直線、平面的投影(土建)

ABVWH1.3直線的投影

直線的投影可由該線的二點或一點已知一方向作出；b

b●●aa

a

b

●●●●

直線有特殊位置直線（平行線、垂直線）和一般位置直線之分；

直線對投影面H、V、W的傾角分別為、、。ababab

直線的投影一般情況下仍為直線；⒈直線對一個投影面的投影特性一.直線的投影特性

BA●●●●ab直線垂直于投影面投影積聚為一點

積聚性

直線平行于投影面投影反映線段實長

ab=AB真實性直線傾斜于投影面投影比空間線段短

ab=AB.cos

類似性●●AB●●ab

AMB●a≡b≡m●●●2.直線在三個投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面

其投影特性取決于直線與三個投影面間的相對位置。二.投影面平行線的投影1.水平線的投影

1）水平投影顯實長；

2）其他兩投影與相應的軸線平行；

3）水平投影現(xiàn)傾角。VHabAaaγβBbbWβγ′′″″實長2.正平線的投影

1）正面投影顯實長；

2）其他兩投影與相應的軸線平行；

3）正面投影現(xiàn)傾角。實長

二.投影面平行線的投影1.水平線的投影3.側平線的投影

1）側面投影顯實長；

2）其他兩投影與相應的軸線平行；

3）側面投影現(xiàn)傾角。二.投影面平行線的投影2.正平線的投影1.水平線的投影三.投影面垂直線的投影1.鉛垂線的投影

1）水平投影積聚成點；

2）其他兩投影與相應的軸線平行；且反映實長。積聚成點2.正垂線的投影

2）其他兩投影與相應的軸線平行；且反映實長。三.投影面垂直線的投影1.鉛垂線的投影

1）正面投影積聚成點；3.側垂線的投影

1）側面投影積聚成點；

2）其他兩投影與相應的軸線平行；且反映實長。2.正垂線的投影三.投影面垂直線的投影1.鉛垂線的投影投影面平行線的投影水平線正平線側平線投影面垂直線的投影鉛垂線正垂線側垂線例題：判斷下列直線的位置四.一般位置直線的投影1）各投影均不與軸線平行，呈類似狀；

2）投影圖上沒有反映真實傾角的投影存在；3）各投影均不反映實長。線段實長與傾角的求法

由于直線的線段長與其投影長度之間存在著余弦（cos）關系，故可利用直角三角形來進行求解。線段實長與傾角的求法

利用直角三角形法求直線AB的實長及其對V、H的傾角AB

a′b′AB

ABa′b′Xobayyzz

這一方法除求實長外，還可用來求解坐標差、投影長以及傾角的大小。五、直線上的點

◆若點在直線上,則點的投影必在直線的同名投影上。

◆若點的投影有一個不在直線的同名投影上，則該點必不在此直線上。AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

ABCVHbcc

b

a

a等比定理◆點分割線段成定比，點的投影必分割線段的投影成相同的比例——等比定理。即：

例1：判斷點C是否在線段AB上。②c

abca

b

●●abca

b

c

①●●在不在例2：已知點K在線段AB上，求點K正面投影。解法一：解法二：●aa

b

bka

b

●k

●k

●aa

b

bk●●k

●（應用第三投影）（應用等比定理）例3：判斷點K是否在線段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故點K不在AB上。應用定比定理abka

b

k

●●另一判斷法?六、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉。⒈兩直線平行投影特性：

空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHc

bcdABCDb

d

a

例1：判斷圖中兩條直線是否平行。

對于一般位置直線，只要有兩組同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB與CD平行。a

b

c

d

①abcdc

a

b

d

b

d

c

a

cbadd

b

a

c

對于投影面平行線，只有這兩個同名投影互相平行，空間直線不一定平行。要用兩個投影判斷，其中應包括反映實長的投影。求出側面投影后可知：AB與CD不平行。例2：判斷圖中兩條直線是否平行。②求出側面投影如何判斷？HVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

⒉兩直線相交投影特性：

若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。交點是兩直線的共有點●●cabb

a

c

d

k

kd例：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面投影

3兩直線交叉cacabddbOX′′′′accAaCVbHddDBb′′′′為什么？兩直線相交嗎？不相交！交點不符合點的投影規(guī)律！accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′′′1(2)●2●′1●′

同名投影可能相交，但交點不符合點的投影規(guī)律。211(2)ⅡⅠ′′●●●●●′′Ⅳ43(4)3Ⅲ●●●●●●3(4)34●●′′投影特性：Ⅰ、Ⅱ是H面的重影點，Ⅲ、Ⅳ是V面的重影點。垂直問題兩直線垂直

直角投影定理：互相垂直的兩直線，若一直線平行于投影面，則這兩直線在該投影面的投影，反映直角。反之，若兩直線的某一投影呈直角，且其中一直線平行于該投影面，則此兩線必垂直。兩直線垂直d

abca

b

c

●●d例：過C點作直線與AB垂直相交。AB為正平線,正面投影反映直角。.

