八年級數(shù)學培優(yōu)資料

.∴⑵⑶設,則原式可變?yōu)椤嘣剑?－23－2⑷[變式題組]01．分解因式：⑴⑵⑶⑷⑸[例5]⑴〔上海競賽試題求方程的整數(shù)解；⑵〔希望杯設x、y為正整數(shù),且,求xy的值[解法指導]⑴結合方程的特點對其因式分解,將不定方程轉化為方程組求解；⑵將等式左邊適當變形后進行配方,利用x、y為正整數(shù)的特點,結合不等式求解.解：⑴,,,∴,∵x、y都是整數(shù)∴∴,∴方程的整數(shù)解為,⑵,,,∵∴∵x為正整數(shù),∴x＝1,2,…,10,又∵是平方數(shù),∴x＝6或8當x＝6時＝64,y＝6,當x＝8時＝36,y＝4,∴xy＝36或32[變式題組]01.設x、y是正整數(shù),并且,則代數(shù)式的值是___________02.〔第二屆宗滬杯已知a、b為整數(shù),則滿足a＋b＋ab＝2008的有序數(shù)組〔a,b共有__________03．〔北京初二年級競賽試題將2009表示成兩個整數(shù)的平方差的形式,則不同的表示方法有〔 A．16種B．14種 C．12種 D．10種04．方程的正整數(shù)解的個數(shù)為〔 A．0個B．1個 C．2個 D．不少于3個05．一個正整數(shù),如果加上100是一個完全平方數(shù)：如果加上168則是另外一個完全平方數(shù),求這個正整數(shù).[例6]已知k、a都是正整數(shù),2004k＋a、2004〔k＋1＋a都是完全平方數(shù)⑴請問這樣的有序正整數(shù)〔k、a共有多少組？⑵試指出a的最小值,并說明理由.解：⑴①②,這里m、n都是正整數(shù),則故注意到,、奇偶性相同,則,解得,當n＝502,m＝500時,由①得2004k＋a＝250000,所以③由于k、a都是正整數(shù),故k可以取值1,2,3,…,124,相應得滿足要求的正整數(shù)數(shù)組〔k、a共124組當n＝170,m＝164時,由①得2004k＋a＝26896所以④由于k、a都是正整數(shù),故k可以取值1,2,3,…,13,相應得滿足要求的正整數(shù)數(shù)組〔k、a共13組從而,滿足要求的正整數(shù)組〔k、a共有124＋13＝137〔組⑵滿足式③的最小正整數(shù)a的值為1504,滿足式④的最小正整數(shù)a的值為844,所以,所求的a的最小值為844[變式題組]01．〔北京競賽已知a是正整數(shù),且是一個正整數(shù)的平方,求a的最大值.02．設x、y都是整數(shù),,求y的最大值第14講分式的概念?性質與運算考點?方法?破譯1．分式的概念和性質若A、B表示兩個整式,且B中含有字母,則形如的式子叫分式,當B≠0,分式有意義．分式基本性質：,2．分式的運算法則⑴同分母相加減：；⑵異分母相加減：；⑶分式的乘法：；<4>分式的除法：；<5>分式的乘方：．〔n為正整數(shù)．經典?考題?賞析[例1]<XX>要使式子有意義,x的取值范圍是<>A．x≠1B．x≠0C．x＞—1且x≠0D．x≥—1且x≠0[解法指導]式子有意義,則∴x≥－1且x≠0故選D[變式題組]01．使分式有意義,則x應滿足<>A．x≠1B．x≠2C．x≠1且x≠2D．x≠1或x≠202．下列分式一定有意義的是<>A．B．C．D．03．若對于分式,不論x取何實數(shù),總有意義,則m的取值范圍是_________．04．〔希望杯若分式；不論x取何實數(shù)總有意義,則直線y＝mx－m一定經過＿＿＿＿＿＿象限．