信號(hào)與系統(tǒng)第三章1

第3章系統(tǒng)的時(shí)域分析線性非時(shí)變系統(tǒng)的描述及特點(diǎn)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)沖激響應(yīng)表示的系統(tǒng)特性

線性非時(shí)變系統(tǒng)的描述連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述如圖為一RLC串聯(lián)電路，求電容C兩端的電壓U(t)與輸入電壓源x(t)的關(guān)系。i(t)解：設(shè)回路中電路流為i(t),列寫回路電流方程為：代入，得：線性非時(shí)變系統(tǒng)的描述離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述某人從當(dāng)月起每月初到銀行存款x[k]元，月息為r.設(shè)第k月初的總存款數(shù)為y[k]元，試寫出描述總存款數(shù)y[k]與月存款數(shù)x[k]關(guān)系的方程式。解：第k月初的總存款數(shù)為以下三項(xiàng)之和：第月初之前的總存款數(shù)y[k-1],第k月初存入的款數(shù)x[k]，第k月初之前的利息ry[k-1],所以y[k]=(1+r)y[k-1]+x[k]

線性非時(shí)變系統(tǒng)的描述及特點(diǎn)線性非時(shí)變(LTI)系統(tǒng)的描述既具有線性特性又具有非時(shí)變特性的系統(tǒng)稱為線性非時(shí)變系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱LTI系統(tǒng)。線性特性：齊次性（均勻性、比例性）、疊加性非時(shí)變特性：輸出要跟隨輸入的變化而變化。線性非時(shí)變的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與線性非時(shí)變的離散時(shí)間系統(tǒng)是系統(tǒng)理論的核心與基礎(chǔ)。描述連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程，描述離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程。線性非時(shí)變系統(tǒng)的描述及特點(diǎn)

連續(xù)LTI系統(tǒng)用n階常系數(shù)線性微分方程描述ai、

bj為常數(shù)。

離散LTI系統(tǒng)用n階常系數(shù)線性差分方程描述ai、

bj為常數(shù)。線性非時(shí)變(LTI)系統(tǒng)的描述線性非時(shí)變系統(tǒng)的描述及特點(diǎn)線性非時(shí)變系統(tǒng)的特點(diǎn)由于LTI系統(tǒng)具有線性特性和非時(shí)變特性，還具有:(1)微分特性或差分特性若T{x(t)}=y(t)則若T{x[k]}=y[k]則T{x[k]

-x[k-1]}=y[k]

-y[k-1](2)積分特性或求和特性：若T{x(t)}=y(t)則若T{x[k]}=y[k]則[例]

已知LTI系統(tǒng)在x1(t)激勵(lì)下產(chǎn)生的響應(yīng)為y1(t)，試求系統(tǒng)在x2(t)激勵(lì)下產(chǎn)生的響應(yīng)y2(t)。解：從x1(t)和x2(t)圖形可以看得出，x2(t)與x1(t)存在以下關(guān)系根據(jù)線性非時(shí)變性質(zhì)，y2(t)與y1(t)之間也存在同樣的關(guān)系

連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)一、響應(yīng)時(shí)域求解方法簡(jiǎn)介二、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)三、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)四、沖激響應(yīng)五、卷積積分一、響應(yīng)時(shí)域求解方法簡(jiǎn)介經(jīng)典法和卷積法經(jīng)典法：求解微分方程響應(yīng)時(shí)域求解方法:

微分方程的全解即系統(tǒng)的完全響應(yīng),由齊次解yh(t)和特解yp(t)組成

齊次解yh(t)的形式由齊次方程的特征根確定。

特解yp(t)的形式由方程右邊激勵(lì)信號(hào)的形式確定。[例1]

已知某二階線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程

初始條件y(0)=1,y'(0)=2,輸入信號(hào)x(t)=e-t

u(t)，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)。特征根為齊次解yh(t)解:(1)求齊次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齊次解yh(t)特征方程為t>0[例1]

已知某二階線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程

初始條件y(0)=1,y'(0)=2,輸入信號(hào)x(t)=e-t

u(t)，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)。解:(2)求非齊次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=x(t)的特解yp(t)由輸入x(t)的形式，設(shè)方程的特解為yp(t)=Ce-t將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù)C=1/3。t>0[例1]

已知某二階線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程

初始條件y(0)=1,y'(0)=2,輸入信號(hào)x(t)=e-t

u(t)，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)。解:(3)求方程的全解解得

A=5/2，B=-11/6由(1)若初始條件不變，輸入信號(hào)x(t)=sint

u(t)，則系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)=？(2)若輸入信號(hào)不變，初始條件y(0)=0,y'(0)=1,則系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)=？討論經(jīng)典法不足之處(1)若微分方程右邊激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理。(2)若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化，則需全部重新求解。(3)若初始條件發(fā)生變化，則需全部重新求解。(4)這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念。一、響應(yīng)時(shí)域求解方法簡(jiǎn)介經(jīng)典法和卷積法響應(yīng)時(shí)域求解方法:經(jīng)典法：求解微分方程卷積法：系統(tǒng)完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)求解齊次微分方程得到零輸入響應(yīng)利用卷積積分可求出零狀態(tài)響應(yīng)二、系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)定義：系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是輸入信號(hào)為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨(dú)作用而產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。

數(shù)學(xué)模型:

求解方法：

(1)根據(jù)微分方程的特征根確定零輸入響應(yīng)的形式

(2)再由初始狀態(tài)確定待定系數(shù)。

齊次解yh(t)的形式(3)特征根是成對(duì)共軛復(fù)根二、系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)(1)特征根是不等實(shí)根(2)特征根是等實(shí)根解:

系統(tǒng)的特征方程為[例2]

已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為:y"(t)+5y'(t)+6y(t)=4x(t),t>0

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-)=1，y'(0-)=3，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi(t)。系統(tǒng)的特征根為由y(0-)=yzi(0-)=K1+K2=1y'(0-)=y'zi(0-)=-2K1-3K2=3解得

K1=6，K2=-5[例3]

已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為:

y"(t)+4y'(t)+4y(t)=3x(t),t>0

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-)=2，y'(0-)=-1，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi(t)。解:

系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根為（兩相等實(shí)根）由y(0-)=yzi(0-)=K1=1y'(0-)=y'

zi(0-)=-2K1+K2=3解得

K1=2,K2=3[例4]

已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為：

y"(t)+2y'(t)+5y(t)=4x(t),t>0

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-)=1