因子間相關性與橫截面資產回報

正文目錄引言 4相關文獻 5方法論 6風險價格還是風險溢價？ 7模型 7有序加權LASSO（OWL）估計器 8分組特性 8漸近特性 9關于橫截面資產回報和因子動物園的討論 113模擬 11模擬設計 11模擬結果 124實證分析 134.1數據 13構建因子動物園 14構建測試資產 16估計結果：哪個因子最重要？ 17樣本外測試 195結論 21風險提示： 22圖表目錄圖表1模擬結果 13圖表2異象因子 15圖表3因子相關系數 16圖表4估計結果 18圖表5不同方法的全子樣本的因子選擇 20圖表6五因子模型的樣本外組合表現 21引言有大量文獻試圖研究和剖析高維公司特征（或與公司特征相關的因子，又稱因子動物園）與橫截面資產回報之間的關系，例如，參見Cochrane（2011），Harveyetal.（2015），Greenetal.（2017），Houetal.（2020），Fengetal.（20，Fyberrtl20Fama-MacbethLASSOLASSO型估計器，即有序加權LASSO（LFguio和Nw（26）Figueiredo和Nowak（26WLWLSFCe，）量地識別橫截面資產回報的高相關因子的條件。蒙特卡洛模型顯示與其他機器學習算法（如LASSO，自適應LASSO和ElasticNet）相比，OWL收縮法取得了良好的效果，尤其是在因子高度相關的情況下。資產價格的推動作用變得微不足道。避免這一問題的傳統(tǒng)方法通常是在模型中排除高相關性的因子Greenetal.（2017）Fama-MacBethBetaHarvey和Liu（2021）BootstrapGreenetal.（2017）100Freybergeretal.（2020）。然后，按照Fengetal.（2020）因此，如果使用個股作為測試資產，因子選擇將會偏向于小市值股票，不是整個市場。相反，使用市值加權的投資組合作為測試資產可以有效地檢驗因子在總體水平上的效果。本文的實證結果是對資產定價文獻中一些常見觀點的補充和挑戰(zhàn)。第一，當采用Fama-MacBeth68%的相0.5Fama-MacBethLASSO收縮法等的標準估計方法的有效性產生了懷疑。本文作者發(fā)現，Fama-MacBeth法，LASSOElasticNetOWL收縮法能夠將市場因子確HarveyLiu（2021）第二，本文作者發(fā)現流動性因子、資產增長率相關因子、盈利因子和投資因子Houetal.（2020，2021）1980-2000這在現有的文獻中已有詳細的記載，可參見Amihud（2002）和Asnessetal.（28小于YE0Asnessetal.（2018）（如Freybergeretal.（2020）OWL的樣本外夏普比率比其他方法高出20%至30%，這表明與其他基準方法相比，OWL收縮法能夠在因子相關性普遍存在的情況下挑選出對橫截面資產回報最優(yōu)的最后，值得強調的是，像許多其他的機器學習算法一樣，OWL估計量是有偏的。因此，如果不進一步開發(fā)一個無偏版本并推導出它的漸近性質，該模型就不適2.4重要，但他可以是未來研究的一個主題。不過，本文側重于高維因子模型中估計的魯棒性和因子的篩選。然后，作者假設一個稀疏模型，比如五因子模型，并將這種因子選擇方法與其他基準進行比較。本文的實證結果與近期文獻中的一些實證結果相關文獻參加Faa和Fh199Cr（99，uetal4，a和和French（2018）Sharpe（1964）和Lintner（1965）提出CAMP以來，經歷了半個多世紀的發(fā)展，已有數百個異象因子被提Herveyetal.（2015）316Houetal.（2020）44764%至Kan和Zhang（1999）表示無用的因子會導致檢驗結果產生偏差，導致接受因子的閾值低Gospodinovetal.（2014）Fama和French（2018）BarillasShanken（2018）RHSHarveyLiu（2021）Bootstrap截面收益的最重要因素。FamaMacBeth（1973）步回歸法，通常用于檢驗具有顯著風險溢價的因子。Greenetal.（2017）使用Fama-MacBeth回歸，在美國股票市場的100個候選因子中找到顯著的因子。Lewellen（2015）研究了由Fama-MacBeth本文亦為使用機器學習技術解決金融研究問題的文獻快速增長做出了貢獻。Tibshirani（1996）LASSOLASSO進行了許多調整和改進。有關LASSOBellonietal.（2014）LASSOFengetal.（2020）LASSO選擇過程來遞歸地評估（按時間順序）因子是否對橫截面股票收益具有顯著的解釋性。Lin（2006）LASSOLASSOLASSOetal.（2020）LASSOBabiietal.（2021）LASSO法與分組LASSOLASSOOWLOWL高度相關的因子。這種相關因子的識別與無用因子的收縮是同時進行的。