表上日期的排列規(guī)律是解題關鍵。

17．60

【分析】五個連續(xù)偶數(shù)的相鄰兩個數(shù)之間相差2，若五個連續(xù)的偶數(shù)的和是320，即那么五個數(shù)中間的那個數(shù)應是這五個數(shù)的平均數(shù)，，所以這五個數(shù)是60、62、64、66、68；據(jù)此解答。

【詳解】根據(jù)分析：，即這五個數(shù)是：60、62、64、66、68，所以這五個偶數(shù)中最小的一個是60。

【點睛】掌握偶數(shù)的概念是解答本題的關鍵。

18．135

【分析】玻璃瓶的橫截面是梯形，且每向下一層增加一個玻璃瓶，玻璃瓶的層數(shù)就是梯形的高，所以可以根據(jù)梯形的面積公式求出玻璃瓶的個數(shù)。

【詳解】由圖和題意知：玻璃瓶個數(shù)＝（上層個數(shù)＋下層個數(shù)）×層數(shù)÷2，

（13＋17）×9÷2

＝30×9÷2

＝135（個）

【點睛】此題考查了梯形面積公式的實際應用。

19．C

【分析】每天都比前一天多做2雙，這列數(shù)據(jù)的排列規(guī)律是：8、10、12、14……24，用24減去8再除以2，即可算出加了多少個2件，再將商加1即可算出一共做了多少天。

【詳解】（24－8）÷2＋1

＝16÷2＋1

＝8＋1

＝9（天）

她一共做了9天。

故答案為：C

【點睛】對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解。

20．119

【分析】小明每天都比前一天多看3頁，他第二天看了（25＋3）頁，第三天看了（25＋3＋3）頁，第四天看了（25＋3＋3＋3）頁。將這4天看的頁數(shù)相加，再加1即是第五天開始看的頁數(shù)。

【詳解】25＋3＝28（頁）

28＋3＝