[例2]〔天津若分式的值為0,則x的值等于________________．[解法指導]若分式的值為0,必須滿足分子為0而分母不為0．解：∴x＝２[變式題組]01．若代數(shù)式有意義,則x的取值范圍是<>A．x≠2B．x≠2且x≠－3C．x≠－3D．x≠2,x≠－3且x≠102．若式子的值為0,則x的值為______________．03．若分式的值為0,則x的值為______________．04．〔XX的值為零,則x的值為______________．[例3]〔XXXX化簡,其結果是<>A．B．C．D．[解法指導]本題考查整式的因式分解及分式的加減乘除混合運算,要注意運算順序：先乘除后加減,有括號先算括號里的或按照乘法的分配律去括號．,故選D．[變式題組]01．〔上海計算：02．〔XX化簡：03．〔襄樊計算：04．〔XX化簡：[例4]計算：[解法指導]有些異分母相加時若直接通分,最簡公分母非常復雜,因而在觀察分母的特點后可采用逐步通分、分組通分、拆項合并、換元法等方法計算解：[變式題組]01．計算：02．化簡：03．計算：[例5]已知a整數(shù),且代數(shù)式的值也是整數(shù),求a的值．[解法指導]∵由題意可知為整數(shù),∵a為整數(shù),∴a—4＝±1,±2,±4,±8,∴a＝－4,,0,2,3,5,6,8,12．[變式題組]01．求4x2－2xy－12x＋5y＋11＝0的正整數(shù)解．02．求方程4x＋y＝3xy的整數(shù)解．03．〔第二屆宗滬杯在平面直角坐標系中,把橫坐標、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點．在函數(shù),整點的個數(shù)是_____________．[例6]甲、乙兩位采購員同去一家飼料公司購買兩次飼料．兩次飼料的價格有變化,兩位采購員的購貨方式也不同,其中,甲每次購買1000千克,乙每次用去800元,而不管購買多少飼料．⑴甲、乙所購飼料的平均單價各是多少？⑵誰的購貨方式更合算？[解法指導]由于兩次飼料的單價有變化,可設第一次購買的飼料的單價為m元／千克,第二次購買的飼料的單價為n元／千克,甲、乙所購買飼料的平均單價應為兩次飼料的總價除以兩次所買飼料的總質量．在第⑵問中,比較甲、乙所購飼料的平均單價,誰的平均單價低誰的購貨方式就更合算,可以用作差比較平均單價．解：⑴設兩次購買的飼料單價分別為m元／千克和n元／千克〔m、n是正數(shù),且m≠n甲兩次購買飼料的平均單價為〔元／千克,乙兩次購買飼料的平均單價為〔元／千克⑵甲、乙兩種飼料的平均單價的差是由于m、n是正數(shù),且m≠n,所以也是正數(shù),即,因此乙的購買方式更合算．[變式題組]01．西瓜按千克計價,購買西瓜時,希望可以食用的部分占整個西瓜的比例越大越好．如果一批西瓜的皮厚均為d,試問買大西瓜還是買小西瓜合算？〔把瓜看作球體,并設西瓜的密度是均勻的,球的體積是,其中R為球的半徑02．〔XXXXA玉米試驗田是邊長為a米的正方形減去一個邊長為1米的正方形蓄水池后余下部分,B玉米試驗田是邊長為〔a－1米的正方形,兩塊試驗田的玉米都收獲了500千克．⑴那種玉米的單位面積產量高？⑵高的單位面積產量是低的單位面積產量的多少倍？演練鞏固反饋提高01．下列各式計算正確的是<>A．B．C．D．02．已知a＞1,,,,則A、B、C的大小關系是<>A．A＞B＞CB．A＞C＞BC．C＞B＞AD．C＞A＞B03．〔XX化簡的結果<>A．