2022-2023學(xué)年江西省彭澤縣高一下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省彭澤縣高一下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】先利用復(fù)數(shù)除法化簡復(fù)數(shù)，求其共軛復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的乘法化簡，再利用復(fù)數(shù)的概念進(jìn)行求解.【詳解】由條件得，所以，其虛部為2.故選：A．2．設(shè)，則““是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必條件【答案】B【解析】解出兩個(gè)不等式的解集，根據(jù)充分條件和必要條件的定義，即可得到本題答案.【詳解】由，得，又由，得，因?yàn)榧?，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷，其中涉及到絕對(duì)值不等式和一元二次不等式的解法.3．有下列四個(gè)說法，其中正確的是（）A．圓柱的母線與軸垂直B．圓錐的母線長等于底面圓直徑C．圓臺(tái)的母線與軸平行D．球的直徑必過球心【答案】D【分析】根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的幾何結(jié)構(gòu)特征，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，根據(jù)圓柱的幾何結(jié)構(gòu)特征，圓柱的母線與軸平行，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，圓錐的母線長與底面圓直徑不一定相等，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，根據(jù)圓臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)特征，圓臺(tái)的母線與軸不平行，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，根據(jù)球的幾何結(jié)構(gòu)特征，球的直徑必過球心，所以D正確.故選：D.4．如圖，為了測量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，在河的這邊測定CD＝1km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠DCA＝45°，∠ACB＝60°，則A、B兩點(diǎn)距離是（

）

A．km B．km C．km D．km【答案】C【分析】先求出，，在中，由正弦定理求出，在中，由正弦定理求出，然后在中，由余弦定理求出即可.【詳解】由題意可得，，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以km.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、正弦定理和余弦定理，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5．如圖所示，等腰梯形中，，點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的加法和減法以及平面向量的基本定理求解.【詳解】，，，，故選：A.6．在中，角、、的對(duì)邊分別是、、，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理邊角互化可求得，然后利用余弦定理可求得的值.【詳解】，由正弦定理得，則，，，可得.由余弦定理可得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，同時(shí)也考查了正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7．《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為，點(diǎn)P是正八邊形ABCDEFGH邊上的一點(diǎn)，則的最小值是（

）．A． B． C． D．4【答案】B【分析】過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，計(jì)算出，分析可知當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，在方向上的投影取最小值，結(jié)合平面向量數(shù)量積的幾何意義求得結(jié)果.【詳解】過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，，如圖，由平面向量數(shù)量積的幾何意義可知，等于的模與在方向上的投影的乘積，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，在方向上的投影取最小值，此時(shí)，，，，故的最小值為.故選：B.8．已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是，函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸是直線，則當(dāng)取得最小值時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是，得出，再根據(jù)是對(duì)稱軸，得出，求出的最小值與對(duì)應(yīng)的，寫出即可求出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】依題意得，，即，解得或（其中，）.①又，即（其中）.②由①②得或，即或（其中，，），因此的最小值為.因?yàn)?，所以（?又，所以，所以，令（），則（）.因此，當(dāng)取得最小值時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是（）.故選:B.二、多選題9．下列命題正確的是（

）A．若復(fù)數(shù)z滿足，則；B．若復(fù)數(shù)z滿足，則z是純虛數(shù)；C．若復(fù)數(shù)，滿足，則；D．若復(fù)數(shù)，滿足且，則．【答案】BD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)概念、復(fù)數(shù)運(yùn)算的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若，則，但不是實(shí)數(shù)，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，依題意，，設(shè)，則，所以，所以為純虛數(shù)，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，則，但，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，設(shè)，其中不同時(shí)為，依題意，，即，所以，，即，由于不同時(shí)為，所以，所以，所以D選項(xiàng)正確.故選：BD10．以長為8cm，寬為6cm的矩形的一邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱的底面面積為（

