考研數(shù)學(xué)三(大數(shù)定律和中心極限定理、數(shù)理統(tǒng)計的基本概念)-試卷18820

考研數(shù)學(xué)三（大數(shù)定律和中心極限定理、數(shù)理統(tǒng)計的基本概念）-試卷1(總分：60.00，做題時間：90分鐘)一、選擇題(總題數(shù)：10，分?jǐn)?shù)：20.00)1.選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。（分?jǐn)?shù)：2.00）_________________________________________________________解析：2.設(shè)隨機(jī)變量X，X，…，X相互獨立，S=X+X+…+X，則根據(jù)列維一林德伯格中心極限12nn122n當(dāng)n充分大時S近似服從正態(tài)分布，只要X，X，…，X定理，n12n（分?jǐn)?shù)：2.00）A.有相同期望和方差．B.服從同一離散型分布．C.服從同一均勻分布．√D.服從同一連續(xù)型分布．解析：解析：因為列維一林德伯格中心極限定理的條件是，X，X，…，X獨立同分布而且各個隨機(jī)12n變量的數(shù)學(xué)期望和方差存在．顯然4個選項中只有選項(C)滿足此條件：在．選項(A)不成立，因為X，X，…，X有相同期望和相同的分布，所以不滿足列(B)和(D)雖然滿足同分布，但數(shù)學(xué)方差未必存在，因此般也不能保證中心極限定理成立．3.假設(shè)隨機(jī)變量X，X，…相互獨立且服從同參數(shù)λ的泊松分布，則下面隨機(jī)變量序列中不滿足切比均勻分布的數(shù)學(xué)期望和方差都存方差，但未必有1條件；而選項2n維一林德伯格中心極限定理的期望和也不滿足列維一林德伯格中心極限定理的條件，故選項(B)和(D)一12雪夫大數(shù)定律條件的是（分?jǐn)?shù)：2.00）A.X，X，…，X，…12nB.X+1，X+2，…，X+n，…12nC.X，2X，…，nX，…√12nD.解析：解析：切比雪夫大數(shù)定律的條件有三個：第一個條件要求構(gòu)成隨機(jī)變量序列的各隨機(jī)變量是相互獨立的．顯然無論是X，…，X，…，還是X+1，X+2，…，X+n，…，X，2X，…，nX，…11212n2n以及X，都是相互獨立的；第二個條件要求1各隨機(jī)變量的期望與方差都存在．由于EX=λ，DXn=λ，E(X+n)=λ+n，D(X+n)=λ，E(nX)=nλ，D(nX)=n2λ，．因此四個備選答案都nnnn滿足第二個條件；第三個條件是方差DX，…，DX，…有n公共上界，即DX＜c，c是與n無關(guān)的常數(shù)．對n1n于(A)：DX=λ＜λ+1；對于(B)：D(X+n)=DX=λ＜λ+1；對于(C)：D(nX)=n2DX=n2λ沒有nnnnn公共上界；對于(D)：綜上分析，只有(C)中方差不滿足方差一致有界的條件，因此應(yīng)選(C)．4.設(shè)隨機(jī)變量序列X，…，X，…相互獨立，根據(jù)辛欽大數(shù)定律，當(dāng)n→∞時依概率收斂于其n1數(shù)學(xué)期望，只要{X，n≥1}n（分?jǐn)?shù)：2.00）A.有相同的數(shù)學(xué)期望．B.有相同的方差．C.服從同一泊松分布．√D.服從同一連續(xù)型分布，解析：解析：辛欽大數(shù)定律要求：{X，n≥1}獨立同分布且數(shù)學(xué)期望存在．選項(A)、(B)缺少同分布條n件，選項(D)雖然服從同一分布但期望不存在，因此選(C)．5.設(shè)X表示將一枚勻稱的硬幣隨意投擲n次其“正面”出現(xiàn)的次數(shù)，則n（分?jǐn)?shù)：2.00）A.B.C.√D.解析：解析：由于，因此根據(jù)“二項分布以正態(tài)分布為極限分布”定理，有故選(C)．6.設(shè)隨機(jī)變量序列X，X，…，X，…相互獨立，則根據(jù)辛欽大數(shù)定律，當(dāng)n→∞時依概率收12n斂于其數(shù)學(xué)期望，只要{X，n≥1}n（分?jǐn)?shù)：2.00）A.有相同的期望．B.有相同的方差．C.有相同的分布．D.服從同參數(shù)p的0．1分布．√解析：解析：由于辛欽大數(shù)定律除了要求隨機(jī)變量X，X，…，X，…相互獨立的條件之外，還要求12nX，X，…，X，…同分布與期望存在，只有選項(D)同時滿足后面的兩個條件，應(yīng)選(D).12n7.設(shè)隨機(jī)變量X，…，X，…相互獨立，記Y=X-X(n≥1)，根據(jù)大數(shù)定律，當(dāng)n→∞時2n12依概率收斂到零，只要{X，n≥1}n2n-1n（分?jǐn)?shù)：2.00）A.數(shù)學(xué)期望存在．B.