a－bB．a＋bC．D．04．<黃岡>化簡的結果是<>A．－4B．4C．2aD．－2a05．化簡等于<>〔錯A．B．C．D．06．下列計算中,=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤,其中正確的有___________<填序號>．07．〔XX化簡：_____________．08．若整數(shù)x能使分式的值是整數(shù),則符合條件的x的值是______________．09．〔棗莊a、b為實數(shù),且ab＝1,設P＝,Q＝,則P__________Q．<填"＞"、"＜"或"＝">10．計算：⑴;⑵;11．設,先化簡y,然后確定當x取什么整數(shù)時,能使y的值是正整數(shù)．12．建筑上有這樣的規(guī)定：民用建筑的采光度等于窗戶面積與地面面積之比,但窗戶面積必須小于地面面積,采光度越大,說明采光條件越好,問：增加同樣的窗戶面積和地面面積,采光條件是變好了還是邊差了,為什么？13．〔XX甲、乙兩工程隊分別承擔一條2千米公路的維修工作,甲隊有一半時間每天維修公路x千米,另一半時間每天維修公路y千米．乙隊維修前1千米公路時,每天維修x千米；維修后1千米公路時,每天維修y千米〔x≠y．⑴求甲、乙兩隊完成任務需要的時間〔用含x、y的代數(shù)式表示；⑵問甲、乙兩隊哪隊先完成任務？第15講分式的化簡求值與證明考點?方法?破譯分式的化簡、求值先化簡,后代入求值是代數(shù)式化簡求值問題的基本策略,有條件的化簡求值題,條件可直接使用,變形使用,或綜合使用,要與目標緊緊結合起來；無條件的化簡求值題,要注意挖掘隱含條件,或通過分式巧妙變形,使得分子為0或分子與分母構成倍分關系特殊情況,課直接求出結果.分式的證明證明恒等式,沒有統(tǒng)一的方法,具體問題還要具體分析,一般分式的恒等式證明分為兩類：一類是有附加條件的,另一類是沒有附加條件的,對于前者,更要善于利用條件,使證明簡化.經典?考題?賞析[例1]〔XXXX先化簡代數(shù)式<＋>÷,然后選取一個使原式有意義的x的值代入求值.[解法指導]本題化簡并不難,關鍵是所取的值的選擇,因為原式的分母為：x＋1,x2－1,要是原式有意義,則x＋1≠0且x2－1≠0故x≠1,因而可取的值很多,但不能取x≠1解：<＋>÷＝[＋]·<x＋1><x－1>＝<x－1>2＋2x＝x2＋1當x＝0時,原式＝1．[變式題組]01．〔XX先化簡,再求值,其中a＝2.02．〔XX已知x＝2＋,y＝2－,計算代數(shù)式的值03．〔XX先化簡：÷<a＋>,當b＝－1時,請你為a任選一個適當?shù)臄?shù)代入求值.04.〔XX先將代數(shù)式<x－>÷<1＋>化簡,再從－3＜x＜3的范圍內選取一個合適的整數(shù)x代入求值.[例2]已知＋＝5,求的值.[解法指導]解法1：由已知條件,知xy≠0.將所求分式分子、分母同除以xy,用整體代入法求解.解法2：由已知條件＋＝5,求得x＋y＝5xy,代入求值.解：方法1：∵＋＝5,,∴x≠0,y≠0,xy≠0將待求分式的分子、分母同除以xy.原式＝＝＝＝1．方法2：由＋＝5知x≠0,y≠0,兩邊同乘以xy,得x＋y＝5xy故＝＝＝＝1．[變式題組]01．〔天津已知－＝4,則的值等于〔A．6B．－6C．D．02．若x＋y＝12,xy＝9,求的值.03．若4x－3y－6z＝0,x＋2y－7z＝0,求的值.[例3]〔XX競賽已知＝1,求的值.[解法指導]利用倒數(shù)有時會收到意外的效果.