第二十五講直線方程及圓的方程解析版

第二十五講：直線方程、圓的方程【考點(diǎn)梳理】直線的方程傾斜角、斜率，五種直線方程（點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式）兩直線關(guān)系平行、垂直圓的方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心坐標(biāo)為（a，b），半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標(biāo)為，半徑直線與圓的位置關(guān)系幾何法、代數(shù)法（相離、相切、相交）兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩個圓的半徑分別為，，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含幾何特征代數(shù)特征無實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無實(shí)數(shù)解公切線條數(shù)43210【典型題型講解】考點(diǎn)一：直線的方程【典例例題】例1.若一次函數(shù)所表示直線的傾斜角為，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】的斜率為即故選：D．例2.下列四個命題中真命題有_________個．①經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示；②經(jīng)過任意兩點(diǎn)的直線都可以用方程表示；③不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程表示；④經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示．【答案】1【解析】①由于直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時，可用方程表示，當(dāng)直線斜率不存在時，方程是，①不正確；②當(dāng)時，經(jīng)過任意兩個不同的點(diǎn)的直線方程是，滿足方程，當(dāng)時，經(jīng)過任意兩個不同的點(diǎn)的直線的斜率是，則直線方程是，整理得，②正確；③當(dāng)直線斜率不存在時，不經(jīng)過原點(diǎn)的直線方程是，不可以用方程表示，當(dāng)直線的斜率存在時，不經(jīng)過原點(diǎn)的直線可以用方程表示，③不正確；④當(dāng)直線斜率不存在時，經(jīng)過點(diǎn)的直線方程是，不可以用方程表示，當(dāng)直線的斜率存在時，經(jīng)過點(diǎn)的直線可以用方程表示，④不正確，所以給定的4個命題中，真命題只有1個.故答案為：1例3.已知，，則滿足的的值是（

）A． B．0 C．或0 D．或0【答案】C【解析】由可得，得或，當(dāng)時，，，符合題意；當(dāng)時，，，符合題意；故滿足的的值為0或．故選：C．例4.直線和直線垂直，則實(shí)數(shù)__________．【答案】0或1【解析】因直線和直線垂直，則有，即，解得或，所以或．故答案為：0或1【方法技巧與總結(jié)】熟記直線方程的公式【變式訓(xùn)練】1.若圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則（）A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2【答案】D【解析】直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1＜0.直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.故選:D.2.已知集合，集合，，則的取值范圍是（

）A． B．且C．且 D．且且【答案】C【解析】集合表示直線上去掉點(diǎn)所構(gòu)成的兩條射線，在方程中，令可得，集合表示過定點(diǎn)且斜率存在的直線，由得兩直線斜率不同，則，解得．故選：C.3.已知直線恒過定點(diǎn)A，點(diǎn)A在直線上，其中m、n均為正數(shù)，則的最小值為（

）A．4 B． C．8 D．【答案】C【解析】由，得．∴直線恒過定點(diǎn)，即，∵點(diǎn)A在直線上，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．∴的最小值為：8．故選:C．4.“”是“直線與直線垂直”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】直線與直線垂直，則，解得：或，所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件．故選：B．5.已知直線：．（1）求經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)．①的面積為，求的最小值和此時直線的方程；②當(dāng)取最小值時，求直線的方程．【解析】（1）由可得：，由可得，所以經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）直線：，令可得；令，可得，所以，由可得：，①的面積，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，的最小值為，此時直線的方程為：即；②設(shè)直線的傾斜角為，則，可得，，所以，令，因?yàn)椋傻?，，，將兩邊平方可得：，所以，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，此時，可得，所以，所以直線的方程為.考點(diǎn)二：圓的方程【典例例題】例1．（2022·廣東·金山中學(xué)高三期末）“”是“點(diǎn)在圓外”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】將化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得當(dāng)點(diǎn)在圓外時，有，解得∴“”是“點(diǎn)”在圓外”的必要不充分條件.故選：B.例2．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）直線被圓截得的最短弦長為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】將圓化為一般方程為，因此可知圓C的圓心為，半徑為4，因?yàn)橹本€l過定點(diǎn)，所以當(dāng)圓心到直線l的距離為時，直線l被圓C截得的弦長最短，且最短弦長為．故選：D例3．（2022·廣東·金山中學(xué)高三期末）（多選）已知點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線交圓：于，兩點(diǎn)，是圓上一動點(diǎn)，則（