Zou和Hastie（2005）ElasticNetKozaketal.（2020）ElasticNetGuetal.（2020）Binsbergenetal.（2022）表明使用復雜的隨機森林算法，機器在預測股票收益上的表現戰(zhàn)勝了人工。相反，Caoetal.（2021）認為當公司復雜且擁有無形FigueiredoNowak（2016）ZengFigueiredo（2014）（OWL（SDF）23來評估OWL4文獻的貢獻。第5節(jié)給出結論。方法論作者采用Cochrane（2005）的SDF方法來推斷驅動橫截面資產回報的因子。節(jié)比較了SDF法和Fama-MacBeth2.32.3.2紹OWL收縮法，并討論其統(tǒng)計特性。風險價格還是風險溢價？設??表示隨機折現因子（SDF）0??=???1(1???′(?????(??)))，0其中，代表零貝塔率，是一個常數，??(??×1)是因子收益向量。????×1是未知的SDF希望對因子的風險價格進行推斷并找到有用的因子（即風險價格不為零的因子。有效因子會推動SDFSDFFama-MacBeth兩與風險價格密切相關的一個概念是風險溢價。它指的是Fama-MacBeth第二步回歸中的斜率系數。Cochrane（2005）的研究表明，風險價格和風險溢價通過因子的協(xié)方差矩陣直接相關??=??(????′)??其中，??是風險價格向量，??格意味著一個因子對于解釋橫截面資產平均回報是否有用。當因子不相關時，??(????′)=0????=0關而獲得正向風險溢價。例如，設有兩個因子和，協(xié)方差矩陣為??(????′)=1 (101)。??1是有價的，??2是無價格的，即??1=1≠0，??2=0?？梢运愠??1=101 ??2=1。因此，本文發(fā)現??2只需與有效因子??1相關，就能獲得非零的風險溢價（即??2≠0。如前所述，如果因子不相關，那么使用風險價格（F方法）或風險溢價（Fama-MacBeth）模型設??是??個測試資產向量的超額收益。定義??=(??′,????????(??)=(??????(??)??????(????)′)，其中??????(??)(??×??)和??????(??)(??×??)分布是因子??和測??????(??,??)??????(??)試資產超額收益??的方差-協(xié)方差矩陣。??????(??,??)(??×??)是收益和因子的協(xié)方差矩陣。資產定價等式指出在任何可接受的SDF，??(????)=0。然而，當??未知并通過模型估計時，等式可能不成立。上式中偏離零的部分被視為定價誤差，設??(??)代表未知SDF，它取決于未知的風險價格??。定價誤差??(??)可以寫成并簡化為：??(??)=??[????(??)]=??(??)??(??(??))+??????(??,??(??))=???1??(??)??(1???′(?????(??)))+???1??????(??,0 0???′(?????(??)))0=???1[??(??)???????(??,??)??]00=???1[??(??)???????(??,??)??]00=???1(?????????)0其中，???????(??)(??×1)是測試資產的預期超額收益向量，?????????(??,??)。定價誤差的二次型可以定義為??(??)=??(??)′????(??)其中，??是??×??的權重矩陣。然后通過最小化??(??)來估算出??：=argmin??(??)=argmin(?????????)′??(?????????)?? ??推出=(??′????)?1???′??????對于權重矩陣??，Ludvigson（2013）提供了兩種用于模型比較的??選擇。第一，??=??(????′)?1，它將??(??)與眾所周知的Hansen-Jagannathan（HJ）距離聯(lián)系起來。Ludvigson（2013）指出使用HJ距離可以抵消測試資產的變化從而得到HJ距離資產較多時，Ludvigson（2013）提倡選擇第二種??：恒等矩陣。使用恒等矩陣不會使權重偏向任何測試資產子集，尤其是當測試資產代表某個特定的經濟利益時。本文中，測試資產根據公司特征組成的，因此不希望權重偏向于任何公司特征，所以本文將始終使用恒等矩陣作為權重矩陣。Cochrane（2011）指出在高維數據中，識別有效因子的傳統(tǒng)方法存在不足。源自機器學習文獻的稀疏性假設成為了處理這些問題的有用工具。LASSO估計器（Tibshirani，1996）是實現稀疏模型的有力工具，在近年相關文獻中大受歡迎。然而，眾所周知，LASSO估計器在協(xié)變量相關時的表現糟糕。為了在考慮因子相關性的同時規(guī)避維度詛咒，本文作者引入了一種新開發(fā)的機器學習工具---SS（W）Fiio和Nw，6DF（高有序加權LASSO（OWL）估計器OWL估計器通過在??(??)中加入懲罰項實現的。=argmin1(???????)′(???????)+Ω

