用牛頓定律推導(dǎo)小球運(yùn)動(dòng)微分方程

用牛頓定律推導(dǎo)小球運(yùn)動(dòng)微分方程

1含加速度的小鼠動(dòng)力學(xué)質(zhì)量m的小樹可以認(rèn)為是一個(gè)紋理，掛在一線上，線的另一端圍繞半徑為r的固定圓柱體，并在圓柱體的中心軸的水平配置中調(diào)整。當(dāng)平衡時(shí)，垂直線的長(zhǎng)度為l，不包括線的質(zhì)量，而是寫下了小球的運(yùn)動(dòng)方程。在文獻(xiàn)中，這個(gè)問(wèn)題被用作分析力學(xué)練習(xí)的示例。在這項(xiàng)工作中，我們改進(jìn)了基于加速度定義方法和坐標(biāo)跟蹤方法的小球量比率。用牛頓定法或拉格朗日方程導(dǎo)出小球項(xiàng)目的運(yùn)動(dòng)微分方程。利用機(jī)器的可靠性，全面分析了小球項(xiàng)目的可能運(yùn)動(dòng)，并給出了用統(tǒng)一的運(yùn)動(dòng)方程來(lái)描述小球項(xiàng)目周期振動(dòng)的條件。討論了當(dāng)小球項(xiàng)目的懸掛角速度最大值的位置，并通過(guò)計(jì)算機(jī)值計(jì)算繪制小球項(xiàng)目的循環(huán)動(dòng)力學(xué)圖。2加速度的比較小球擺離平衡位置,擺線與鉛直向下方向的夾角用θ表示,并稱為擺角.規(guī)定小球在平衡位置右方的擺角為正,在平衡位置左方的擺角為負(fù);小球逆時(shí)針擺動(dòng)時(shí)角速度為正,順時(shí)針擺動(dòng)時(shí)角速度為負(fù).由圖1可以看出繩上變動(dòng)的懸點(diǎn)C與圓柱體中心O點(diǎn)連線與水平向右方向的夾角亦為θ.因此在小球作周期振動(dòng)條件下,小球(質(zhì)點(diǎn))的位置完全可以由擺角θ確定.設(shè)在某時(shí)刻t,繩上C點(diǎn)為懸點(diǎn),擺角為θ,角速度為˙θθ˙且大于零,在t+Δt時(shí)刻,懸點(diǎn)由繩上的C點(diǎn)轉(zhuǎn)移到C′點(diǎn),擺角由θ(t)變?yōu)棣?t+Δt),角速度由˙θ(t)θ˙(t)變?yōu)楱Bθ(t+Δt)?t時(shí)刻繩上懸點(diǎn)C在t+Δt時(shí)刻的速度已不再為零.由圖2不難看出:vc(t+Δt)=CC′?˙θ(t+Δt)=r[θ(t+Δt)-θ(t)]˙θ(t+Δt)速度的方向垂直于繩斜向上,根據(jù)加速度的定義知ac=limΔt→0vc(t+Δt)-vc(t)Δt=limΔt→0vc(t+Δt)-0Δt加速度的大小為ac=limΔt→0vc(t+Δt)Δt=limΔt→0r[θ(t+Δt)-θ(t)]˙θ(t+Δt)Δt=r˙θ2加速度的方向?yàn)棣→0時(shí),vc(t+Δt)的極限方向,此極限方向沿OC向外.小球在t時(shí)刻,相對(duì)懸點(diǎn)C的加速度在垂直于繩和繩方向的分量分別為:a′θ=(l+rθ)¨θ?a′r=(l+rθ)˙θ2小球在t時(shí)刻的絕對(duì)加速度在垂直于繩和繩方向的分量分別為:aθ=(l+rθ)¨θ+r˙θ2(1)ar=(l+rθ)˙θ2(2)上面推導(dǎo)過(guò)程物理概念清楚,直觀易懂.為比較或者說(shuō)為驗(yàn)證式(1)、(2)的正確性,我們?nèi)∷较蛴覟閤軸正向,堅(jiān)直向下為y軸正向,建立直角坐標(biāo)系Oxy(如圖1所示),當(dāng)擺角為θ時(shí),小球(質(zhì)點(diǎn))的坐標(biāo)為:x=(l+rθ)sinθ+rcosθ(3)y=(l+rθ)cosθ-rsinθ(4)對(duì)x、y求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)得:˙x=(l+rθ)˙θcosθ(5)˙y=-(l+rθ)˙θsinθ(6)對(duì)式(5)、(6)求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)得:¨x=r˙θ2cosθ+(l+rθ)¨θcosθ-(l+rθ)˙θ2sinθ¨y=-r˙θ2sinθ-(l+rθ)¨θsinθ-(l+rθ)˙θ2cosθ將上面兩式平方相加后整理得¨x2+¨y2=(r˙θ2)2+(l+rθ)2¨θ2+[(l+rθ)˙θ2]2+2r(l+rθ)˙θ2¨θ=[r˙θ2+(l+rθ)¨θ]2+[(l+rθ)˙θ2]2=a2θ+a2r兩種方法推導(dǎo)的結(jié)果相同,對(duì)坐標(biāo)求導(dǎo)得到加速度是力學(xué)、理論力學(xué)中常用的方法,需要較多的數(shù)學(xué)運(yùn)算.3拉格朗日方程小球在作周期性運(yùn)動(dòng)中受到重力mg和繩子的張力T作用,將重力沿垂直于繩和繩方向進(jìn)行分解.根據(jù)牛頓第二定律和(1)、(2)兩式得m[(l+rθ)¨θ+r˙θ2]=-mgsinθ即[(l+rθ)¨θ+r˙θ2]=-gsinθ(7)m(l+rθ)˙θ2=Τ-mgcosθ(8)式(7)可改為d˙θ2dθ+2rl+rθ˙θ2=-2gsinθl+rθ上式是以˙θ2為變量的一次型微分方程,根據(jù)通解公式可求得˙θ2=1(l+rθ)2(2glcosθ+2grθcosθ-2grsinθ+c)(9)式中常數(shù)c由初始條件確定,將式(9)代入式(8)可得知繩中張力為θ的函數(shù).