）A．的最小值為 B．到的距離的最大值為C．的最小值為 D．的最大值為【答案】ABD【詳解】如圖，當(dāng)直線與軸垂直時，有最小值，且最小值為，所以A正確；設(shè)，則，所以，所以的最小值為，所以C錯誤；當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，最大，且最大值為，所以D正確；當(dāng)直線與垂直時，到的距離有最大值，且最大值為，所以B正確.故選：ABD【方法技巧與總結(jié)】關(guān)于圓的切線的幾個重要結(jié)論（1）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為．（2）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為（3）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程（4）求過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程時，應(yīng)注意理解：①所求切線一定有兩條；②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對所求直線的斜率是否存在加以討論．設(shè)切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值．若求出的值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東廣州·二模）已知拋物線，圓，直線與交于A、B兩點(diǎn)，與交于M、N兩點(diǎn)，若，則(

)A． B． C． D．【答案】B【詳解】由得，，設(shè)，，∵，∴，∵過拋物線的焦點(diǎn)(1，0)，故AB為焦點(diǎn)弦，∴，∴，∴，解得，由圓關(guān)于x軸對稱可知，k＝1和k＝－1時相同，故不妨取k＝1，l為y＝x－1，即x－y－1＝0，圓心(2，1)到l的距離，∴﹒故選：B．2．（2022·廣東湛江·二模）已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：圓的圓心為，半徑，因?yàn)橹本€與圓相交于、兩點(diǎn)，且，所以圓心到直線的距離，即，解得（舍去）或；故選：B3．（2022·廣東梅州·二模）已知直線與圓交于、兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，由題意可知，圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得.故選：D.4．（2022·廣東肇慶·二模）在中，，，，點(diǎn)D是線段AB上的動點(diǎn)﹐以D為圓心、AD長為半徑的圓與線段BC有公共點(diǎn)，則半徑AD的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【詳解】如圖，當(dāng)圓與BC相切時，半徑AD最小，設(shè)此時半徑，所以，解得，故選:A．5．（2022·廣東·珠海市第三中學(xué)二模）已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可知，圓是圓心為原點(diǎn)，半徑為的圓，拋物線的準(zhǔn)線方程為，由于拋物線的準(zhǔn)線方程與圓相切，則，解得.故選：B.6．（2022·廣東韶關(guān)·二模）已知直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，若則a=（

）A．5 B． C． D．【答案】B【詳解】由題知是等腰直角三角形，由及勾股定理得點(diǎn)O到直線的距離是，故，解得．故選：B．7．（2022·廣東茂名·二模）（多選）已知a>0，圓C：，則（

）A．存在3個不同的a，使得圓C與x軸或y軸相切B．存在2個不同的a，使得圓C在x軸和y軸上截得的線段相等C．存在2個不同的a，使得圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)D．存在唯一的a，使得圓C的面積被直線平分【答案】ACD【詳解】由條件可知，圓C的半徑為1，圓心坐標(biāo)為（a，lna），即圓心在曲線y＝lnx上運(yùn)動．對于A，當(dāng)a＝1時，圓C與y軸相切，當(dāng)，即a＝e或時，圓C與x軸相切，所以滿足要求的a有3個，A正確；對于B，若圓C在x軸和y軸上截得的線段相等，則圓心到x軸和y軸的距離相等，故圓心在上，又圓心在y＝lnx上，作圖可知曲線y＝lnx與y＝x沒有公共點(diǎn)，與y＝-x有一個交點(diǎn)，所以滿足要求的a僅有一個，B錯誤；對于C，若圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)，則，如下圖可知，曲線y＝lnx與有兩個交點(diǎn)，所以滿足要求的a有2個，C正確；對于D，若圓C的面積被直線平分，則直線經(jīng)過圓心（a，lna），計(jì)算可知曲線y＝lnx在x＝e處的切線恰好為，即滿足要求的a僅有一個，故D正確．故選：ACD.8．（2022·廣東·普寧市華僑中學(xué)二模）（多選）下列說法錯誤的是（

）A．“”是“直線與直線互相垂直”的充分必要條件B．直線的傾斜角的取值范圍是C．若圓與圓有且只有一個公共點(diǎn)，則D．若直線與曲線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是【答案】AC【詳解】對于A,當(dāng)時，與直線互相平行，即“”不是“直線與直線互相垂直”的充分條件，故A錯誤；對于B,直線的傾斜角滿足，故，故B正確；對于C，圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，兩圓有且只有一個公共點(diǎn)，則兩圓外切或內(nèi)切，則或，解得或，故C錯誤；對于D,曲線可化為，表示以為圓心，半徑為的半圓，如圖示：直線與曲線有公共點(diǎn)，則直線與圓相切或過點(diǎn)(0,3),當(dāng)直線和圓相切時，，解得，當(dāng)直線過點(diǎn)(0,3)時，，則數(shù)b的取值范圍是，故D正確，故選：AC9．（2022·廣東深圳·二模）（多選）P是直線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，則（