解：∵∴＝1∴x－3＋＝1∴x＋＝4.又∵＝x2－9＋＝<x－>2－11＝16－11＝5.∴＝.[變式題目]01．若x＋＝4,求的值.02．若a2＋4a＋1＝0,且＝5求m.[例4]已知＝,＝,＝,求的值.[解法指導]將已知條件取倒數(shù)可得＝3,＝4,＝5,進而可求的值,將所求代數(shù)式也取倒數(shù)即可求值.解：由已知可知ac、bc、ab均不為零,將已知條件分別取倒數(shù),得,即三式相加可得＋＋＝6,將所求代數(shù)式取倒數(shù)得＝＋＋＝6,∴＝.[變式題組]01．〔XX聯(lián)賽試題實數(shù)a、b、c滿足：＝,＝,＝,則ab＋bc＋ac＝.02．〔天津初賽試題已知＝2,＝3,＝4,求7x＋5y－2z的值.[例5]若＝＝,求的值.[解法指導]觀察題目易于發(fā)現(xiàn),條件式和所求代數(shù)式中都有a＋b,c＋b,a＋c這些比較復雜的式子,若設＝＝＝k,用含k的式子表示a＋b,c＋b,a＋c可使計算簡化.解：設＝＝＝k,則a＋b＝ck,c＋b＝ak,a＋c＝bk,三式相加,得2<a＋b＋c>＝<a＋c＋b>k.當a＋b＋c≠0時,k＝2；當a＋b＋c＝0時,a＋b＝－c,,∴k＝－1．∴當k＝2時,＝k3＝8；當k＝－1時,＝k3＝－1．[變式題組]01．已知x、y、z滿足＝＝,則的值為〔A．1B．C．D．02．<天津競賽題>已知a、b、c為非零實數(shù),且a＋b＋c≠0,若＝＝,求的值.[例6]已知abc＝1,求證：＋＋＝1[解法指導]反復整體利用,選取其中一個的分母不變,將另外兩個的分母化為與它的分母相同再相加.證明：∵＝＝＝＝＝＝∵＋＋＝＋＋＝1[變式題組]01．〔XX省初二數(shù)學聯(lián)賽試題已知＝＝,a≠b≠c則a2＋b2＋c2＝〔A．5B．C．1D．02．〔XX省初二數(shù)學聯(lián)賽試題已知不等于零的三個數(shù)滿足.求證：a、b、c中至少有兩個數(shù)互為相反數(shù).03．若：a、b、c都不為0,且a＋b＋c＝0,求的值.演練鞏固反饋提高01．已知x－＝3,那么多項式x3－x2－7x＋5的值是〔A．11B．9C．7D．502．若M＝a＋b,N＝a－b,則式子－的值是〔A．B．C．D．003．〔內江已知5x2－3x－5＝0,則5x2－2x－＝.04.〔XX設a＞b＞0,a2＋b2－6ab＝0,則＝.05.已知a＝1＋2n,b＝1＋,則用含a的式子表示b是.06.a＋b＝2,ab＝－5,則＝.07.若a＝,b＝－,c＝,試把a、b、c用"＜"連接起來為.08.已知＝,求的值為.09.若2x＝,＝81,則xy的值為.10.化簡為.11．〔XX先化簡,再求值：,其中x＝,y＝3．12．〔思施求代數(shù)式的值：,其中x＝2＋.13．〔XX先化簡,再求值：,其中x＝－3．14.已知：,求常數(shù)A、B的值.15.若a＋＝3,求2a3－5a2－3＋的值.培優(yōu)升級奧賽檢測01．〔全國初中數(shù)學競賽試題若＝20,＝10,則的值為〔A．B．C．D．02．〔XX競賽試題已知x＋y＝x－1＋y－1≠0,則xy的值為〔A．－1B．0C．1D．203．〔天津初賽試題已知x＋＝7<0＜x＜1>,則－的值為〔A．－B．－C．D．04.〔XX聯(lián)賽試題已知正實數(shù)a、b滿足ab＝a＋b,則〔A．－2B．C．D．205.〔荊州市八年級數(shù)學聯(lián)賽試題已知－＝1,則＋的值為〔A．±B．C．±D．06.