最優(yōu)控制應(yīng)用基礎(chǔ)-緒論(Nature)

《最優(yōu)控制》研究生課程主講教師:黃建明參考書最優(yōu)控制－理論與應(yīng)用解學(xué)書，清華大學(xué)出版社，1986年7月系統(tǒng)最優(yōu)化及控制符曦編著，機(jī)械工業(yè)出版社，1995年９月參考書最優(yōu)控制應(yīng)用基礎(chǔ)邢繼祥等編著，科學(xué)出版社，2003年8月緒論三個(gè)著名的古典問題最優(yōu)控制問題的提出最優(yōu)控制問題舉例最優(yōu)控制問題的一般描述最優(yōu)控制發(fā)展簡史等周問題在微積分以前，已有許多人開始研究用數(shù)學(xué)方法解決最優(yōu)化問題。例如歐洲古代城堡幾乎都是圓形的。因?yàn)楣?87年－212年，阿基米德已證明，給定周長，圓所包圍的面積最大，數(shù)學(xué)上稱為等周問題。中國古代城堡卻是方形的，這是因?yàn)榻o定周長時(shí)正方形是包圍面積最大的四邊形；反之給定面積時(shí)，正方形是周長最短的四邊形?；￠L為定值的曲線y=y(x)如何選取，才能使所圍成的面積為最大。捷線問題

捷線問題，或稱最短時(shí)間問題，或稱最速降線問題，是這樣提出來的：如果有一個(gè)質(zhì)量為m的小球受到重力的作用，在垂直平面內(nèi)沿金屬絲無摩擦的下滑到某一點(diǎn)，為了使下滑時(shí)間最短，則金屬絲應(yīng)當(dāng)具有什么形狀？伽利略曾猜測(cè)金屬絲形狀是圓弧，但1694年貝努里證明這種金屬絲是一條擺線，與利用求泛函極值的變分法所得結(jié)果一致。短程線問題以上是三個(gè)在歷史上對(duì)變分法的創(chuàng)立產(chǎn)生過重大影響的命題。實(shí)際上人們做任何一件事，不管是分析問題，還是進(jìn)行綜合、作出決策，都要用一種標(biāo)準(zhǔn)衡量一下是否達(dá)到了最優(yōu)。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)、生產(chǎn)技術(shù)改造、工程設(shè)計(jì)，和在生產(chǎn)計(jì)劃管理、社會(huì)經(jīng)濟(jì)問題中，人們總是希望采取種種措施，以便在有限的資源條件下或規(guī)定的約束條件下得到最滿意的效果。

短程線問題給定一個(gè)曲面及其上面的任意兩點(diǎn)A和B，尋找一條把A、B連接起來的曲線，使它的長度最短。這條最短的曲線叫做短程線。最優(yōu)控制問題的提出

經(jīng)典控制理論采用試湊法設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)，系統(tǒng)性能不是最優(yōu)的。所用性能指標(biāo)如上升時(shí)間、最大超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間、穩(wěn)態(tài)誤差等。這是一種綜合性能指標(biāo)評(píng)價(jià)方法。通過對(duì)這種評(píng)價(jià)方法的進(jìn)一步發(fā)展，將對(duì)系統(tǒng)的要求統(tǒng)一在一個(gè)評(píng)價(jià)函數(shù)中，以求得在總體上達(dá)到最優(yōu)。這就是最優(yōu)控制思想的萌芽。性能指標(biāo)(目標(biāo)函數(shù)、評(píng)價(jià)函數(shù)或性能泛函)可以是產(chǎn)量達(dá)到最高、成本降到最低、目標(biāo)方位角估計(jì)誤差最小、火箭射程最遠(yuǎn)等。

維納對(duì)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)思想：使系統(tǒng)過渡過程期間誤差平方的時(shí)間積分為最小。即

