第四章 集中趨勢(shì)和離中趨勢(shì)

第四章集中趨勢(shì)和離中趨勢(shì)4.1集中趨勢(shì)的計(jì)量4.2離中趨勢(shì)的計(jì)量4.3數(shù)據(jù)的分布形狀1.簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式:

它是反映數(shù)據(jù)集中的主要測(cè)度。4.1集中趨勢(shì)的計(jì)算集中趨勢(shì)反映一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)所具有的共同趨勢(shì)，即資料中各數(shù)據(jù)聚集的位置。一、算術(shù)平均（也叫均值）算術(shù)平均的統(tǒng)計(jì)含義：算術(shù)平均數(shù)是同質(zhì)總體各數(shù)據(jù)偶然性、隨機(jī)性特征互相抵消后的穩(wěn)定數(shù)值。反映數(shù)據(jù)集中的特征。例某生產(chǎn)班組11個(gè)工人的日產(chǎn)零件數(shù)分別為：15，17，19，20，22，…26，30。求該生產(chǎn)班組工人的平均日產(chǎn)零件數(shù)。22＊＊＊＊＊＊＊…解：算術(shù)平均值的性質(zhì)一:數(shù)據(jù)觀察值與均值的離差值之和為零.此性質(zhì)表明均值是各數(shù)值的重心算術(shù)平均值的性質(zhì)二：觀察值與均值的離差平方和最小。為任意數(shù)故用算術(shù)平均值來(lái)預(yù)測(cè)作為估計(jì)值，誤差平方和最小。數(shù)列:1,2,2,3平均數(shù)為2數(shù)列:1,2,2,5平均數(shù)為2.5數(shù)列:1,2,2,7平均數(shù)為3均值的缺點(diǎn)：均值易受極端值的影響，某個(gè)極端大值或極端小值都會(huì)影響均值的代表性。同時(shí)還影響其對(duì)集中趨勢(shì)測(cè)度的準(zhǔn)確性。2.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)如果數(shù)據(jù)是分組資料，經(jīng)過(guò)整理形成了次數(shù)分配，由于各組次數(shù)不同，要用次數(shù)作權(quán)數(shù)計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。則均值的計(jì)算公式為：其中Xi表示第i組的組中值，fi表示第i組的次數(shù)。工人一周生產(chǎn)零件數(shù)工人數(shù)fi組中值xixifi60以下75538560-702165136570-802575187580-901985161590以上895760合計(jì)80---6000例：某單位80工人一周生產(chǎn)零件數(shù)的分組統(tǒng)計(jì)資料如下表：二、中位數(shù)將數(shù)據(jù)觀察值x1,x2,…,xn按其變量值由小到大的順序排列，處于數(shù)列中點(diǎn)位置的數(shù)值就是中位數(shù)（Me）。

中位數(shù)的確定方法：①如果數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則處于（n+1)/2位置的標(biāo)志值是中位數(shù)。②如果數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則處于n/2、n/2+1的兩個(gè)標(biāo)志值的平均數(shù)為中位數(shù)。③如果是組距分組資料，公式為：中位數(shù)是n/2位置上的數(shù)值，設(shè)落在第i組,Li是中位數(shù)所在組的下限，fi是中位數(shù)所在組的次數(shù)。Fi-1是中位數(shù)所在組的前一組的累積次數(shù)Ui-Li是中位數(shù)所在組的組距=上限-下限向上累積向下累積某單位80工人一周生產(chǎn)零件數(shù)分組統(tǒng)計(jì)資料如下：工人一周生產(chǎn)零件數(shù)工人數(shù)fi組中值xixifi向上累計(jì)頻數(shù)向下累計(jì)頻數(shù)60以下75538578060-7021651365287370-8025751875535280-9019851615722790以上895760808合計(jì)80---6000------中位數(shù)是位置平均數(shù)，不受極端值的影響。各個(gè)數(shù)值相對(duì)其中位數(shù)的絕對(duì)離差之和為最小。不足：中位數(shù)確定時(shí)只與中間位置的相關(guān)數(shù)據(jù)有關(guān)，而不考慮其它數(shù)值的大小，缺乏敏感性；計(jì)算復(fù)雜。三、眾數(shù)眾數(shù)是一組資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)值，也反映數(shù)據(jù)集中的程度（M0）。①未分組資料，M0就是出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。20，15，18，20，20，22，20，2320，20，15，19，19，