）A．64πcm2 B．36πcm2C．54πcm2 D．48πcm2【答案】AB【分析】分別以長為8cm，寬為6cm的邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，根據(jù)圓的面積公式即可求解.【詳解】分別以長為8cm，寬為6cm的邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，即可得到兩種不同大小的圓柱，其底面面積分別為64πcm2,36πcm2.故選：AB11．關(guān)于平面向量下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若，且，則B．對(duì)任意非零向量是一個(gè)單位向量C．若，則與的夾角為銳角D．“存在唯一的實(shí)數(shù)使”是“”的充要條件【答案】ACD【分析】由平面向量垂直的定義判斷選項(xiàng)A；由單位向量的定義判斷選項(xiàng)B；由數(shù)量積的符號(hào)與兩向量的夾角判斷選項(xiàng)C；由向量共線定理判斷選項(xiàng)D.【詳解】若，且,只需，故A錯(cuò)誤；對(duì)任意非零向量是一個(gè)單位向量，模長為1，方向與相同，故B正確；若，則與的夾角為銳角或與夾角為0°，故C錯(cuò)誤；時(shí)，實(shí)數(shù)不唯一，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.12．在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】AD【分析】先利用正弦定理從條件中求出，得到選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B利用為銳角三角形求解；選項(xiàng)C先用二倍角公式化簡，再結(jié)合角的范圍求解；選項(xiàng)D先對(duì)式子化簡，再換元利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求范圍.【詳解】在中，由正弦定理可將式子化為，把代入整理得，，解得或，即或(舍去).所以.選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B：因?yàn)闉殇J角三角形，，所以.由解得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C：，因?yàn)?，所以，，即的取值范?故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.選項(xiàng)D：.因?yàn)?，所以?令，，則.由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，，所以.即的取值范圍為.故選項(xiàng)D正確.故選：AD.三、填空題13．已知，，是平面向量，是單位向量.若，，且，則的取值范圍是.【答案】【分析】先由題意設(shè)向量的坐標(biāo)，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及不等式可得解．【詳解】由是單位向量．若，，設(shè)，則，，又，則，則，則，又，所以，（當(dāng)或時(shí)取等）即的取值范圍是，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．14．在銳角中，角的對(duì)邊分別為，若，，則邊的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)銳角及角的余弦定理求出，進(jìn)一步得出，再由正弦定理得，根據(jù)可得的取值范圍.【詳解】在銳角中，有，，，由余弦定理得，把代入得，，又，所以.有，由，得.在中由正弦定理得，，，因?yàn)椋裕?故答案為：.15．符號(hào)表示不超過的最大整數(shù)，如，，定義函數(shù)：，在下列命題正確的是．①；②當(dāng)時(shí)，；③函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?；④函?shù)是增函數(shù)，奇函數(shù)．【答案】①②③【分析】由題意可得表示數(shù)的小數(shù)部分，可得，當(dāng)時(shí)，，即可判斷正確結(jié)論．【詳解】表示數(shù)的小數(shù)部分，則①正確，當(dāng)時(shí)，，②正確，函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋壅_，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，即有不為增函數(shù)，由，，可得，即有不為奇函數(shù)，④錯(cuò)誤．故答案為：①②③【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)新定義的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷，以及函數(shù)值的求法，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．16．已知向量，，且，，則（）的最小值為．【答案】【詳解】試題分析：由及,則所以，所以（）的最小值為1【解析】向量運(yùn)算四、解答題17．已知復(fù)數(shù)．(1)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(2)若復(fù)數(shù)，求的共軛復(fù)數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡，再根據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限列出限制條件，求解不等式可得答案；（2）先化簡，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】（1）因?yàn)?所以因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為（2），所以.18．已知向量，，其中，.（1）求，；（2）求與夾角的大小.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得，的值；（2）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出的值，結(jié)合的取值范圍可求得的值.【詳解】（1）由已知可得，，所以，，，因此，；（2）由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，，因此，.19．中學(xué)階段是學(xué)生身體發(fā)育最重要的階段，長時(shí)間熬夜學(xué)習(xí)嚴(yán)重影響學(xué)生的身體健康．某校為了解甲、乙兩班學(xué)生每周自我熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長（單位：小時(shí)），分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，得到他們最近一周自我熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長的樣本數(shù)據(jù)：甲班813283239乙班1225262831如果學(xué)生平均每周自我熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長超過26小時(shí)，則稱為“過度熬夜”．(1)請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，分別估計(jì)甲、乙兩班的學(xué)生平均每周自我熬夜學(xué)習(xí)時(shí)長的平均值；(2)從樣本甲、乙兩班所有“過度熬夜”的學(xué)生中任取2人，求這2人都來自甲班的概率．【答案】(1)24.4小時(shí)(2)【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式直接計(jì)算可得；（2）列舉出所有可能情況，然后由古典概型概率公式可得.【詳解】（1）甲班樣本數(shù)據(jù)的平均值為，由此估計(jì)甲班學(xué)生每周平均熬夜時(shí)間24小時(shí)；乙班樣本數(shù)據(jù)的平均值為，由此估計(jì)乙班學(xué)生每周平均熬夜時(shí)間24.4小時(shí)．（2）由題知，甲班“過度熬夜”的有3人，記為，乙班“過度熬夜”的有2人，記為，從中任取2人，有，共10種可能，其中都來自甲班的有，共3種可能，所以所求概率．20．內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)2(2)【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，再結(jié)合兩角和公式化簡整理；（2）根據(jù)題意求得，利用余弦定理和倍角公式可得解．【詳解】（1）因?yàn)橛烧叶ɡ恚裕?，?（2）因?yàn)椋?，所?.21．如圖，在四邊形中，為等邊三角形，是邊上靠近的三等分點(diǎn).設(shè).(1)用表示；(2)求的余弦值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算，即可求得答案；（2）根據(jù)數(shù)量積定義求出，結(jié)合（1）的結(jié)論求出，以及，利用向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】（1）由圖可知，因?yàn)槭沁吷峡拷娜确贮c(diǎn)，所以；（2）因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，所以，所以，而，則.22．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)將的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長度得到的圖像，求函數(shù)的解析式與單調(diào)遞增區(qū)間；(3)在第（2）問的前提下，對(duì)于任意，是否總存在實(shí)數(shù)，使得成立？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值或取值范圍；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(3)存在；【分析】