大學(xué)物理專業(yè)《電磁學(xué)》靜電場(chǎng)部分例題分析

期末復(fù)習(xí)靜電場(chǎng)部分例題分析例1在帶等量異號(hào)電荷的二平行板間的均勻電場(chǎng)中，一個(gè)電子由靜止自負(fù)極板釋放，經(jīng)t時(shí)間抵達(dá)相距為d的正極板〔設(shè)電子質(zhì)量為m，電子電量為e〕，那么兩板的電荷面密度為〔B〕(A)(C)(D)例題分析(B)(E)例2在靜電場(chǎng)中，作閉合曲面，假設(shè)有，(式中為電位移矢量)，那么面內(nèi)必定〔〕〔A〕既無自由電荷，也無束縛電荷；〔B〕沒有自由電荷；〔C〕自由電荷和束縛電荷的代數(shù)和為零；〔D〕自由電荷的代數(shù)和為零例3如下圖，圖中所示為一沿軸放置的“無限長〞分段均勻帶電直線，電荷線密度分別為和，那么坐標(biāo)平面上點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)()〔A〕〔C〕〔D〕〔B〕例4如圖，一帶電大導(dǎo)體平板，平板二個(gè)外表的電荷面密度的代數(shù)和為，置于電場(chǎng)強(qiáng)度為的均勻外電場(chǎng)中，且使板面垂直于的方向．設(shè)外電場(chǎng)分布不因帶電平板的引入而改變，那么板附近左、右兩側(cè)的合場(chǎng)強(qiáng)為()〔A〕〔B〕〔D〕〔C〕例5一平行板電容器充電后又切斷電源，然后再將兩級(jí)板間的距離增大，這時(shí)與電容器相關(guān)的物理量〔1〕電容器的電容量；〔2〕電容器極板間的電場(chǎng)；〔3〕電容器兩極板間的電勢(shì)差；〔4〕電容器上的電荷。以上4個(gè)物理量中減少的是〔〕〔A〕〔1〕〔B〕〔2〕〔C〕〔3〕〔D〕〔4〕(A)(B)(C)(D)例6邊長為的正方形中心放置一電荷，通過一個(gè)側(cè)面的電通量為（）

例7在點(diǎn)電荷Q所產(chǎn)生的電場(chǎng)中，將試驗(yàn)電荷q從距離點(diǎn)電荷r處移到2r處，靜電場(chǎng)力所作的功為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕例8如下圖，有一半徑為的均勻電介質(zhì)球，沿直徑方向被均勻極化，極化強(qiáng)度為恒量，那么該介質(zhì)球體內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解答：如下圖在x軸上任一點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為積分得例8如圖所示，有一半徑為的均勻電介質(zhì)球，沿直徑方向被均勻極化，極化強(qiáng)度為恒量，那么該介質(zhì)球體內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為（）

在球內(nèi)那么此時(shí)介質(zhì)球內(nèi)的總場(chǎng)強(qiáng)為：代入上式得；解答：若我們不去追究極化的過程，那么我們可以認(rèn)為均勻的介質(zhì)球在均勻電場(chǎng)中的極化是均勻的，且假設(shè)其介質(zhì)球內(nèi)的極化強(qiáng)度為，則有上題可知，介質(zhì)球內(nèi)的附加電場(chǎng)強(qiáng)度為：在球內(nèi)有若改成一半徑為的均勻電介質(zhì)球放在電場(chǎng)強(qiáng)度為的均勻電場(chǎng)中，電介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)為，則該介質(zhì)球體內(nèi)的總電偶極矩的大小為多少？