）A．弦長的最小值為 B．存在點(diǎn)P，使得C．直線經(jīng)過一個定點(diǎn) D．線段的中點(diǎn)在一個定圓上【答案】ACD【詳解】解：依題意，即，設(shè)，則為的中點(diǎn)，且，所以，所以，，又，所以，，所以，，故A正確，B不正確；設(shè)，則，所以以為直徑的圓的方程為，則，即，所以直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)，故C正確；又，，所以的中點(diǎn)在以為直徑的圓上，故D正確；故選：ACD10.（2022·廣東·二模）若直線和直線將圓的周長四等分，則__________．【答案】2【詳解】設(shè)直線和圓相交與點(diǎn)，直線與圓相交于點(diǎn)，圓心為，因?yàn)橹本€和直線將圓的周長四等分，所以圓心位于兩直線之間，且,所以為等腰直角三角形，所以圓心為到直線的距離為，同理可得圓心為到直線的距離為，故直線和直線間的距離為，所以，所以，故答案為：2.【鞏固練習(xí)】一、單選題1．已知P是半圓C：上的點(diǎn)，Q是直線上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，如圖所示，顯然當(dāng)P運(yùn)動到坐標(biāo)原點(diǎn)時，有最小值，最小值為原點(diǎn)到直線的距離，即，故選：D2．已知圓O：，已知直線l：與圓O的交點(diǎn)分別M，N，當(dāng)直線l被圓O截得的弦長最小時，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】直線l：，即，所以直線過定點(diǎn)，，圓半徑，點(diǎn)在圓內(nèi)，所以當(dāng)直線與垂直的時候，最短，此時．故選：C．3．已知圓截直線所得的弦長為，則圓C與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】C【解析】圓C的圓心為，半徑為a，其圓心到直線的距離為，所截得的弦長為，解得．所以，C的圓心為，半徑為2；又的圓心為，半徑為1，，故可得，則兩圓的位置關(guān)系是相交．故選：．4．設(shè)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，若直線上存在點(diǎn)Q使得，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，，即．點(diǎn)P的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓面．若直線上存在點(diǎn)Q使得，則PQ為圓的切線時最大，如圖，，即．圓心到直線的距離，或．故選：B．5．點(diǎn)M為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓O：的切線MP，MQ，切點(diǎn)分別為P，Q，當(dāng)四邊形MPOQ的面積最小時，直線PQ的方程為（

）A．x＋y－2＝0 B．C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0【答案】A【解析】因?yàn)橹本€MP，MQ與圓O：相切，切點(diǎn)為，所以，，所以四邊形MPOQ的面積，又，所以，所以當(dāng)取最小值時，四邊形MPOQ的面積最小，又當(dāng)且僅當(dāng)與直線垂直時，取最小值，所以當(dāng)與直線垂直時，四邊形MPOQ的面積最小，此時直線的方程為，聯(lián)立可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以四點(diǎn)共圓，圓的直徑為,該圓的圓心為，半徑為，所以該圓的方程為：，又在圓上，所以為兩圓的公共弦，所以的方程為：故選：A.二、多選題6．已知圓的一般方程為，則下列說法正確的是（

）A．圓的圓心為 B．圓的半徑為5C．圓被軸截得的弦長為6 D．圓被軸截得的弦長為6【答案】BD【解析】因?yàn)?，所以圓的圓心為，半徑為，故A錯誤，B正確．對選項(xiàng)C，圓心到軸的距離為，所以圓被軸截得的弦長為，故C錯誤；對選項(xiàng)D，圓心到軸的距離為，所以圓被軸截得的弦長為，故D正確．故選：BD7.已知圓被軸分成兩部分的弧長之比為，且被軸截得的弦長為4，當(dāng)圓心到直線的距離最小時，圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】設(shè)圓心為，半徑為，圓被軸分成兩部分的弧長之比為，則其中劣弧所對圓心角為，由圓的性質(zhì)可得，又圓被軸截得的弦長為4，∴，∴，變形為，即在雙曲線上，易知雙曲線上與直線平行的切線的切點(diǎn)為，此點(diǎn)到直線有距離最?。O(shè)切線方程為，由，消法得，∴，解得，時，，時，，即切點(diǎn)為或，半徑為，∴圓的方程為或．故選：AB8．已知點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與圓的位置關(guān)系只有相交和相切兩種B．圓的圓心到直線距離的最大值為C．點(diǎn)到直線距離的最小值為D．點(diǎn)可能在圓上【答案】ACD【解析】對于A選項(xiàng)，因?yàn)橹本€的方程可化為．令解得，所以直線過定點(diǎn)，直線是過點(diǎn)的所有直線中除去直線外的所有直線，圓心到直線的