20，19，2510，11，13，16，15，25，8，12②分組資料：在等距分組的情況下，頻數(shù)最多的組是眾數(shù)組，在該組內(nèi)確定眾數(shù)。設(shè)眾數(shù)在第i組，則Li是眾數(shù)所在組的下限，Ui是眾數(shù)所在組的上限；fi是眾數(shù)所在組的次數(shù)。di=Ui-Li是中位數(shù)所在組的組距=上限-下限某單位80工人一周生產(chǎn)零件數(shù)分組統(tǒng)計(jì)資料如下：工人一周生產(chǎn)零件數(shù)工人數(shù)fi組中值xixifi向上累計(jì)頻數(shù)向下累計(jì)頻數(shù)60以下75538578060-7021651365287370-8025751875535280-9019851615722790以上895760808合計(jì)80---6000------在Excel中AVERAGE（）—計(jì)算算術(shù)平均數(shù)利用SUM（）函數(shù)和SUMPRODUCT（）函數(shù)求加權(quán)算術(shù)平均。MEDIAN（）—計(jì)算中位數(shù)MODE（）—計(jì)算眾數(shù)四、均值、中位數(shù)、眾數(shù)三者之間的關(guān)系XfXfXf(對(duì)稱分布)正偏態(tài)分布（右）負(fù)偏態(tài)分布(左）均值是數(shù)據(jù)分布的平衡點(diǎn)或重心，中位數(shù)把這個(gè)分布劃分為兩半，眾數(shù)正好是分布的頂端。在偏斜不大時(shí)，中位數(shù)大約位于均值與眾數(shù)的1/3處。算術(shù)平均數(shù)適用于定距變量（或數(shù)值變量、定量變量），中位數(shù)適用于定序變量，眾數(shù)則適用于定類變量（或定性變量）五、集中趨勢(shì)的其它測(cè)度量1.分位數(shù)：四分位數(shù)、十分位數(shù)、百分位數(shù)。分位數(shù)的計(jì)算：（1）將資料按大小順序排列；（2）求出分位數(shù)所在位置i；（3）若i為整數(shù)，則所求分位數(shù)為該位置上的數(shù)值；若i為非整數(shù)，則取第i與第i+1位置的兩個(gè)數(shù)值的平均數(shù)為所求分位數(shù)。（4）若資料為分組數(shù)據(jù)，則各分位數(shù)可按下式計(jì)算：Ki表示第i個(gè)K分位數(shù)；Li表示第i個(gè)K分位數(shù)所在組的下限；N表示數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)；Fi-1表示第i個(gè)K分位數(shù)所在組的前一組的累積次數(shù)；fi是第i個(gè)K分位數(shù)所在組的次數(shù)。di=Ui-Li是第i個(gè)K分位數(shù)所在組的組距。其中[]表示中位數(shù)的位置取整。這樣計(jì)算出的四分位數(shù)的位置，要么是整數(shù)，要么在兩個(gè)數(shù)之間0.5的位置上四分位數(shù)的位置確定方法：方法1：定義算法方法2：以中位數(shù)為中心，從兩端再計(jì)算中位數(shù)，公式：方法3Excel給出的四分位數(shù)位置的確定方法無(wú)論哪種算法，如果位置是整數(shù)，四分位數(shù)就是該位置對(duì)應(yīng)的值；如果是在0.5的位置上，則取該位置兩側(cè)值的平均數(shù)；如果在0.25或0.75位置上，則四分位數(shù)等于該位置的下側(cè)值加上按比例分?jǐn)偽恢脙蓚?cè)數(shù)值的差值?！纠浚?個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)(3種方法計(jì)算)

原始數(shù)據(jù):15007507801080850960200012501630

排序:75078085096010801250150016302000

位置:123456789方法1：方法2：所以QL為從最小值數(shù)第3個(gè)數(shù)值，即850元；Qu為從最大值數(shù)第3個(gè)數(shù)值，即1500元；方法3Excel方法所以QL為第3個(gè)數(shù)值，即850元；Qu為7個(gè)數(shù)值，即1500元；可見(jiàn)三種方法計(jì)算的四分位數(shù)不完全相同。但對(duì)他們的解釋是一樣的，即排序數(shù)據(jù)中，至少25%的數(shù)據(jù)小于等于QL，至少75%的數(shù)據(jù)小于等于Qu。原始數(shù)據(jù):15007507801080850960200012501630