所以總的電偶極矩的大小為：由此也可得出介質(zhì)球內(nèi)的總電場(chǎng)強(qiáng)度：++++++++++++++例

正電荷均勻分布在半徑為的細(xì)圓環(huán)上.求圓環(huán)軸線上距環(huán)心為處點(diǎn)的電勢(shì).例均勻帶電薄圓盤軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度.有一半徑為,電荷均勻分布的薄圓盤,其電荷面密度為.求通過盤心且垂直盤面的軸線上任意一點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度.解由例3另外解法(教材的解法)如圖所示，因很小，所以把半扇形當(dāng)作矩形，其長為，寬為，其面積為電荷為該點(diǎn)電荷在P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為由對(duì)稱性，場(chǎng)強(qiáng)在與軸垂直的方向上互相抵消，故有積分得無限大均勻帶電平面的電場(chǎng)強(qiáng)度討論〔點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度〕例9一平板空氣電容器的兩極板都是半徑為的圓形導(dǎo)體板，在充電時(shí)，板間電場(chǎng)強(qiáng)度的變化率為，假設(shè)略去邊緣效應(yīng)，那么兩極板間的位移電流為()〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕例10對(duì)位移電流，下述說法正確的選項(xiàng)是〔〕〔A〕位移電流的實(shí)質(zhì)是變化的電場(chǎng)；〔B〕位移電流和傳導(dǎo)電流一樣是定向運(yùn)動(dòng)的電荷；〔C〕位移電流服從傳導(dǎo)電流遵循的所有規(guī)律；〔D〕位移電流的磁效應(yīng)不服從安培環(huán)路定理右上角-q電荷產(chǎn)生的庫侖力+q電荷產(chǎn)生的力例11如圖所示，四個(gè)點(diǎn)電荷處在正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上。求作用在右下角電荷-2q上的庫侖力。設(shè)，。

+2q電荷產(chǎn)生的力其中總的力例12如下圖，一無限長均勻帶電直線，電荷線密度為，假設(shè)有一長度為l的均勻帶電直線，電荷線密度為，并且與無限長帶電直線相垂直放置，其近端到無限長直線的距離為a，求l所受的電場(chǎng)力?！?〕由高斯定理解：由高斯定理得例13如圖所示，有一半徑為的均勻帶電球面，帶電量為，沿半徑方向上放置一均勻帶電細(xì)線，電荷線密度為，長度為，細(xì)線近端離球心的距離為。設(shè)細(xì)線上的電荷不影響帶電球面的電荷分布，試求帶電細(xì)線受到的電場(chǎng)力。

〔2〕例14如下圖，在真空中有帶電量分別為+和-的A、B兩帶電平板相距為d〔d很小〕，面積為。求：〔1〕兩板之間的相互作用力的大??；〔2〕假設(shè)兩板之間的距離增加到，那么電場(chǎng)能量增加多少？〔1〕同理

方向向右

例15如下圖，無限長均勻帶電細(xì)直線，其帶電線密度為。在距離無限長帶電直線為處有一帶電荷為，長為的細(xì)線。求帶電細(xì)線所受的電場(chǎng)力大小和方向高斯定理電場(chǎng)力解：取微元：

例16如下圖為一沿X軸放置的長度為的均勻帶電細(xì)棒，其電荷線密度為為一常數(shù)。求坐標(biāo)原點(diǎn)O處的電場(chǎng)強(qiáng)度。其在O點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度：

O點(diǎn)的總電場(chǎng)強(qiáng)度：方向沿X軸方向。

〔電勢(shì)〕解：取微元：

例17電量q均勻分布在長為的細(xì)桿上，求在桿的垂直平分線上與桿中心距離為的p點(diǎn)的電勢(shì)(設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn))。

其在P點(diǎn)的電勢(shì)：

總的電勢(shì)

例18半徑為R的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為，求圓心處的場(chǎng)強(qiáng)。

其在O點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度：

O點(diǎn)的總電場(chǎng)強(qiáng)度：解：取微元：

例19如下圖，一半徑為R的無限長半圓柱面形薄筒，均勻帶電，單位長度上的電量為λ，試求圓柱面軸線上一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。帶電窄條在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為：

