浙江省杭州市四校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)10月四校聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科試題卷考生須知：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)（填涂）；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無(wú)效；一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.直線的斜率與y軸上的截距分別為（）A. B. C. D.2.如果一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則稱這個(gè)復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，若復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-1 B.1 C.2 D.-23.平面，互相平行的一個(gè)充分條件是（）A.，都垂直于同一平面 B.某一直線與，所成角相等C.，都平行于同一直線 D.，都垂直于同一直線4.已知直三棱柱，，，那么異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.5.設(shè)非零向量和的夾角為，定義運(yùn)算：.已知，，則（）A.2 B. C.3 D.6.點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍（）A. B. C. D.7.在中，，，點(diǎn)C在直線上運(yùn)動(dòng)，則內(nèi)切圓的半徑的最大值是（）A. B. C. D.8.在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則該三棱錐外接球半徑是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知實(shí)數(shù)，，那么（）A. B. C. D.10.已知圓臺(tái)的上底半徑為1，下底半徑為3，球O與圓臺(tái)的兩個(gè)底面和側(cè)面都相切，則（）A.圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為4 B.圓臺(tái)的高為4C.圓臺(tái)的表面積為 D.球O的表面積為11.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，事件“兩枚硬幣朝上的面相同”，事件“兩枚硬幣朝上的面不同”，則（）A.事件A和B互斥 B.事件C和D互斥C.事件A和B相互獨(dú)立 D.事件C和D相互獨(dú)立12.過(guò)拋物線上一點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)為E，F(xiàn)，則（）A.使的點(diǎn)P共有2個(gè)B.既有最大值又有最小值C.使四邊形面積最小的點(diǎn)P有且只有一個(gè)D.直線過(guò)定點(diǎn)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在空間直角坐標(biāo)系中，若，，且，則.14.設(shè)，若函數(shù)在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______.15.直線l：與圓C：交A，B兩點(diǎn)，若D為圓C上一點(diǎn)，且為等邊三角形，則r的值為_(kāi)_____.16.若關(guān)于x的方程；在上有實(shí)數(shù)根，則的最小值是______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（10分）如圖，已知平面，底面為正方形，，M，N分別為，的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.18.（12分）在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且.（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若，求邊上高的最大值.19.（12分）已知為過(guò)點(diǎn)的指數(shù)函數(shù)，為定義域?yàn)镽的奇函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.20.（12分）文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者.某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，…，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a的值；（Ⅱ）求樣本成績(jī)的第75百分位數(shù)；（Ⅲ）已知落在的平均成績(jī)是56，方差是7，落在的平均成績(jī)?yōu)?5，方差是4，求兩組成績(jī)的總平均數(shù)和總方差.21.（12分）設(shè)拋物線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別記為M，N，G，曲線C是經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的圓.（Ⅰ）求圓C的方程.（Ⅱ）過(guò)作直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，（i）用坐標(biāo)法證明：是定值.（ii）設(shè)，求的最大值.22.（12分）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，在銳角三角形中，.（Ⅰ）點(diǎn)E滿足，試確定的值，使得直線平面，并說(shuō)明理由.（Ⅱ）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為何值時(shí)，直線與平面所成的角的正弦值為.高二數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題BCDACBDC二、多選題9.BC 10.ACD 11.BC 12.AC三、填空題13. 14. 15. 16.17.答案：解：（1）取的中點(diǎn)，連接，，又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，又，，所以四邊形為平行四邊形，所以平面，，又平面，又，為的中點(diǎn)，平面，平面（2）以為原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間坐標(biāo)系，則，，，平面的法向量，平面的法向量平面與平面所成銳二面角的余弦值為18.得到：，算得，進(jìn)而，（2）由（1）及余弦定理得：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立（含當(dāng)且僅當(dāng)1分）設(shè)邊上的高為，又，.備注：（2）問(wèn)：畫外接圓，當(dāng)為正三角形時(shí)，邊上高最大，最大值為19.略20.（1）利用每組小矩形的面積之和為1可得，，解得（2）成績(jī)落在內(nèi)的頻率為，落在內(nèi)的頻率為，設(shè)第75百分位數(shù)為，由，得，故第75百分位數(shù)為84；（3）由圖可知，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，故；由樣本方差計(jì)算總體方差公式可得總方差為21.解：（I）算對(duì)圓方程，直接給4分；若圓方程有誤，，給2分，若不對(duì)，但有，給1分，半徑對(duì)給2分.其中（i）若設(shè)點(diǎn)斜式方程，并驗(yàn)證斜率不存在也符合，正確的給4分；聯(lián)立方程與韋達(dá)定理合計(jì)；（i）若只用圓切割線定理，得到正確結(jié)果，給2分（ii）利用基本不等式求最大值，正確給2分；（ii）方法二：設(shè)中點(diǎn)為，利用中線公式：方法二：記關(guān)于t的方程有實(shí)數(shù)根，利用（未驗(yàn)證即扣1分）22.（1）時(shí)，平面，證明如下：連接，與交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，面，平?（2）直線與平面所