(??)?? 2 ?? ?? ??????(??)=??′|??|↓其中，|??|↓?(|??|[1],|??|[2],…,|??|[??])(|??|[1]≥|??|[2]≥?≥|??|[??])是風險價格絕對值向量，按其大小降序排列。??是一個預先指定的??×1向量，定義為????=??1+(?????)??2, ??=1,…,??其中，??1和??2是兩個超參數。本文求解OWLOWL????1??210下一節(jié)，將開始討論OWL估計器的統(tǒng)計特性。分組特性接下來，本文將介紹分組屬性，它量化了識別因子相關性的條件，這是OWL估計器的一個關鍵屬性，在因子相關時可得到穩(wěn)健估計。定理2（分組：??(??×1和??(??×1??????????和??是因子??和??通過OWL估計的風險價格。?是向量?的標準差，????(??×1)和????(??×1)是??個測試資產的均值和標準差。如果??(?????)< ??2則??=??。

?? ??

∥????∥2∥????∥2推論2.1：????,????,??2,????,????的設定與定理2.1相同。如果??(??+??)< ??2則??=???。

?? ??

∥????∥2∥????∥2定理1有幾個含義。第一，當因子高度相關時（即??(?????較小，他們更有可能被組合在一起（即獲得相似的系數，??≈??：兩個因子表現出高相關性可產回報時他們應該具有相似的系數。第二，??2對分組屬性有直接影響：??2（????）和標準差（????）????和小較小時，因子無法解釋測試資產收益在不同時期變化不大的現象。推論將值得一提的是，分組特性使OWL估計器優(yōu)于其他相關的機器學習方法，如LASSO和ElasticNetOWL2.1OWLLASSO估計器可能會任意將一些高度相關的因子漸近特性FigueiredoNowak（2016）OWL估?????OWLOracleOWL????=????0+??0其中，??0是真實風險價格系數，??是按照???1縮放的定價誤差。因此???重寫為0?????=argmin1∥???????∥2+1∑[??+??(?????)]|??|?? ?? ??

2

1 ??=1

[??]其中，|??|[??]是|??|↓?(|??|[1],|??|[2],…,|??|[??])′（|??|[1]≥|??|[2]≥?≥|??|[??]）的第?????的元素。首先，使用以下符號和假設來推導理論結果。設??:=??′??(??)?∑??

????(??)?

??，其中，??(??)是??的第?????列，??與之前定??

??

??=1

??,??=

1??′????

是??的Gram矩陣。對任一標量??∈??，設|??|代表其絕對值。對任一矩陣??∈????，定義∥??∥=(∑????2)1?2∥??∥=∑??|??|∥??∥=2 ??=1?? 1 ??=1 ?? ∞??????1≤??≤??|????|。假設1（隨機變量{????,??}??是獨立同分布，??(????,??)=0(??=1,????=1,…,??)。變量??(??)(??=1,…,??)和??(??=1,…,??)的分布是亞高斯分布，使得?????? =?? ??

