3.2.1 單調性與最大（?。┲?（解析版）-高中數學人教A版（2019）必修第一冊

3.2.1《單調性與最大(小)值》分層練習考查題型一用定義判斷(證明)函數的單調性1．如果函數在上是增函數，對于任意的，則下列結論中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】對于A項，因為在上是增函數，所以對于任意的，（），當時，，所以，，所以，當時，，所以，，所以，綜述：，故A項正確；對于B項，因為在上是增函數，所以對于任意的，（），當時，，所以，，所以，當時，，所以，，所以，綜述：，故B項不成立；對于C項、D項，由于，的大小關系不確定，所以與的大小關系不確定，故C項不成立，D項不成立.故選：A.2．已知函數在上單調遞增，則對實數，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】因為函數在上單調遞增，且，由增函數的定義可知，當時，有，充分性成立；當時，若，由函數定義可知矛盾，若，由函數單調性的定義可知矛盾，則，必要性成立.即對實數，“”是“”的充要條件.故選：C3.已知函數，則該函數在區(qū)間上的值域是【答案】【詳解】因為，，設，則，，，，即，，即，函數在區(qū)間上單調遞減；又，，所以，即函數在區(qū)間上的值域是.故答案為：4．已知函數，．(1)判斷函數的單調性，并利用定義證明；(2)若，求實數m的取值范圍．【答案】(1)在上單調遞增；證明見解析.(2)．【詳解】（1）證明：，，任取，可知，因為，所以，，，所以，即，故在上單調遞增；（2）由（1）知：在上單調遞增，所以，可得，解得故實數m的范圍是．考查題型二圖象法求函數的單調區(qū)間1．已知函數的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是（

）

A．是函數的增區(qū)間 B．是函數的減區(qū)間C．函數在上是增函數 D．函數在上是減函數【答案】C【詳解】根據函數圖像可知函數在上遞增，在上遞減，故A，B正確；函數在上也單調遞增，但區(qū)間和不是連續(xù)區(qū)間，并且由圖象可知，因此不能說函數在上是增函數，C錯誤；由于函數在時有定義，由圖象可知，則為函數的一個單調遞減區(qū)間，故函數在上是減函數，D正確，故選：C2．已知函數的圖象如圖所示，若在上單調遞減，則的取值范圍為．【答案】【詳解】由圖可知，的單調遞減區(qū)間為、．因為函數在上單調遞減，則或，由題意得或，即或．故答案為：.3.已知函數．(1)作出函數的圖象；(2)根據圖象寫出的單調遞增區(qū)間．【答案】(1)見解析；(2)，【詳解】（1）由，作出函數圖象，如圖，

（2）由圖象可知，函數單調增區(qū)間為，.4.設函數，若函數為R上的單調函數，則實數a的取值范圍是．【答案】【詳解】因為當時，均為增函數，故只能為R上的單調遞增函數，在上為增函數，在上為減函數，故，當時，，觀察圖象知為R上的單調遞增函數；當時，，均為增函數，且在處，的函數值比的函數值小，觀察圖象知為R上的單調遞增函數；當時，當時，，從圖象上看，圖象比圖象高，故為R上不再單調，所以不合題意；綜上：.故答案為：.考查題型三函數的單調性的應用1.已知函數在閉區(qū)間上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為，可知開口向上，對稱軸為，則在上單調遞減，在上單調遞增，又因為，且在閉區(qū)間有最大值3，最小值2，所以.故選：D.2．二次函數的最大值是3，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【詳解】因為二次函數有最大值，所以．又二次函數的最大值為，由題意得或，因為，所以故選：A.3.若函數在區(qū)間上是嚴格增函數，則實數的取值范圍是.【答案】【詳解】函數在區(qū)間上是嚴格增函數，則任取，都有，即，由，有，，所以，由，則，即實數的取值范圍是.故答案為：4.已知函數過點．(1)求的解析式；(2)判斷在區(qū)間上的單調性，并用定義證明．(3)求函數在上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)在區(qū)間上單調遞增，證明見解析(3)最小值為，最大值為.【詳解】（1）由函數過點，有，解得，所以的解析式為：．（2）在區(qū)間上單調遞增.證明：，且，有．由，得．則，即．所以在區(qū)間上單調遞增．（3）由在上是增函數，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.5.已知(1)函數的值域；(2)用定義證明在區(qū)間上是增函數；(3)求函數在區(qū)間上的最大值與最小值．【答案】(1)(2)證明見解析(3)最大值，最小值【詳解】（1）由題意，函數，因為，所以，所以的值域為．（2）任取，，且，則，，，，，即，故函數在區(qū)間上是增函數．（3）由知函數在區(qū)間上是增函數，，．1.函數的定義域為，且對于任意均有成立，若，則正實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意,，不失一般性不妨假設，則，所以在上單調遞減，又，所以,解不等式得,則正實數的取值范圍為.故選：B.2．若函數在上的最大值與最小值的差為2，則實數a的值是（）A．2 B．C．2或 D．0【答案】C【詳解】當時，由題意得，則；當時，，則；綜上，.故選：C.3.已知，為方程的兩個實數根，則的最大值為.【答案】【詳解】由題意可知：，解得，且，則，因為在上單調遞增，則當時，取到最大值，所以的最大值為.故答案為：.4．對任意，給定，，記函數，則的最小值是.【答案】4【詳解】由定義可知當時，解之得，此時，當時，則，解之得或，此時，綜上，易知在上單調遞減，最小值為4，在取得；在上單調遞增，在上單調遞減，所以，綜上的最小值是4.故答案為：4.5.已知函數(1)用定義證明在上是增函數;(2)若在區(qū)間[4]上取得的最大值為，求實數a的值.【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）設，則，，，，，，在上是增函數.（2）由（1）知，在[]上是增函數，，解得.6．已知二次函數，，的最大值為16；(1)求函數的解析式；(2)求函數在區(qū)間的最大值.【答