陳殿友《大學(xué)數(shù)學(xué)》系列教材：4.1 線性方程組與向量組的線性相關(guān)-第一講

第四章線性方程組與向量組的線性相關(guān)性§1消元法與線性方程組的相容性1.1線性方程組的相容性與Cramer法則

1、線性方程組的表示法一般地，n個(gè)未知量m個(gè)方程的線性方程組可以表示為其中x1,x2,…,xn是方程組的n個(gè)未知量，aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)是第i個(gè)方程中的第j個(gè)未知量的系數(shù)，bi(i=1,2,…,m)是第i

個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)。若記(1)整理ppt按矩陣的乘法和矩陣相等的定義，（1）式可以寫(xiě)成

Ax

=b

(2)其中m×n矩陣A

是線性方程組（1）的系數(shù)矩陣，

m×(n+1)矩陣B=（A，b）是方程組的增廣矩陣。

設(shè)A按列分塊為

，（1）也可表為(3)

當(dāng)b≠0時(shí)，即b1,b2,…,bm不全為零時(shí)，相應(yīng)的方程組稱為非齊次線性方程組。當(dāng)b=0時(shí)，即b1=b2=…=bm=0時(shí)，相應(yīng)的方程組稱為齊次線性方程組，即Ax=0。

(4)整理ppt2、線性方程組的解為方程組（1）的解向量，或說(shuō)

是Ax=b的解。整理ppt

顯然，齊次線性方程組總是相容的。那末，非齊次的線性方程組在什么條件下才相容呢？3、線性方程組的相容性

當(dāng)線性方程組有解時(shí)，就說(shuō)該方程組是相容的，否則就說(shuō)它是不相容的。

若滿足（4）式，則稱是齊次線性方程組的一個(gè)非零解。整理ppt

我們先來(lái)看一種特殊的情形，設(shè)m=n，且|A|≠0，即方陣A可逆，由于其逆是惟一的，所以方程組有惟一解x=A-1b，其中從而

4、Cramer法則整理ppt記Dj為以b代替|A|中的第j列所得到的行列式整理ppt由于bi在Dj中的代數(shù)余子式為Aij，將Dj按第j列展開(kāi)，得Dj=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj,j=1,2,…,n.于是Cramer法則n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的線性方程組Ax=b，若|A|≠0，則方程組有唯一解即方程組（1）的惟一解，j=1,2,…,n

。這就是著名的Cramer法則。其中Dj為以b代替|A|中的第j列所得到的行列式。整理ppt1.2用消元法解線性方程組

消元法

線性方程組的求解過(guò)程是不斷尋求化簡(jiǎn)的同解方程組的過(guò)程。其實(shí)質(zhì)上是對(duì)方程組的增廣矩陣施行初等行變換，使其變成行階梯形矩陣。在該階梯形矩陣非零行所對(duì)應(yīng)的方程中，越下面的方程所含的未知量個(gè)數(shù)越少。正是利用這一點(diǎn)，最后求出方程組的解。這種求解線性方程組的方法稱之為消元法。當(dāng)M不等于N時(shí)怎么辦？整理ppt3、線性方程組的相容性

設(shè)非齊次方程組Ax=b，其中A=(aij)m×n，且R(A)=r。

不妨設(shè)矩陣A的前r列中有r階的非零子式，對(duì)增廣矩陣B=(A,b)施以初等行的換法變換，將非零子式所在的行調(diào)整到前r行，再經(jīng)過(guò)若干次初等行變換將B化為行最簡(jiǎn)型矩陣整理ppt它所對(duì)應(yīng)的與原方程組Ax=b的同解方程組為由于初等變換不改變矩陣的秩，所以R(A)=R(C)=r,從而整理ppt顯然，當(dāng)dr+1≠0時(shí)，R(A,b)>R(A)，等價(jià)方程組中的第r+1個(gè)方程是矛盾方程，即等價(jià)方程組無(wú)解，進(jìn)而方程組（1）無(wú)解。當(dāng)dr+1=0時(shí)，R(A,b)=R(A)=r，若r=n，方程組（1）有唯一解xj=dj(j=1,2,…,n)。若r<n，等價(jià)方程組可改寫(xiě)成由此可見(jiàn)，任給xr+1，xr+2，…，xn的一組值，就可以確定x1，x2，…，xr的值，從而得到方程組的一個(gè)解。此時(shí)方程組有無(wú)窮多個(gè)解。其解的表達(dá)式為整理ppt

上述表達(dá)式稱為方程組的通解，xr+1，xr+2，…，xn稱為一組自由的未知量。

綜合以上的討論，得出如下的定理。

定理1.1n元非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)。整理ppt

定理1.2n元非齊次線性方程組Ax=b有無(wú)窮多解的充分必要條件是R(A)<n。

推論1.1n元非齊次線性方程組Ax=b有惟一解的充分必要條件是R(A)=n。

定理1.1主要用于判別方程組Ax=b是否有解，而定理1.2則主要用于判別相容的線性方程組Ax=b有多少解。特別當(dāng)b=0時(shí)，定理1.2仍然成立。成為判別齊次線性方程組Ax=0有非零解的條件

。

定理1.3n元齊次線性方程組Ax=0

有非零解的充分必要條件是R(A)<n。

推論1.2n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次線性方程組Ax=0

僅有零解的充分必要條件是|A|≠0

。整理ppt

例3試判明非齊次線性方程組是否有解？

解對(duì)方程組的增廣矩陣B施以