??,???(|??(??)|>??)≤??exp[?????2]和???????(|??|>??)≤??exp[?????2]，其中??=1,…,??，?? 1

?? ?? 1 2??>0，??1,??2>0，其中??1和??2不依賴于??,??,??。假設1概述了隨機變量的條件。值得主要的是，與Figueiredo和Nowak（61（6假設（稀疏性：設??是??0=??0,??0,…,??0}中非零參數的個數。假設??????=1 2 ?? ????(1)??，??,??→∞。設??0?{1,…,??}，其中|??0|代表集合??0的基數。對于??={??1,…,????}∈????，令????0?????1{??∈??0,??=1,…,??}，???????????1{?????0,??=1,…,??}，則??=????0+??????。0 00假設（限制特征值條件，Blt（2：??，∥??????1≤3∥0∥1。??????

??????

∥2′???∥2Φ2???0?{1,…,??}

??∈????{0} >00|??0|<??

∥??????∥1≤3∥????0∥1

∥????020232性假設，這是一個相當溫和的假設：它只要求??的對數增長率（按比例??縮放）速????3Gram0定理2（e不等式：，2和3??0

=??√????????=??(1)，??其中??是大于0的常數。設??1=2??，??2=??(??????????)。當??,??→∞時，通過選擇一???滿足

0

????′

??1

2

??2(??0)?(????0)+??

∥???0∥1≤4( ??

2+2??

(???1)∥??0∥1?0請注意，cle不等式可以進一步發(fā)展，分別為預測誤差(?????0

0)′???2??0)??(????0)∥2∕??和估計誤差∥????01提供上限。因此，可以進一步利用這OWL2推論2（L的收斂速率：? 0 ??????∥?????∥1=??(??√??)? 0 ??????∥?????∥2=??(√ ?? )2.22.2??2??2OWLLASSO22.2OWL致的。2.4關于橫截面資產回報和因子動物園的討論Cochrane（2011）提出”因子動物園“之謎。從那時起，它就引起了廣泛關注，并推動了剖析橫截面資產回報的”因子動物園“的方法論發(fā)展。Greenetal.（2017）采用Fama-MacBeth兩步回歸法，從”因子動物園“中選取美股回報因即aFama-MacBeth面，統(tǒng)計和機器學習相關文獻揭示快速發(fā)展的新技術也可用于剖析因子動物園。Fengetal.（2020）Bellonietal.（2014）LASSOLASSOBellonietal.（2014）的研究表LASSO（）Fengetal.（2020）OWL收縮法會為因子分配相似的系數，而LASSOFengetal.（2020）驗：采用雙LASSOOWLOWLOWLLASSO（即不在大量控制變量上進行推斷，因此本文需要手工挑選一小部分因子進行檢OWL模擬本節(jié)將在不同的蒙特卡洛模擬實驗中研究OWL估計器和其它基準的性能。模擬設計在本文實驗中，作者考慮??個候選因子，其中2??/3是有用的因子，即??≠0，??/3個是無用或多余的因子(??=0)。這些有用因子中，設定其中一半（占因子總數的1/3）是相關的，而剩余的一半則是不相關的。這種設定下，本文的模型包含相關因子，不相關因子和無效因子。??是??(??×??)的相關系數矩陣??×??)。設??1,??2,??3∈(?1,1)且??被分成三塊：1 ? ????1=(? ? ?)???31 ? ????2=(? ? ?)???31 ? ????3=(? ? ?)???3??=(