已知abc≠0,并且a＋b＋c＝0,則a<＋>＋b<＋>＋c<＋>的值為〔A．0B．1C．－1D．－307.設x、y、z均為正實數(shù),且滿足,則x、y、z三個數(shù)的大小關系是〔A．z＜x＜yB．y＜z＜xC．x＜y＜zD．z＜y＜x08.〔XX八年級競賽試題如果a是方程x2－3x＋1＝0的根,那么分式的值是.09.〔XX八年級競賽試題甲乙兩個機器人同時按勻速進行100米速度測試,自動記錄表表明：當甲距離終點差1米,乙距離終點2米；當甲到達終點時,乙距離終點1．01米,經過計算,這條跑道長度不標準,則這條跑道比100米多.10.若a＋＝1,b＋＝1,求c＋的值.11．已知a、b、c、x、y均為實數(shù),且滿足＝,＝,＝,＝<y≠>〔其中求x的值.12．〔全國聯(lián)賽當分別取值,,,……,1,2,……2007,2008,2009時,分別計算代數(shù)式的值,將所得的結果相加,其和是多少？13．〔全國初中數(shù)學競賽試題在一列數(shù)x1,x2,x3…中,已知x1＝1,且當k≥2時,xk＝xk－1＋1－4<[－]>〔取整符號[a]表示不超過實a數(shù)的最大整數(shù),例如[2．6]＝2,[0.2]＝0求x2010的值.14.〔全國初中數(shù)學競賽試題已知對于任意正整數(shù)n,都有a1＋a2＋…＋an＝n3,求＋＋…＋的值.第16講分式方程及其應用考點·方法·破譯1．分式方程<組>的解法解分式方程的一般步驟:⑴去分母,將分式方程轉化為整式方程;⑵解整式方程;⑶驗根.有的分式方程也要依據(jù)具體的情況靈活處理.如分式中分子<整式>的次數(shù)高于等于分母<整式>的次數(shù)時,可利用分拆思想,把分式化為"整式＋分式"的形式,化簡原方程再解;或將分式方程兩邊化為分子<或分母>相等的分式,再利用分母<或分子>相等構成整式方程求解;或利用換元法將分式方程化為整式方程,或利用倒數(shù)法使方程更簡便.2．分式方程增根在解分式方程時,通常將分式方程兩邊同時乘以最簡公分母<化為整式方程>,這就擴大了未知數(shù)的取值范圍,可能產生增根.因此,解分式方程時一定要驗根.又如求分式方程的解的取值范圍<解是正數(shù),或解是負數(shù)>時,要注意剔除正數(shù)解或負數(shù)解中的增根<因為增根不是分式方程的根>.3．列分式方程解應用題列分式方程解應用題同運用整式方程解應用題的方法和步驟是類似的,但要注意分式方程求出的未知數(shù)的解要雙重檢驗,①檢驗是否是增根,②檢驗解是否符合實際意義.經典·考題·賞析[例1]解下列方程:⑴－＝1⑵－－＝4⑶＋＝＋[解法指導]對于方程⑴、⑵只需先將分母分解因式,找到最簡公分母,然后將分式方程轉化為整式方程,求解并驗根.對于方程⑶如果按常規(guī)方法去分母則計算復雜,若注意到將這四個分式的分母均比分子小這個特點,先化簡,如＝＝1＋,按照上述變形,原方程可變?yōu)椋剑僖祈椇蠓纸M通分求解較簡單.解:⑴－＝1<x－2>2－16＝<x＋2><x－2>x2－4x＋4－16＝x2－4x＝－2當x＝－2時<x＋2><x－2>＝0,∴x＝－2是增根,原分式方程無解.⑵＋－＝4x－2＋4x2－2<x＋2>＝4<x＋2><x－2>∴x＝10當x＝10時,<x＋2><x－2>≠0,∴原分式方程的解為x＝10.⑶原方程變形為＋＝＋1＋＋1＋＝1＋＋1＋∴＋＝＋－＝－兩邊分別通分得:＝∴<x－5><x－6>＝<x－8><x－9>∴x＝7檢驗知x＝7是原方程的解.