排序:75078085096010801250150016302000

位置:1234567892.幾何平均數(shù)公式為：

用于計(jì)算平均比率或平均速度。包括（1）對(duì)比率進(jìn)行平均；（2）測(cè)定生產(chǎn)或經(jīng)濟(jì)變量的時(shí)間序列的平均增長(zhǎng)率。舉例：將一筆錢存入銀行，存期10年，以復(fù)利計(jì)息，10年的利率分配是：第1年至第2年為5%、第3年至5年為8%、第6年至第8年為10%、第9年至第10年12%，計(jì)算平均年利率。注意：當(dāng)觀測(cè)值有一項(xiàng)為0或負(fù)值時(shí)，不易計(jì)算幾何平均數(shù)。3.調(diào)和平均值調(diào)和平均值是觀察值倒數(shù)之平均數(shù)的倒數(shù)，也稱倒數(shù)平均數(shù)。用表示：（1）具有倒數(shù)性質(zhì)例如某人前10公里以時(shí)速50公里行駛，后10公里以30公里時(shí)速行駛。這20公里花了0.533小時(shí)，所以平均時(shí)速（2）總體單位數(shù)未知時(shí)，例4.11（71）加權(quán)調(diào)和平均數(shù)應(yīng)用條件：資料經(jīng)過(guò)分組，各組次數(shù)不同。算術(shù)平均、幾何平均、調(diào)和平均三者關(guān)系三者均屬于均值體系算術(shù)平均值是直接對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行平均；幾何平均值是對(duì)觀察值對(duì)數(shù)后的平均；調(diào)和平均值是對(duì)觀察值取倒數(shù)后平均；一般情況下，有如下關(guān)系：在Excel中QUARTILE（）—計(jì)算四分位數(shù)PERCENTILE（）—計(jì)算百分位數(shù)GEOMEAN()—計(jì)算幾何平均數(shù)HARMEAN()—計(jì)算簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)4.2離中趨勢(shì)的計(jì)算離中趨勢(shì)是數(shù)據(jù)分布的又一特征，它表明變量值的差異或離散程度。離中趨勢(shì)測(cè)度經(jīng)常用到的指標(biāo)有：極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差、四分位差等，它們也被稱為變異指標(biāo)。一、極差極差也稱為全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值的差：

缺點(diǎn)：易受極端值的影響。全距值越小，數(shù)據(jù)變動(dòng)范圍越小，平均數(shù)的代表性越高；全距值越大，數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)變動(dòng)范圍越大，平均數(shù)的代表性越低。二、平均差1、平均差是指數(shù)據(jù)值與其均值之差的絕對(duì)值的算術(shù)平均值，用符號(hào)A·D表示。計(jì)算公式：2、優(yōu)點(diǎn)：完整地反映了全部數(shù)據(jù)的分散程度，計(jì)算方法簡(jiǎn)單；缺點(diǎn)：易受極值影響，絕對(duì)值計(jì)算不方便。分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：平均差越大，平均數(shù)代表性越低；平均差愈小，平均數(shù)代表性越高三、方差與標(biāo)準(zhǔn)差總體方差是觀察值與其均值離差平方和的均值；總體標(biāo)準(zhǔn)差是總體方差的正平方根；如果計(jì)算總體方差的資料是次數(shù)分配數(shù)據(jù)，在計(jì)算總體方差時(shí)要將各組權(quán)數(shù)考慮進(jìn)去，有如下公式：總體方差的另一種表達(dá)方式：總體方差愈大，數(shù)據(jù)的變動(dòng)程度愈大，總體方差愈小，數(shù)據(jù)的變動(dòng)程度愈小。樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差當(dāng)樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)足夠大時(shí)，樣本方差與總體方差很接近在Excel中Max（）-min（）—計(jì)算極差A(yù)VEDEV（）—計(jì)算平均差VARP（）—計(jì)算總體方差VAR（）—計(jì)算樣本方差STDEVP（）—計(jì)算總體標(biāo)準(zhǔn)差STDEV（）—計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差四、Chebishev定理與經(jīng)驗(yàn)法則1.Chebishev定理：對(duì)任何一組資料，觀測(cè)值落于均值左右k個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間內(nèi)的比例，至少為（1-1/k2）。Chebishev定理適用于任何形狀的次數(shù)分布資料，但此區(qū)間是一個(gè)比較保守的估計(jì)值。2.經(jīng)驗(yàn)法則：當(dāng)資料分布呈對(duì)稱形狀時(shí)，有：（1）約有68%的觀測(cè)值落于的區(qū)間內(nèi)；（2）約有95%的觀測(cè)值落于的區(qū)間內(nèi)；（3）約有