????1 0????2 )0 ????3????1的對角線元素為1，非對角線元素為??1；類似地，????2和????3的非對角線元素分別為??2和??3。這三塊構成了矩陣??的對角線元素，而??的其他部分由零填充。該設置允許在每個子塊內因子分別以相關系數??1、??2和??3相關，但不同子塊間的因子互不相關。首先設置??1、??2和??3的值，然后隨機生成一個??×??矩陣??，記為????????，它的相關系數矩陣為??。使用????3??3設為零，且將??1和??2設為不同的數值。然后，指定??（風險價格）的值后模擬橫截面平均收益率為????=???????????+??，其中??為定價誤差。使用????2表示無效因子，因此????2中??設OWLLASSOLASSO、ElasticNetOLS????????和????模擬結果本文考慮90個候選因子(??=90)。設定第一組的30個因子為有效用因子(??=0.1)，因子間相關系數為??1；第二組30個因子為多余因子(??=0)，因子間相關系數為??2；第三組30個因子為不相關的有效因子(??=?0.1,??3=0)。為簡單起見，本文設置??1=??2，并從集合{0.3,0.5,0.9}中進行選擇。同時，本文還考慮了??（資產數量）對??（因子數量）的影響。為此，從{70,100,1000}中選擇??。?????是一種接近近似的設置。另一方面，如果??~??或??<??是高維數據集的常見設置。本文進行了500次模擬試驗，并使用均方估計誤差（MSE）作為比較標準，即對于?????模型，所有因子的MSE被定義為：????????= 1500??

500∑∥∑∥????????????=1

???0∥2其中，??????代表試驗的索引。為了更好地了解候選模型在不同設置下的性能，本文研究每個子塊的MSE。即????1的MSE為：500???? = 1 ∑∥??? ???0 ∥????1

500?300

??????=1

????1,??????

????12類似地，可以定義????2和????3的MSE。圖表1展示了四種候選模型的模擬結果。對于第一和第二組，允許因子間的相關系數??∈{0.3,0.5,0.9}，而第三組的因子設定為不相關。同時本文還考慮了??值的三種不同設置。??=70表示樣本數量小于因子個數，這通常類似于高維數據的設置。??=100表示樣本數量與因子個數大致相等。??=1000代表一種理想的環(huán)境，即樣1MSEMSE1??=70??=100OWL1MSE圖表1模擬結果

LASSOLASSOENOWLMSE??的所有OWLMSE當??=1000時，OWL估計器在所有設定下的MSE都接近于零，這證實了推論中的理論結果，即OWL??=0.9，OWLMSELASSOENOWLLASSOEN。值得注意的是，與LASSOEN估計器相比OWL??=70和??=100略大于LASSO這些研究結果表明當因子相關時，OWL估計器是首選的估計器，尤其是在高維環(huán)境下。當因子相關性增加時，LASSO估計器的性能會下降。盡管ElasticNet模型確實改善了LASSO模型的性能，但其優(yōu)化效果遠遠小于OWL估計器。資料來源：《FactorCorrelationandtheCrossSectionofAssetReturns:aCorrelation-robustApproach》，實證分析在本節(jié)中，作者采用OWL80數據（CRSP）CompustatCompustat198001201712456從KennethFrench與市場因子具有相同的標準差。構建因子動物園Greenetal.（2017）10040%20%802Greenetal.（273（a）16%）大于0.5。特別是，貝塔因子與流動性因子、盈利因子、投資因子等高度相關。因此，Greenetal.（2017）Fama-MacBeth3（b）即第二階段Fama-MacBeth）陣的熱圖。與（a）相比，它顯示出更高的相關性：64%的相關系數（絕對值）大0.5Fama-MacBeth對因子相關性的初步研究表明許多因子間高度相關，這表明如果采用傳統(tǒng)方法（Fama-MacBethLASSO圖表2異象因子資料來源：《FactorCorrelationandtheCrossSectionofAssetReturns:aCorrelation-robustApproach》，圖表3因子相關系數資料來源：《FactorCorrelationandtheCrossSectionofAssetReturns:aCorrelation-robustApproach》，構建測試資產E。在對估計變量（Shanken（1992）通過引入“Shanken修正”項對估計器進行了修改以減少誤差。然而，也有人認為“Shanken修正”在小樣本中的作用微乎其微。另一方面，Fama和French（28Huetal（4Fegetl（）EIVEIV然而，使用個股的最大缺點是數據的缺失存在微型市值的股票。在很長一段時間內，新股上市和股票退市是不可避免的，這通常會導致數據集中數據缺失。數據的不連續(xù)會導致收益和因子協(xié)方差矩陣的估計不準確，但協(xié)方差矩陣是因子推斷的基礎。相反，分類投資組合是在每個時間點上構建的，同時將具有相似特征的股票分為一組，從而保證投資組合不受數據缺失問題的影響。小市值股票將會給個股作為測試資產帶來另一個主要問題。小盤股在股市上占據大多數，但少數大盤股卻在總市值中占據很大份額。如果使用個股來衡量因子的影響，則不可避免地會扭曲對市場的影響：如果用個股來衡量因子的影響，則小盤股將在估計結果中占主導地位，對市值影響更大的大盤股的影響將會被大量的小盤股所抵消。相反，分類投資組合可以通過使用市值加權分類法來規(guī)避這一問題。在市值加權分類法中，投資組合收益是通過股票收益的加權平均值來計算的，其中權重反映了股票的市值。FamaFrench（1992，2016）5×5資組合現已成為測試組合的熱門選擇。但是，Harveyetal.（2015）提示到當測試Lewellenetal.（2010）25Fengetal.（2020）基于5×5合。本文效仿Fengetal.（2020）的做法，構建雙變量分類投資組合后匯集得到1972估計結果：哪個因子最重要？2.2SDFOWL在本文的估計中使用??和??的樣本表示。具體來說，?=????(??,??)=1??