維納在40年代提出了相對(duì)于某一性能指標(biāo)進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)的概念維納美國數(shù)學(xué)家，美國全國科學(xué)院院士?？刂普摰膭?chuàng)始人。1913年18歲在哈佛大學(xué)獲得哲學(xué)博士學(xué)位。畢業(yè)后到英國劍橋大學(xué)在哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家羅素指導(dǎo)下研究數(shù)理邏輯，后又到德國格丁根大學(xué)在著名的數(shù)學(xué)家希爾伯特指導(dǎo)下研究數(shù)學(xué)。1915~1919年間先后擔(dān)任哈佛大學(xué)哲學(xué)講師，緬因大學(xué)數(shù)學(xué)講師，通用電氣公司工程師等職。1919年到麻省理工學(xué)院任數(shù)學(xué)講師，1924年任助理教授，1929年任副教授，1932年任教授,直到1960年退休。1935~1936年間曾訪問過中國，擔(dān)任清華大學(xué)客座教授。1933年當(dāng)選為美國全國科學(xué)院院士。1935~1937年當(dāng)選為美國數(shù)學(xué)會(huì)副主席。維納維納在數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn)有：隨機(jī)過程（特別是非線性隨機(jī)過程理論和布朗運(yùn)動(dòng)理論），廣義調(diào)和分析和其它數(shù)學(xué)分析問題。他發(fā)表的重要論文有：《微分空間》(1923)，《廣義調(diào)和分析》(1930)，《陶伯定理》(1932)，《復(fù)數(shù)域的傅立葉變換》(1934)等。1933年出版專著《傅立葉積分及其某些應(yīng)用》，1958年出版《隨機(jī)過程中的非線性問題》。在第二次世界大戰(zhàn)期間，維納從事防空火力自動(dòng)控制的研究，當(dāng)時(shí)的主要問題是如何瞄準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)。他為此發(fā)表論文《平穩(wěn)時(shí)間序列的外推、內(nèi)插和平滑》，建立了著名的維納濾波理論，用統(tǒng)計(jì)方法來處理控制工程和通信工程問題。最優(yōu)控制問題例產(chǎn)值分配問題設(shè)x(t)是某一企業(yè)在時(shí)刻t的產(chǎn)值的總額，這一總額分配給下面兩種用途：①利潤上繳及消費(fèi)；②再投資提高生產(chǎn)力。設(shè)u(t)表示在時(shí)刻t用于再投資的產(chǎn)值的比值，這里0≤u(t)≤1，那么1－u(t)就表示用于利潤上繳及消費(fèi)的比值。假設(shè)再投資的產(chǎn)值用來提高生產(chǎn)能力，則可表示為其中x(0)=x0表示原始資金，k為適當(dāng)常數(shù)(即生產(chǎn)的增長率正比于投資的總額)。產(chǎn)值增長率最優(yōu)控制問題問題是選擇u(t)，使得在某一固定時(shí)期t1內(nèi)總的利潤與消費(fèi)的積累為最大值，也就是說，我們要使取最大值。對(duì)于這個(gè)問題，我們應(yīng)該考慮，是要把一切產(chǎn)值都用于消費(fèi)品的生產(chǎn)；還是目前作一些投資提高現(xiàn)有的生產(chǎn)能力，以便今后能生產(chǎn)得更多，從而也能消費(fèi)得更多。我們是否要遵循先投資一切，而后再消費(fèi)一切的過程。利潤與消費(fèi)的積累最優(yōu)控制問題例升降機(jī)的最快升降問題電梯快速升降問題、機(jī)車的快速運(yùn)行、軋鋼機(jī)的快速控制、機(jī)械振動(dòng)的快速消振、衛(wèi)星的快速會(huì)合等。將被控對(duì)象簡化成一個(gè)內(nèi)部帶控制器的物體M，其質(zhì)量為1。重力加速度g垂直向下作用到M的質(zhì)心上。控制器可提供一個(gè)作用于M質(zhì)心上的使其垂直上升或下降的加速度u(t)?？紤]到u(t)由動(dòng)力設(shè)備產(chǎn)生，其大小必受到限制。因此有|u(t)|≤k，k為正常數(shù)。簡化示意圖如圖所示。xgMu(t)o地面記x為M的質(zhì)心距地面高度，地面上為正，地面下為負(fù)。加速度u(t)向上為正，向下為負(fù)。初始時(shí)刻t0，末端時(shí)刻tf