選如圖所示，沿弧長方向取一寬度為的窄條，此窄條單位長度上所帶的電量為：由圖可知：

整個(gè)帶電半圓柱面在O點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為：

故有：

〔1〕〔2〕例20如下圖，半徑為的導(dǎo)體球帶有電荷球外有一個(gè)內(nèi)、外半徑分別為、的同心導(dǎo)體球殼，殼上帶有電荷。試求：〔1〕用導(dǎo)線把球和球殼聯(lián)接在一起后，兩球的電勢(shì)和及兩球的電勢(shì)差?！?〕不把球與球殼相聯(lián)，但將外球殼接地時(shí)，，和為多少。〔1〕由高斯定理：，兩球面之間充滿相對(duì)介電常數(shù)為的均勻電介質(zhì)。例21如下圖，球形電容器的內(nèi)、外半徑分別為和，所帶電荷量為求：〔1〕該系統(tǒng)各區(qū)間的場(chǎng)強(qiáng)分布；〔2〕球心O點(diǎn)的電勢(shì)；〔3〕該系統(tǒng)的電容。

或者得電場(chǎng)分布：〔2〕球心O點(diǎn)的電勢(shì)〔3〕兩球面間的電勢(shì)差：電容：

〔1〕由高斯定理得〔3〕例22如下圖，半徑為R的導(dǎo)體球，帶有正電荷Q，球外有一同心均勻電介質(zhì)球殼，球殼的內(nèi)外半徑分別為a、b，介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)為，求：〔1〕介質(zhì)內(nèi)的電位移D和場(chǎng)強(qiáng)E；〔2〕介質(zhì)內(nèi)的極化強(qiáng)度P；〔3〕介質(zhì)外表的極化電荷面密度?！?〕〔1〕由高斯定理〔2〕例23如下圖，一根無限長直導(dǎo)線的橫截面半徑為，該導(dǎo)線外部套有一內(nèi)半徑為的同軸導(dǎo)體圓筒，內(nèi)導(dǎo)線上帶有線密度為+的電荷?！?〕求導(dǎo)線與圓筒之間的電場(chǎng)強(qiáng)度，內(nèi)外導(dǎo)體之間的電勢(shì)差；〔2〕假設(shè)導(dǎo)線與圓筒之間充有相對(duì)電容率為的電介質(zhì)，那么該系統(tǒng)單位長度上電容是多少？。，如下圖。略去邊緣效應(yīng)。試求：(1)離軸心距離為一圓柱電容器由半徑為的直導(dǎo)線和與它同軸的導(dǎo)圓筒的半徑為，長為，導(dǎo)線與圓筒間充滿了兩層同軸圓筒形的均勻介質(zhì)，，相對(duì)電容率分別為〔在內(nèi)〕和〔從0到(2)兩極間的電勢(shì)差；(3)該電容器的電容；(4)整個(gè)介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)能量。

體圓筒構(gòu)成，它們分別帶電。交界面的半徑為〕的電場(chǎng)分布；〔1〕由高斯定理得：得場(chǎng)強(qiáng)分布：〔2〕兩極間的電勢(shì)差〔3〕電容器的電容〔4〕整個(gè)介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)能量例24一平行板電容器兩極相距為d，面積為S,其中放有一層厚度為t，相對(duì)電容率為r的電介質(zhì)。如下圖，設(shè)兩極板間的電勢(shì)差為U，忽略邊緣效應(yīng)，求(1)介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度E、電位移矢量D和極化強(qiáng)度P；〔2〕電容器的電容C?！?〕〔2〕Std

r例25一空氣平行板電容器，兩極板面積均為，板間距離為(遠(yuǎn)小于極板線度)，在兩極板間平行地插入一面積也是、厚度為〔〕的金屬片，試求：〔1〕電容等于多少？〔2〕金屬片放在兩極板間的位置對(duì)電容值有無影響？那么在兩極板間產(chǎn)生的電場(chǎng)只存在沒有導(dǎo)體的空間中，并且是均勻電場(chǎng)假定兩極板上帶有電荷,〔1〕組成二個(gè)電容器串聯(lián)〔2〕例26在空氣中〔可視為真空〕有二塊面積為S金屬導(dǎo)體平板，平行放置，相距為，如下圖，試求：〔1〕假設(shè)有一塊相同面積相同，厚度為〔〕導(dǎo)體平板插入，那么此時(shí)該系統(tǒng)電容為多少；〔2〕假設(shè)在原二塊金屬接上電勢(shì)差為U的電源，然后斷開電源，把其中一塊導(dǎo)體板拉開到相距處，那么外力需做功多少。故外力做功為例27如下圖，平行板電容器極板上帶電面密度為，充有兩層厚度為和〔+=〕、相對(duì)介電常數(shù)分別為和的電介質(zhì)，求：〔1〕兩極間的電勢(shì)差；〔2〕電容器的電容；〔3〕介質(zhì)外表的極化電荷面密度?！?〕兩介質(zhì)中的電位移兩介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度兩極間的電勢(shì)差〔2〕電容〔3〕極化電荷面密度兩介質(zhì)交界面處單位長度的電容解設(shè)兩金屬線的電荷線密度為