有相同的數(shù)學(xué)期望與方差．√C.服從同一離散型分布．D.服從同一連續(xù)型分布．解析：解析：由于X相互獨立，所以Y相互獨立．選項(A)缺少“同分布”條件；選項(C)、(D)缺少“數(shù)nn學(xué)期望存在”的條件，因此它們都不滿足辛欽大數(shù)定律，所以應(yīng)選(B)．，上若EX=μ，DX=σ2NN存在，則根據(jù)切比雪夫大數(shù)定律：對任意ε＞0有8.設(shè)X，X，…，X，…相互獨立且都服從參數(shù)為λ(λ＞0)的泊松分布，則當(dāng)n→∞時以Ф(x)為12n極限的是（分?jǐn)?shù)：2.00）A.B.C.√D.解析：解析：由于X，X，…，X，…相互獨立同分布，其期望n和方差都存在，且以Ф(x)12為極限，故應(yīng)選(C)．9.設(shè)隨機(jī)變量序列X，X，…，2X，…相互獨立，EXμ=，DX=2，i=1，2，…，令=P{Yniin1＜p}，則（分?jǐn)?shù)：2.00）A.{X：n=1，2，…}滿足辛欽大數(shù)定律．nB.{X：n=1，2，…}滿足切比雪夫大數(shù)定律．√nC.p可以用列維一林德伯格定理近似計算．D.p可以用拉普拉斯定理近似計算．解析：解析：由于X，X，…相互獨立，其期望、方差都存在，且對所有i=1，2，…，DY=2＜l(li12＞2)，因此{(lán)X：n=1，2，…}滿足切比雪夫大數(shù)定律，應(yīng)選(B)．n10.設(shè)隨機(jī)變量X服從F(3，4)分布，對給定的α(0＜α＜1)，數(shù)F(3，4)滿足P{X＞F(3，4)}=α，αα若P{X≤x}=1-α，則x=（分?jǐn)?shù)：2.00）A.√B.C.D.解析：解析：由P{X≤x}=1-α可知，P{X＞x}=α，即x=F(3，4)．又由F(n，n)=．故α1-α12選(A)．二、填空題(總題數(shù)：11，分?jǐn)?shù)：22.00)11.將一枚骰子重復(fù)擲n次，則當(dāng)n→∞時，n次擲出點數(shù)的算術(shù)平均值依概率收斂于1.（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項1:__________________（正確答案：正確答案：7／2）解析：解析：設(shè)X，X，…，X是各次擲出的點數(shù)，它們顯然獨立同分布，每次擲出點數(shù)的數(shù)學(xué)期望n12EX=21／6=7／2．因此，根據(jù)辛欽大數(shù)定律，依概率收斂于7／2．12.設(shè)隨機(jī)變量序列X，…，X，…相互獨立且都服從正態(tài)分布N(μ，σ)，記Y=X-X，21nn2n2n-1根據(jù)辛欽大數(shù)定律，當(dāng)n→∞時依概率收斂于1．（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項1:__________________（正確答案：正確答案：2σ2．）解析：解析：由于{X，n≥1}相互獨立，故Y=X-X(n≥1)相互獨立并且都服從N(0，2σ2)，nn2n2n-1所以=DY+(EY)2=2σ2，根據(jù)辛欽大數(shù)定律，當(dāng)n→∞時依概率收斂于2σ2．nn13.隨機(jī)從數(shù)集{1，2，3，4，5}中有返回的取出n個數(shù)X，X，…，X，對任何ε＞0，，則12na=，1b=．2（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項1:__________________（正確答案：正確答案：3）填空項1:__________________（正確答案：11）解析：解析：依題意X，…，X相：互獨立且有相同的概率分布：P{X=k}=(k=1，2，3，4，1ni5)，與相同的數(shù)學(xué)期望：EX=i(1+2+3+4+5)=3．根據(jù)辛欽大數(shù)定律，當(dāng)n→∞時，依概率收斂于3，即a=3．同理，依概率收斂于11，即b=11．14.設(shè)隨機(jī)變量序列X，…，X，…相互獨立且都在(-1，1)上服從均勻分布，則=1(結(jié)果用標(biāo)n1準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)Ф(x)表示)．（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項1:__________________（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：由于X相互獨立且都在(-1，1)上服從均勻分布，所以EX=0，DX=n，根據(jù)獨立nn同分布中心極限定理，對任意x∈R有15.