2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)試卷【含答案】

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）理科數(shù)學(xué)一、選擇題1.設(shè)集合，U為整數(shù)集，（）A. B.C. D.2.若復(fù)數(shù)，則（）A.-1 B.0· C.1 D.23.執(zhí)行下面的程序框遇，輸出的（）A.21 B.34 C.55 D.894.向量，且，則（）A. B. C. D.5.已知正項等比數(shù)列中，為前n項和，，則（）A.7 B.9 C.15 D.306.有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部概率為（）A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.17.“”是“”（）A.充分條件但不是必要條件 B.必要條件但不是充分條件C.充要條件 D.既不是充分條件也不是必要條件8.已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（）A B. C. D.9.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)選擇種數(shù)為（）A.120 B.60 C.40 D.3010.已知為函數(shù)向左平移個單位所得函數(shù)，則與的交點個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.411.在四棱錐中，底面為正方形，，則的面積為（）A. B. C. D.12.己知橢圓，為兩個焦點，O為原點，P為橢圓上一點，，則（）A. B. C. D.二、填空題13.若為偶函數(shù)，則________．14.設(shè)x，y滿足約束條件，設(shè)，則z的最大值為____________．15.在正方體中，E，F(xiàn)分別為CD，的中點，則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為____________．16.在中，，，D為BC上一點，AD為的平分線，則_________．三、解答題17.已知數(shù)列中，，設(shè)為前n項和，．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．18.在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距離為1．（1）求證：；（2）若直線與距離為2，求與平面所成角的正弦值．19.為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加藥物）和實驗組（加藥物）．（1）設(shè)其中兩只小鼠中對照組小鼠數(shù)目為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）測得40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好）對照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3實驗組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)m，并完成下面2×2列聯(lián)表：對照組實驗組（ii）根據(jù)2×2列聯(lián)表，能否有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用．參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0102.7063.8416.63520.已知直線與拋物線交于兩點，且．（1）求；（2）設(shè)C的焦點為F，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．21.已知（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求a的取值范圍．四、選做題22.已知，直線（t為參數(shù)），為的傾斜角，l與x軸，y軸正半軸交于A，B兩點，．（1）求的值；（2）以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求l的極坐標方程．23.已知．（1）求不等式解集；（2）若曲線與坐標軸所圍成的圖形的面積為2，求．1.A．2.C.3.B.4.D.5.C.6..7.B.8.D.9.B.10.C.11.C.12.B．13.214.1515.1216.．17.因為，當時，，即；當時，，即，當時，，所以，化簡得：，當時，，即，當時都滿足上式，所以．因為，所以，，兩式相減得，，，即，．18.如圖，底面，面，，又，平面，,平面ACC1A1，又平面，平面平面，過作交于，又平面平面，平面，平面到平面的距離為1，，在中，，設(shè)，則，為直角三角形，且，，，，，解得，，，，過B作，交于D，則為中點，由直線與距離為2，所以，，，在，，延長，使，連接，由知四邊形為平行四邊形，，平面，又平面，則在中，，，在中，，，,又到平面距離也為1，所以與平面所成角的正弦值為.19.依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由于原數(shù)據(jù)已經(jīng)排好，所以我們只需要觀察對照組第一排數(shù)據(jù)與實驗組第二排數(shù)據(jù)即可，可得第11位數(shù)據(jù)為，后續(xù)依次為，故第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計對照組61420實驗組14620合計202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.20.設(shè)，由可得，，所以，所以，即，因為，解得：．因為，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由可得，，所以，，，因為，所以，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設(shè)點到直線的距離為，所以，，所以的面積，而或，所以，當時，的面積．21.令,則則當當,即.當,即.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減設(shè)設(shè)所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當,符合題意.若當,所以..所以,使得,即,使得.當,即當單調(diào)遞增.所以當,不合題意.綜上,的取值范圍為.22.因為與軸，軸正半軸交于兩點，所以，令，