。最優(yōu)控制問題動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型設(shè)，，則可用狀態(tài)方程表示為端點(diǎn)條件初始狀態(tài)末端狀態(tài)，，容許控制|u(t)|≤k性能指標(biāo)問題可敘述為：尋找滿足|u(t)|≤k的控制，使得它把M從初態(tài)轉(zhuǎn)移到末態(tài)且使過渡時(shí)間最短（即性能指標(biāo)J達(dá)到最優(yōu)）。最優(yōu)控制問題的一般描述最優(yōu)控制問題的四個(gè)要素：①受控系統(tǒng)或過程的數(shù)學(xué)模型②容許控制的集合Uad工程實(shí)際因素的限制決定了控制的類型。一個(gè)容許控制只能在控制的容許類中選取。

③目標(biāo)集S在控制作用下系統(tǒng)狀態(tài)所要達(dá)到的目標(biāo)區(qū)。目標(biāo)集可以表示為④性能指標(biāo)反映和評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能優(yōu)劣的指標(biāo)。一般可表示為性能指標(biāo)值的大小依賴于控制作用的整體u(·)的選擇，而不是取決于控制u(t)在t時(shí)刻的值；因此J[u(·)]是控制函數(shù)u(·)的函數(shù)（稱為u(·)的泛函）。一般描述最優(yōu)控制問題可表述為：尋找一個(gè)容許控制u(t)，以使受控系統(tǒng)從某個(gè)給定的初始狀態(tài)出發(fā)，在末端時(shí)刻達(dá)到目標(biāo)集，并且使性能指標(biāo)泛函J[u(·)]達(dá)到極小值或極大值。如果這個(gè)問題是有解的，那么就稱求得的容許控制為最優(yōu)控制，記為u*(t)；而系統(tǒng)狀態(tài)方程在u*(t)作用下的解稱為最優(yōu)軌線，記為x*(t)，相應(yīng)的極小或極大性能指標(biāo)值J[u*(·)]，稱為最優(yōu)指標(biāo)值。在數(shù)學(xué)上，最優(yōu)控制問題的實(shí)質(zhì)，是對(duì)受約束的泛函J[u(·)]求極值的問題，其中的約束條件為系統(tǒng)的狀態(tài)方程、目標(biāo)集方程和容許控制域。

開環(huán)控制與閉環(huán)控制：最優(yōu)控制的一類形式是表示為時(shí)間變量t的函數(shù)，稱為程序控制或開環(huán)控制。程序控制的主要缺點(diǎn)，是不能消除或抑制由于參數(shù)的變動(dòng)和環(huán)境的變化對(duì)系統(tǒng)造成的擾動(dòng)。最優(yōu)控制的另一類形式是表示為狀態(tài)變量的函數(shù)，實(shí)質(zhì)上是一種狀態(tài)反饋，稱為綜合控制或閉環(huán)控制。其優(yōu)點(diǎn)是對(duì)抑制擾動(dòng)有利。最優(yōu)控制發(fā)展簡史最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論的一個(gè)主要分支，著重于研究使控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化的基本條件和綜合方法。一個(gè)最優(yōu)控制問題，歸結(jié)為求某個(gè)泛函的條件極值問題。研究泛函的極值在數(shù)學(xué)上已形成一個(gè)獨(dú)立的分支，叫做變分法。古典變分法只能用在控制變量的取值范圍不受限制的情況，因此，古典變分法對(duì)于解決許多重要的實(shí)際最優(yōu)控制問題，是無能為力的。1958年蘇聯(lián)學(xué)者龐特里亞金提出了極大值原理，它是分析力學(xué)中古典變分法的推廣，其突出優(yōu)點(diǎn)是可用于控制變量受限制的情況，能給出問題中最優(yōu)控制所必須滿足