設(shè)隨機(jī)試驗成功的概率p=0．20，現(xiàn)在將試驗獨立地重復(fù)進(jìn)行100次，則試驗成功的次數(shù)介于16和32次之間的概率α=1．（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項1:__________________（正確答案：正確答案：0.84）解析：解析：以X表示“在100次獨立重復(fù)試驗中成功的次數(shù)”，則X服從參數(shù)為(n，p)的二項分布，其中n=100，p=0．20，且由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理，知隨機(jī)變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)．因此試驗成功的次數(shù)介于16和32次之間的概率8413)=0．84，其中Ф(u)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)．≈Ф(3)-Ф(-1)=Ф(3)-[1-Ф(1)]=0．9987-(1-0．16.設(shè)X，X，…，X是獨立同服從參數(shù)為4的泊松分布的隨機(jī)變量，是其算術(shù)平均100值，則12P{≤4．392}≈1．（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項1:__________________（正確答案：正確答案：0.975）解析：解析：由于EX=DX=4，．因為n=100充分大，故由列維一林德伯格定理知，近kk似地服從正態(tài)分布N(4，0．22)．因此，有17.設(shè)隨機(jī)變量X，X，…，X，Y，Y，…，Y相互獨立，且X服從參數(shù)為λ的泊松分布，12n12niY服從參數(shù)為的指數(shù)分布，i=1，2，…，n，則當(dāng)n分充大時，近似服從1分布，其分布i參數(shù)為2與3．（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項1:__________________（正確答案：正確答案：正態(tài)，2nλ，n(λ+λ2)）解析：解析：X+Y，X+Y，…，X+Y相互獨立同分布．因EX=DX=λ，EY=λ，DY=λ1122nniiii2，故E(X+Y)=2λ，D(X+Y)=λ+λ2，當(dāng)n分充大時，近似服從正態(tài)分布，其分布參數(shù)iiii18.設(shè)總體X～E(λ)，則來自總體X的簡單隨機(jī)樣本X，X，…，X的聯(lián)合概率密度f(x，x，…，212n1x)=1.n（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項1:__________________（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：總體X的概率密度由于X，X，…，X相互獨立，n且與總體X服從同一指數(shù)分12布，因此19.設(shè)總體X-P(λ)，則來自總體X的簡單隨機(jī)樣本X，X，…，X的樣本均值的概率分布為1．12n（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項1:__________________（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：由泊松分布的可加性可知，當(dāng)X，X獨立時，X+X～P(2λ)，繼而有X，X，…，121212X獨立同為P(λ)分布時，的概率分布為n20.設(shè)(2，1，5，2，1，3，1)是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本值，則總體X的經(jīng)驗分布函數(shù)F(x)=1.n（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項1:__________________（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：將各觀測值按從小到大的順序排列，得1，1，1，2，2，3，5，則經(jīng)驗分布函數(shù)為21.已知χ2～χ(n)，則E(χ2)=．12（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項1:__________________（正確答案：正確答案：n）解析：解析：由χ分布的典型模式，而X～N(0，1)，且X相互獨立，由于=D(X)+[E(Xiii2)]2=1+0=1，所以i三、解答題(總題數(shù)：9，分?jǐn)?shù)：18.00)22.