2022年山西省晉中市趙壁中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

2022年山西省晉中市趙壁中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等差數(shù)列{an}滿足=28，則其前10項(xiàng)之和為（

）（A）140

（B）280

（C）168

（D）56，參考答案：A略2.袋中裝有3個(gè)黑球，4個(gè)白球，從中任取4個(gè)球，則①至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)黑球；

②至少有2個(gè)白球和恰有3個(gè)黑球；③至少有1個(gè)黑球和全是白球；

④恰有1個(gè)白球和至多有1個(gè)黑球.在上述事件中，是互斥事件但不是對(duì)立事件的為（

）A．①

B．②

C.③

D．④參考答案：D①至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)黑球，能同時(shí)發(fā)生，故不是互斥事件；②至少有2個(gè)白球和恰有3個(gè)黑球，既不能同時(shí)發(fā)生，也不能同時(shí)不發(fā)生，故二者是對(duì)立事件；③至少有1個(gè)黑球和全是白球，既不能同時(shí)發(fā)生，也不能同時(shí)不發(fā)生，故二者是對(duì)立事件；④恰有1個(gè)白球和至多有1個(gè)黑球，不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，故二者是互斥事件不是對(duì)立事件.故選：D

3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為(

)A. B. C. D.參考答案：A【分析】令，這樣原不等式可以轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，并結(jié)合已知條件，可以判斷出的單調(diào)性，利用單調(diào)性，從而可以解得，也就可以求解出，得到答案.【詳解】解:令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用轉(zhuǎn)化法、構(gòu)造函數(shù)法、求導(dǎo)法解決不等式解集問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和推理論證能力.4.函數(shù)在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，若，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．參考答案：C5.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：經(jīng)過伸縮變換后，所得曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）．A.

B．

C．

D．參考答案：D略6.若雙曲線（a＞0，b＞0）的一條漸近線與直線3x﹣y+1=0平行，則此雙曲線的離心率是（）A． B． C．3 D．參考答案：D【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)雙曲線的一條漸近線與直線3x﹣y+1=0平行，得b=3a，再由雙曲線基本量的平方關(guān)系，得出a、c的關(guān)系式，結(jié)合離心率的定義，可得該雙曲線的離心率．【解答】解：∵雙曲線的一條漸近線與直3x﹣y+1=0平行∴雙曲線的漸近線方程為y=±3x∴=3，得b=3a，c=a此時(shí)，離心率e==．故選：D．7.下列直線中，斜率為，且不經(jīng)過第一象限的是(

)

A．3x＋4y＋7=0

B．4x＋3y＋7=0C．4x＋3y-42=0

D．3x＋4y-42=0參考答案：B略8.在正方體中，與垂直的一個(gè)平面是

（）A．平面

B．平面

C．平面

D．平面參考答案：Ｄ9.若且滿足，則的最小值是（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：D略10.已知兩條直線y=ax﹣2和y=（2﹣a）x+1互相平行，則a等于（）A．﹣1 B．2 C．1 D．0參考答案：C【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【專題】計(jì)算題；規(guī)律型；直線與圓．【分析】直接利用平行線的充要條件列出方程求解即可．【解答】解：兩條直線y=ax﹣2和y=（2﹣a）x+1互相平行，可知：1=，解得a=1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.隨機(jī)變量的取值為0,1,2，若，，則________.參考答案：設(shè)時(shí)的概率為，則，解得，故考點(diǎn)：方差.12.在等比數(shù)列{an}中，若a3，a15是方程x2﹣6x+8=0的根，則=．參考答案：2【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由韋達(dá)定理得a3a15=8，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式性質(zhì)得：=8，由此能求出的值．【解答】解：∵在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2﹣6x+8=0的根，∴a3a15=8，解方程x2﹣6x+8=0，得或，∴a9＞0，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式性質(zhì)得：=8，∴=a9=．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列中兩項(xiàng)積與另一項(xiàng)的比值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．13.函數(shù)=的最小值是

.參考答案：14.如圖，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，平面分別與三棱錐的四條棱交于，若直線，直線，則平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值等于_______________________

參考答案：15.若函數(shù)

則

.參考答案：16.已知___________________.參考答案：17.已知的取值如表所示：從散點(diǎn)圖分析，與線性相關(guān)，且，則__________參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分16分）某班級(jí)共派出n+1個(gè)男生和n個(gè)女生參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的入場(chǎng)儀式，其中男生倪某為領(lǐng)隊(duì).入場(chǎng)時(shí)，領(lǐng)隊(duì)男生倪某必須排第一個(gè)，然后女生整體在男生的前面，排成一路縱隊(duì)入場(chǎng)，共有種排法；入場(chǎng)后，又需從男生（含男生倪某）和女生中各選一名代表到主席臺(tái)服務(wù)，共有種選法.（1）試求和；

（2）判斷和的大?。ǎ?，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

參考答案：解：（1），.．...........................4分

（2）因?yàn)椋?，，，由此猜想：?dāng)時(shí)，都有，即.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（）............................6分①時(shí)，該不等式顯然成立........................................8分②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，................10分則當(dāng)時(shí)，，要證當(dāng)時(shí)不等式成立.只要證：，只要證：..................................................13分