式(9)可改寫成12m(l+rθ)2˙θ2-mg(lcosθ+rθcosθ-rsinθ)=E上式表示運(yùn)動(dòng)中的小球機(jī)械能守恒.因此可用保守系的拉格朗日方程求解小球的運(yùn)動(dòng)微分方程,由式(5)、(6)可求得小球速度v=±√˙x2+˙y2=(l+rθ)˙θ小球的動(dòng)能為Τ=12m(l+rθ)2˙θ2以小球的平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn),在擺角為θ處小球的重力勢(shì)能為V=mg[l-(l+rθ)cosθ+rsinθ]拉格朗日函數(shù)為L(zhǎng)=Τ-V=12m(l+rθ)2˙θ2-mg[l-(l+rθ)cosθ+rsinθ]代入拉格朗日方程ddt(?L?˙θ)-?L?θ=0中,得mr(l+rθ)˙θ2+m(l+rθ)2¨θ+mg(l+rθ)sinθ=0即(l+rθ)¨θ+r˙θ2+gsinθ=0顯然由保守系的拉格朗日方程能夠得到式(7),但不能得到式(8),即不能求出繩中張力.若用第一類拉格朗日方程可得到式(8),但沒(méi)有應(yīng)用牛頓第二定律方便.4重力勢(shì)能/應(yīng)當(dāng)拉直至合適的學(xué)習(xí)方法上面推導(dǎo)小球的加速度和運(yùn)動(dòng)微分方程過(guò)程中都是以繩子不松弛、小球作周期性運(yùn)動(dòng)為前提的,小球能否作周期性運(yùn)動(dòng)即小球運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程能否用式(7)、(8)描述,需要加以討論.為方便實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證下面的討論結(jié)果,我們將小球拉離平衡位置且在繩被拉直的情況下由靜止釋放小球,即取θ=θ0?˙θ=0為初始條件.根據(jù)前面對(duì)θ的正負(fù)規(guī)定,當(dāng)θ0＞π2且x(θ0)>r時(shí),根據(jù)式(3)可知小球的坐標(biāo)x(θ0)＜x(π2).因小球是由靜止釋放,初速度為零,繩中張力為零,小球?qū)⒃谥亓ψ饔孟仑Q直下落,繩處于松弛狀態(tài),直到θ＜π2且滿足x(θ)=x(θ0)時(shí),繩被拉直,小球開始作逆時(shí)針擺動(dòng).當(dāng)θ0＞π2且0<x(θ0)<r時(shí),小球在重力作用下豎直下落,并與圓柱體碰撞.當(dāng)θ0≤π2時(shí),小球一開始就作逆時(shí)針擺動(dòng).若y(θ0)<r,即小球初始位于與圓柱體底部(圖1中B點(diǎn))相切的水平面之上,根據(jù)機(jī)械能守恒可知,小球向左擺回到該水平面時(shí)(θ=-π2),仍具有垂直于繩且向上的速度,即具有逆時(shí)針擺動(dòng)的角速度,小球?qū)⒗^續(xù)作逆時(shí)針擺動(dòng),擺角將繼續(xù)減小(θ＜-π2),導(dǎo)致重力沿繩的分量-mgcosθ為正即指向懸點(diǎn).角速度的絕對(duì)值繼續(xù)減小,由式(8)知繩中張力將出現(xiàn)等于零的情況,由于此時(shí)小球的運(yùn)動(dòng)速度不為零,小球?qū)⒁源藭r(shí)的速度為初速度向右作斜拋運(yùn)動(dòng),繩子將在一段時(shí)間內(nèi)呈現(xiàn)松弛狀態(tài).若θ0值使得y(θ0)≥r,由機(jī)械能守恒和式(8)易知,小球在來(lái)回?cái)[動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中,繩都不會(huì)出現(xiàn)松弛,即小球(質(zhì)點(diǎn))在與圓柱體底部相切的水平面內(nèi)或之下,且繩被拉直狀態(tài)下靜止釋放小球,都可實(shí)現(xiàn)小球的周期振動(dòng).當(dāng)取θ=θ0?˙θ≠0為初始條件時(shí),仍以小球平衡位置為重力勢(shì)能零點(diǎn),當(dāng)小球的能量滿足12m(l+rθ0)2˙θ20+mg[(l-(l+rθ0)cosθ0+rsinθ0]≤mg(l-r)時(shí),也可實(shí)現(xiàn)小球的周期振動(dòng).5慣性力-mr2-mgsin2的垂直分布根據(jù)機(jī)械能守恒易知,小球的速度在平衡位置取最大值.為討論小球的角速度˙θ取最大值的位置,我們將式(7)改寫成m(l+rθ)¨θ=-mr˙θ2-mgsinθ其中-mr˙θ2實(shí)際上是在以變動(dòng)的懸點(diǎn)為參考點(diǎn)的平動(dòng)非慣性系中觀察到的慣性力,無(wú)論小球是從平衡位置右側(cè)擺向左側(cè),還是從平衡位置左側(cè)擺向右側(cè),慣性力-mr˙θ2始終垂直于繩且指向繩的左側(cè).當(dāng)小球在平衡位置左側(cè)時(shí),θ<0,從而使得-mr˙θ2-mg