解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（分?jǐn)?shù)：2.00）_________________________________________________________解析：23.設(shè)X，X，…，X，…相互獨立，n其概率分布為12（分?jǐn)?shù)：2.00）_________________________________________________________正確答案：(正確答案：EX=0，DX=i，對任何i=l，2，…DX＜1，且題設(shè)X，X，…，X，…i12ni相互獨立，因此隨機(jī)變量序列X，X，…，X，…滿足切比雪夫大數(shù)定律，即對任何δ＞0，12n因此當(dāng)n→∞時，Y依概率收斂于0．)n解析：24.對某一目標(biāo)進(jìn)行多次同等規(guī)模的標(biāo)準(zhǔn)差是1．3，計算在100次轟炸中有180顆到220顆炸彈命中目標(biāo)（分?jǐn)?shù)：轟炸，每次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)目是個隨機(jī)變量，假設(shè)其期望值為2，的概率．2.00）_________________________________________________________正確答案：(正確答案：設(shè)第i次轟炸中命中目標(biāo)的炸彈數(shù)為X，100次轟炸中命中目標(biāo)的炸彈總數(shù)為X，i則X=X+…+X，且X，X相互獨立同分布．EX=2，DX=1．32，EX=200，DX=169．應(yīng)用獨11001100ii立同分布中心極限定理，X近似服從正態(tài)分布N(200，169)，則有P{180＜X＜220}=P{｜X-200}＜20}=≈2Ф(1．54)-1=0．876．)解析：25.假設(shè)某種型號的螺絲釘?shù)闹亓渴请S機(jī)變量，期望值為50克，標(biāo)準(zhǔn)差為5克．求：(Ⅰ)100個螺絲釘一袋的重量超過5．1千克的概率；(Ⅱ)每箱螺絲釘裝有500袋，500袋中最多有4％的重量超過5．1千克的概率．（分?jǐn)?shù)：2.00）_________________________________________________________正確答案：(正確答案：(Ⅰ)假設(shè)置表示袋中第i顆螺絲釘?shù)闹亓?，i=1，…，100，則X，…，X相1100互獨立同分布，EX=50，DX=52．記一袋螺釘?shù)闹亓繛镾，則應(yīng)用列維-林德伯格中心極限100ii定理可知S近似服從正態(tài)分布N(5000，502)，且P{S＞5100}=1-P{S≤5100}=10010010002275．(Ⅱ)設(shè)500袋中重量超過5．1千克的袋數(shù)為Y，則Y服從參數(shù)≈1-Ф(2)=0．n=500，p=0．02275的二項分布．EY=11.375，DY=11.116．應(yīng)用棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理，可知Y近似服從參數(shù)μ=11．375，σ=11．116的正態(tài)分布，于是)2解析：26.假設(shè)隨機(jī)變量X，…，X相互獨立，n服從同參數(shù)λ的泊松分布．記S=，當(dāng)n充分大時，1求S的近似分布．nn（分?jǐn)?shù)：2.00）_________________________________________________________正確答案：(正確答案：由于X服從泊松分布，故EX=DX=λ，又因X，…，X相互獨立，所以iii1n根據(jù)獨立同分布的列維-林德伯格中心極限定理，當(dāng)n充分大時，S-n近似服從正態(tài)分布N(nλ，nλ)，n因此S近似服從正態(tài)分布N(nλ+n，nλ)．)N解析：27.假設(shè)排球運動員的平均身高(單位：厘米)為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為4．求100名排球運動員的平均身高與所有排球運動員平均身高之差在(-1，1)內(nèi)的概率．（分?jǐn)?shù)：2.00）_________________________________________________________正確答案：(正確答案：設(shè)100名中第i名運動員身高為X，i=1，…，100，可以認(rèn)為X，X，…，i12X相互獨立同分布，且EX=p，DX=16，，應(yīng)用獨立同分布中心極限定理，近似服從i100i正態(tài)分布N(μ，0．42)