[變式題組]⑴＝－2⑵＋2＝⑶－＝－⑷＋＋＝1[例２]當m為何值時,分式方程－＝會產生增根?[解法指導]我們很容易測出分式方程可能產生的增根是x＝1或x＝－1,只要把猜測的增根分別代入去分母后的整式方程,即可求出相應的字母的值.解:原方程去分母并整理得<m－2>x＝5＋m假設產生增根x＝1,則有:m－2＝5＋m,方程無解,所以不存在m的值,使原方程產生增根x＝1;假設產生增根x＝－1,則有:2－m＝5＋m,解得m＝－.∴m＝－時,分式方程－＝產生增根.[變式題組]01．分式方程－＝的增根是__________.02．若分式方程－＝1有增根,則它的增根為<>A．0B．1C．－1D．1,－103．<XX>若關于x的方程＝1－無解.則m的值為___________.04．分式方程－＝無解,則m的值為___________.[例３]<XX>已知關于x的方程＝3的解是正數(shù),則m的取值范圍是_________.[解法指導]求出方程的解x＞0且x≠2即可解:＝32x＋m＝3x－6x＝m＋6∴∴m＞－6且m≠－4[變式題組]01．<XX>關于x的方程＝1的解是正數(shù),則a的取值范圍是<>A．a＞－1B．a＞－1,且a≠0C．a＜－1D．a＜－1,且a≠－202．當m為何值時,關于x的方程＝－的解是正數(shù)?[例４]<XXXX>某體育用品商場預測某品牌運動服能夠暢銷,就用32000元購進了一批這種運動服,上市后很快脫銷,商場又用68000元購進第二批這種運動服,所購數(shù)量是第一批購進數(shù)量的2倍,但每套進價多了10元.⑴該商場兩次共購進這種運動服多少套?⑵如果這兩批運動服每套的售價相同,且全部售完后總利潤不低于20%,那么每套售價至少是多少元?[解法指導]⑴設商場第一次購進x套運動服,由題意得:－＝10解這個方程,得x＝200,經檢驗,x＝200是原方程的解.2x＋x＝600∴商場兩次共購進這種運動服600套.⑵設每套運動服的售價為y元.則有≥20%,y≥200∴每套運動服售價至少200元.[變式題組]01．<XX>某服裝廠準備加工400套運動裝,在加工完160套后,采用了新技術,使得工作效率比原計劃提高了20%,結果共用了18天完成任務,問計劃每天加工服裝多少套?在這個問題中,設計劃每天加工x套,則根據(jù)題意可得方程為<>A．＋＝18B．＋＝18C．＋＝18D．＋＝1802．<XX>銘潤超市用5000元購進一批新品種的蘋果進行試銷,由于銷售狀況良好,超市又調撥11000元資金購進該品種蘋果,但這次的進貨價比試銷時每千克多了0.5元,購進蘋果數(shù)量是試銷的2倍.⑴試銷時該品種蘋果的進貨價是每千克多少元?⑵如果超市將該品種蘋果按每千克7元的定價出售,當大部分蘋果售出后,余下的400千克按定價的七折售完,那么超市在這兩次蘋果銷售中共盈利多少元?03．<廣西XX>由甲、乙兩個工程隊承包某校校園綠化工程,甲、乙兩隊單獨完成這項工程所需時間比是3:2,兩隊合做6天可以完成.⑴求兩隊單獨完成此項工程各需多少天?⑵此項工程由甲、乙兩隊合做6天完成任務后,學校付給他們20000元報酬,若按各自完成的工程量分配這筆錢,問甲、乙兩隊各得到多少元?演練鞏固·反饋提高01．<XX>關于x的分式方程＝1,下列說法正確的是<>A．方程的解是x＝m＋5B．m＞－5時,方程的解是正數(shù)C．m＜－5時,方程的解是負數(shù)D．無法確定02．<XX>甲志愿者計劃用若干個工作日完成社區(qū)的某項工作,從第三個工作日起,乙志愿者加盟此項工作,且甲、乙兩人工效