令，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，從而，而，所以成立.則當(dāng)時(shí)，不等式也成立...........................................15分綜合①、②得原不等式對(duì)任意的均成立...............................16分

19.（2016秋?邢臺(tái)期末）已知F1（﹣c，0）、F2（c，0）分別是橢圓G：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓上一點(diǎn)，且MF2⊥F1F2，|MF1|﹣|MF2|=a．（1）求橢圓G的方程；（2）若斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點(diǎn)，以AB為底作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（﹣3，2），求△PAB的面積．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）由已知結(jié)合橢圓定義求得|MF1|=，|MF2|=，再由MF2⊥F1F2，利用勾股定理求得a值，則橢圓方程可求；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出E的坐標(biāo)，結(jié)合斜率求得m值，進(jìn)一步求出A、B的坐標(biāo)，得到AB所在直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出P到AB的距離，代入三角形面積公式求得△PAB的面積．【解答】解：（1）∵|MF1|﹣|MF2|=a，|MF1|+|MF2|=2a，∴|MF1|=，|MF2|=，∵M(jìn)F2⊥F1F2，∴．即，則，∵c2=a2﹣4，∴a2=12，∴橢圓；（2）設(shè)直線l的方程為y=x+m．由，得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2）（x1＜x2），AB的中點(diǎn)為E（x0，y0），則，．∵AB是等腰△PAB的底邊，∴PE⊥AB．∴PE的斜率，解得m=2．此時(shí)方程①為4x2+12x=0，解得x1=﹣3，x2=0，∴y1=﹣1，y2=2，∴|AB|=3．此時(shí)，點(diǎn)P（﹣3，2）到直線AB：x﹣y+2=0的距離d=，∴△PAB的面積S=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，訓(xùn)練了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，屬中檔題．20.已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（2，0），且在y軸上截得弦長(zhǎng)為4．（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡Q的方程；（2）已知點(diǎn)E（m，0）為一個(gè)定點(diǎn)，過E點(diǎn)分別作斜率為k1、k2的兩條直線l1、l2，直線l1交軌跡Q于A、B兩點(diǎn)，直線l2交軌跡Q于C、D兩點(diǎn)，線段AB、CD的中點(diǎn)分別是M、N．若k1+k2=1，求證：直線MN恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；軌跡方程．【分析】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為O1（x，y），動(dòng)圓與y軸交于R，S兩點(diǎn)，由題意，得|O1P|=|O1S|，由此得到=，從而能求出動(dòng)圓圓心的軌跡Q的方程．（2）由，得，由已知條件推導(dǎo)出M、N的坐標(biāo)，由此能證明直線MN恒過定點(diǎn)（m，2）．【解答】解：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為O1（x，y），動(dòng)圓與y軸交于R，S兩點(diǎn)．由題意，得|O1P|=|O1S|．當(dāng)O1不在y軸上時(shí)，過O1作O1H⊥RS交RS于H，則H是RS的中點(diǎn)．∴|O1S|=．又|O1P|=，∴=，化簡(jiǎn)得y2=4x（x≠0）．又當(dāng)O1在y軸上時(shí)，O1與O重合，點(diǎn)O1的坐標(biāo)為（0，0）也滿足方程y2=4x．∴動(dòng)圓圓心的軌跡Q的方程為y2=4x．（2）證明：由，得．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則．因?yàn)锳B中點(diǎn)，所以．同理，點(diǎn)．∴∴直線MN：，即y=k1k2（x﹣m）+2∴直線MN恒過定點(diǎn)（m，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－2bx2＋cx＋4d(a，b，c，d∈R)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且x＝1時(shí)，f(x)取極小值－.(1)求a，b，c，d的值；(2)當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，圖像上是否存在兩點(diǎn)，使得過兩點(diǎn)處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論；(3)若x1，x2∈[－1,1]，求證：|f(x1)－f(x2)|≤.參考答案：(1)∵函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f(－x)＝－f(x)，∴－ax3－2bx2－cx＋4d＝－ax3＋2bx2－cx－4d，即bx2－2d＝0恒成立，∴b＝0，d＝0，∴f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c，∵當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取極小值－，∴3a＋c＝0，且a＋c＝－，解得a＝，c＝－1.22.設(shè)點(diǎn)P為拋物線外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B．（Ⅰ）若點(diǎn)P為(－1,0)，求直線AB的方程；（Ⅱ）若點(diǎn)P為圓上的點(diǎn)，記兩切線PA，PB的斜率分別為，，求的取值范圍．參考答案：(Ⅰ）：.（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）設(shè)直線PA方程為，直線PB方程為，分別與拋物線的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)直線與拋物線相切，分別求得的坐標(biāo)，即可得到的方程；（Ⅱ）設(shè)，得直線PA方程為，直線PB方程為，聯(lián)立方程組，得出時(shí)方程的兩根，進(jìn)而得出，即可求解.【詳解】（Ⅰ）設(shè)直線PA方程為，直線PB方程為，由，可得，因?yàn)镻A與拋物線相切，所以，取，則，即A（1，1）