例：作等腰直角三角形ABC，其中一直角邊在正平線MN上，頂點A在EF上。c′b′cXoe′f′efmm′nn′a′abCBAENFM1.4平面的投影平面可由不在一直線上的三點、一點一線、二平行線、相交兩線、及三角形乃至各種平面圖形給定；平面與投影面的位置關系，仍然有特殊和一般之分。abca

b

c

●●●●●●d●d

●abca

b

c

●●●●●●c

●●●abca

b

●●●c●●●●●●aba

b

c

b●●●●●●aca

b

c

一．平面的分類平面對于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜

正垂面

側垂面

鉛垂面

正平面

側平面

水平面二．平面的投影特性投影面平行面的投影1.水平面的投影

1）水平投影反映實形；

2）其他兩投影積聚成線，且平行于相應的軸線。實形2.正平面的投影投影面平行面的投影1.水平面的投影實形

1）正面投影反映實形；

2）其他兩投影積聚成線，且平行于相應的軸線。3.側平面的投影

2）其他兩投影積聚成線，且平行于相應的軸線。

1）側面投影反映實形；2.正平面的投影投影面平行面的投影1.水平面的投影a

b

c

a

b

c

abc投影面平行面積聚性積聚性實形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實形。

另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。投影面垂直面的投影1.鉛垂面的投影

1）水平投影積聚成線；

2）其他兩投影出現(xiàn)類似形狀且不反映實形。積聚成線類似形類似形

1）正面投影積聚線；

2）其他兩投影出現(xiàn)類似形狀且不反映實形。投影面垂直面的投影1.鉛垂面的投影2.正垂面的投影積聚成線類似形類似形

2）其他兩投影出現(xiàn)類似形狀且不反映實形。

1）側面投影積聚線；3.側垂面的投影投影面垂直面的投影1.鉛垂面的投影2.正垂面的投影c

c

投影面垂直面為什么？是什么位置的平面？abca

b

b

a

類似性類似性積聚性鉛垂面γβ投影特性：

在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個投影面上的投影為類似形。a

c

b

c

a

●abcb

例：正垂面ABC與H面的夾角為45°，已知其水平投影及頂點B的正面投影，求△ABC的正面投影及側面投影。思考：此題有幾個解？45°一般位置平面的投影

各個投影的圖形之間以及與空間平面圖形之間，均保持著一種既不全等、又不相似的類似形狀。c

例.已知平面ABC的正面投影、水平投影，求其側面投影。b

a

c

abca

b

三．平面的跡線在投影體系中，空間平面與投影面的交線，稱為跡線。以跡線的方式也可在投影體系中確定一個空間平面。三．平面的跡線

用跡線表示平面（實質上是用相交二線表示平面的特殊形式）三．平面的跡線四．平面上的點和線●●MN若一直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內。位于平面上的直線應滿足的條件：AB●M若一直線過平面上的一點且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內。

先找出過此點而又在平面內的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。

面上取點的方法：首先面上取線abcb

c

a

例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內任作一條直線。解法一：解法二：有多少解？有無數(shù)解！n

●m

●n●m●abcb

c

a

d

d四．平面上的點和線四．平面上的點和線在給定平面上取投影面的平行線

根據(jù)面上取點取線的作圖法，可在給定平面上任意取各投影面的平行線。

例2：在平面ABC內作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。n

m

nm10c

a

b

cb

唯一解！有多少解？四．平面上的點和線例3：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。baca

k

b

●①c

d

d利用平面的積聚性求解通過在面內作輔助線求解k●②●abca

b

k

c

k●四．平面上的點和線bckada

d

b

c

k

例4：已知AC為正平線，補全平行四邊形ABCD

的水平投影。解法二：cada

d

b

c

解法一：b方法一方法二最大斜度線

平面上垂直于該面跡線的直線，稱為最大斜度線。最大斜度線必與屬于該平面的投影面的平行線垂直。最大斜度線標志著該平面對于投影面的最大斜度。最大斜度線對于投影面的傾角，直接反映了該平面對于投影面的傾角。作最大斜度線n′ne′eXob′a′c′abcm′mmnMN

Z最大斜度線過C點作面上水平線CE過B點作面