例28

兩半徑為的平行長直導(dǎo)線中心間距為，且,求單位長度的電容.例29如下圖，一半徑為的均勻帶電球面，帶電量為，沿矢徑方向放置有一均勻帶電細(xì)線，電荷線密度為，長度為，細(xì)線近端離球心距離為。設(shè)球和細(xì)線上的電荷分布不受相互作用影響，試求：帶電細(xì)線在該電場(chǎng)中的電勢(shì)能?！苍O(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)〕球面外一點(diǎn)的電勢(shì)例30在一不帶電的金屬球旁，有一點(diǎn)電荷+q，金屬球半徑為R，求〔1〕金屬球上感應(yīng)電荷在球心處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度及此時(shí)球心處的電勢(shì)U；〔2〕假設(shè)將金屬球接地，球上的凈電荷為多少？+q與金屬球心間距離為r。+q解：（1）設(shè)金屬球上的感應(yīng)電荷為，球心O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為的電場(chǎng)和點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)的迭加，即

據(jù)靜電平衡條件金屬球內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)處處為零，即，若如圖坐標(biāo)，原點(diǎn)為O，則

因?yàn)榉植荚诮饘偾虮砻嫔希谇蛐奶幍碾妱?shì)點(diǎn)電荷q在O的電勢(shì)

據(jù)電勢(shì)迭加原理，球心處的電勢(shì)(2)若將金屬球接地，設(shè)球上有凈電荷q1，這時(shí)金屬球的電勢(shì)應(yīng)為零，即，由電勢(shì)迭加原理，金屬球的電勢(shì)

例31如下圖，一個(gè)細(xì)玻璃棒被彎成半徑為的半圓形，沿其上半局部均勻分布有電量，沿其下半局部的均勻分布有電量，如下圖，試求圓心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。根據(jù)對(duì)稱性，正電荷在方向產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度正負(fù)電荷在方向產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度例32如下圖，虛線所示為一立方形的高斯面，空間的場(chǎng)強(qiáng)分布為：，，．高斯面邊長，常量．試求該閉合面中包含的凈電荷．(真空介電常數(shù))通過左側(cè)面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量通過右側(cè)面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量例33如下圖，均勻帶電的圓形線圈，線密度，半徑，求：〔1〕中心處的電場(chǎng)強(qiáng)度；〔2〕將線圈的除去，其他條件不變，求中心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。根據(jù)疊加原理和對(duì)稱性分析，當(dāng)圓線圈均勻分布電荷時(shí)，圓心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。若剩下線圈，根據(jù)對(duì)稱性分析，一三象限的電荷在圓心處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，所以我們只要求出第二象限的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，根據(jù)對(duì)稱性分析，它應(yīng)該在位置上，方向沿此對(duì)角線根據(jù)疊加原理和對(duì)稱性分析，當(dāng)圓線圈均勻分布電荷時(shí)，圓心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。若剩下線圈，根據(jù)對(duì)稱性分析，一三象限的電荷在圓心處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，所以我們只要求出第二象限的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，根據(jù)對(duì)稱性分析，它應(yīng)該在位置上，方向沿此對(duì)角線例34如下圖，一球形真空電容器由半徑分別為和的兩同心球殼所構(gòu)成，所帶電荷量為,求此電容器貯存的電場(chǎng)能量。解：電場(chǎng)分布在與之間，例35一球形電容器由兩個(gè)同心的薄金屬球殼構(gòu)