(?????

??=1 ????)(???

=1∑?? ??和??

=1∑?? ??。為了獲得穩(wěn)健的估計量，本文討論?? ??

?? ????=1

?? ????=1??比較不同投資組合的加權方法（等權加權或市值加權，并研究了它們對估計結果的影響。市值加權中大盤股會具有更大的權重，而等權則以小盤股為主。最后，在20、3040）圖表4展示了估計結果。前5列使用全樣本進行估計，第6-7列是1980年至20008-920012017了市值加權法（）和等權法（圖表4。圖表3表明在大多數估計中，市值因子（mve）是最重要的因子，但這并不奇怪。市值因子被選擇的次數最多，因此市值因子在測試組合中占主導地位。因此，本文將市值因子排除因子顯著性排名中，但仍將列入表中以表明OWL估計器能夠正確識別相關因子。流動性因子il）是對橫截面回報最重要的異象因子A，00，其顯2030合的重要性高于40水平，這意味著小市值公司面臨更嚴重的流動性約束。美元交（s_lvl（iatl.，2此緊隨流動性因子之后，成為第二重要因子。同時，OWL估計器也發(fā)現了它與流載，例如Pr和S（）chaa和P（5資產增長率（agr）緊隨流動性和交易量標準差之后，成為第三個常被選中的Houetal.（2021）的q5模型，在著名的q4（Houetal.，2014、q（ash）和流動比率變化百分比（，它們也與流動性風險相關。除此之外，動量、投資資本回報率（i（）WL估6和7列是使用1980-2000年子樣本進行的估計的結果，8和9列是使用2001-2007年子樣本進行的估計的結果。作者發(fā)現流動性約束只出現在第二個子樣本中，其中流動性相關因子在解釋橫截面的平均回報方面發(fā)揮了重要作用。然而，在第一個子樣本中沒有顯示出流動性相關因子驅動資產價格的有力證據。相反，動量和盈1980-2000有趣的是，在第二個子樣本中，剔除20百分位數的小市值股票后發(fā)現市值因子沒有被選為驅動橫截面回報的有效因素，這使其成為所有估計中唯一的例外。這A200）和Asstl（8208040這與Asnessetal.（2018）etal.（2018）（2080圖表4估計結果資料來源：《FactorCorrelationandtheCrossSectionofAssetReturns:aCorrelation-robustApproach》，樣本外測試Freybergeretal.（2020）OWL準的表現。本文選擇的基準方法為LASSO收縮法、ElasticNet模型和Fama-MacBeth（FM）兩步回歸法。為公平比較，本文考慮僅五因子模型，即每個方法2000（mkt）80圖表5P20和PWL驅動資產價格的最顯著因子是與動量和盈利相關的因子，而流動性因子則相對不重要；LASSO有趣的是，作者發(fā)現OWL收縮法是唯一個能持續(xù)識別出市場因子是驅動橫截Lintner（1965）Sharpe（1964）CAPMLASSO、ElasticNetFama-MacBeth%OWL接下來，本文要比較各種方法的樣本外