不等式及其性質(zhì)（原卷版）

TOC\o"13"\h\z\u題型1用不等式(組)表示不等關系 2題型2實數(shù)的大小比較 3◆類型1作差法 4◆類型2作商法 5題型3不等式的性質(zhì)及應用 5題型4代數(shù)式的取值范圍問題 7◆類型1直接法 7◆類型2待定系數(shù)法 8題型5證明題 9知識點一.基本事實兩個實數(shù)a，b，其大小關系有三種可能，即a>b，a＝b，a<b.依據(jù)如果a>b?a－b>0.如果a＝b?a－b＝0.如果a<b?a－b<0.結(jié)論要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小知識點二.不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b<a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bcc的符號eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd同向7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正題型1用不等式(組)表示不等關系【例題1】（2023秋·高一課時練習）（1）限速40km/h的路標，指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40km/h，用不等式如何表示？（2）某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應不少于2.3%，如何用不等式組表示上述關系？【變式11】1.（2023秋·高一課時練習）用不等式表示下列關系.(1)x為實數(shù)，而且大于1不大于6；(2)x與y的平方和不小于2且不大于10.【變式11】2.（2023·全國·高一課堂例題）糖水在日常生活中經(jīng)常見到，可以說大部分人都喝過糖水.下列關于糖水濃度的問題，能提煉出一個怎樣的不等式呢？(1)如果向一杯糖水里加點糖，糖水變甜了；(2)把原來的糖水（淡）與加糖后的糖水（濃）混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡.【變式11】3.（多選）（2023秋·湖南衡陽·高三衡陽市田家炳實驗中學?？茧A段練習）某工藝廠用A、B兩種型號不銹鋼薄板制作矩形、菱形、圓3種圖形模板，每個圖形模板需要A、B不銹鋼薄板及該廠2種薄板張數(shù)見下表矩形菱形圓總數(shù)A531055B12613125該廠簽購制作矩形、菱形、圓3種模板分別為x，y，z（x,y,z∈NA．5x+3y+10z≥55 B．5x+3y+10z≤55C．12x+6y+13z≤125 D．12x+6y+13z≥125【變式11】4.（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列關于糖水濃度的問題，能提煉出怎樣的不等關系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了；(2)把原來的糖水（淡）與加糖后的糖水（濃）混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水變淡了.題型2實數(shù)的大小比較【方法總結(jié)】比較不等式的大小時，一般可采用以下幾個方法：（1）作差比較法；若a-b≥0，則a≥b；a>0，b>0，且ab≥1時，◆類型1作差法【例題21】（2022秋·湖北十堰·高一?？计谥校┮阎猘=-xA．b<a<c B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．c<b<a【變式21】1.（2023·全國·高一課堂例題）已知M=10+12A．M>N B．M=N C．M<N D．不能確定【變式21】2.（2021秋·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期中）甲、乙兩人同時于上周和本周到同一加油站給汽車加油兩次，甲每次加油20升，乙每次加油200元，若上周與本周油價不同，則在這兩次加油中，平均價格較低的是（

）A．甲 B．乙 C．一樣低 D．不能確定【變式21】3.（2023秋·湖南長沙·高三周南中學校考開學考試）設互不相等的三個實數(shù)a,b,c滿足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+A．b>a>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a【變式21】4.（2022秋·天津濱海新·高一?？计谥校┮阎猘>0,b>0，M=a+bA．M>N B．M<N C．M≥N D．M≤N【變式21】5.（2022秋·四川瀘州·高一校考階段練習）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究數(shù)問題）成為了后世數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)．通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．如圖所示的圖形中，在AB上取一點C，使得AC=a,BC=b(1)請用a，b分別表示出CD，DE；(2)寫出CD與DE的大小關系，并證明．◆類型2作商法【例題22】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知a≥1，試比較M=a+1-a【變式22】1.（2023·全國·高三專題練習）設a>b>0，比較a2-b【變式22】2.（2023秋·全國·高一隨堂練習）若a>b>0，求證：aa【變式22】3.（2021·全國·高一專題練習）P=a2+a+1,Q=1a【變式22】4.（2021·高一課時練習）若a＝1816，b＝1618，則a與b的大小關系為．題型3不等式的性質(zhì)及應用【方法總結(jié)】在高考中，不等式性質(zhì)的判斷題常有出現(xiàn)，一般我們判斷此類問題主要采用兩種方法：其一：按照性質(zhì)進行判斷，此種方法要求我們對不等式性質(zhì)有一個全面熟練的掌握。其二：采用賦值法/特殊值法進行判斷，此種方法對于證明假命題非常適用；不等式的性質(zhì)（1）如果a>b，那么b<a，該性質(zhì)稱為對稱性；（2）如果a>b,b>c，那么a>c，該性質(zhì)稱為傳遞性；（3）如果a>b，則a+c>b+c，反之也成立，該性質(zhì)稱為可加性；（4）如果a>b,c>0，則ac>bc；如果a>b,c<0，則ac<bc；（5）如果a>b,c>d，則a+c>b+d；（6）如果a>b>0,c>d>0，則ac>bd；（7）如果a>b>0，n≥2，則an>b【例題3】（2023秋·安徽滁州·高一?？计谀┤绻鸻，A．若a>b，則1a<1bC．若a>b,ab≠0，則1ab2>【變式31】1.（2023春·廣東汕尾·高二汕尾市城區(qū)汕尾中學校考期中）已知a,b∈R，則下列命題正確的是（

）A．若a>b，則a2≠b2C．若a>b，則a2>b2【變式31】2.（2023春·黑龍江佳木斯·高二富錦市第一中學?？计谀┤鬭、b為實數(shù)，則“0<ab<1”是“a<1b或A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式31】3.（2022秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）已知命題p:x>1且y>2，命題q:x+y>3，則p是q的（

）A．充要條件 B．充分且不必要條件C．必要且不充分條件 D．既不充分也不必要條件【變式31】4.（2022秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用．后來英國數(shù)學家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．若a,A．若ab≠0且a<b，則1a>1bC．若a>b>0，c>d，則ac>bd D．若a<b<0，則a題型4代數(shù)式的取值范圍問題【方法總結(jié)】方法一.由不等式的同向可加性和同向同正可乘性直接求解方法二.由待定系數(shù)法確定其系數(shù)，進行不等式范圍的求解◆類型1直接法【例題41】（2023春·黑龍江大慶·高一大慶中學?？奸_學考試）已知1≤a≤4，-1≤b≤2，則3a-b的取值范圍是（

）A．-13≤3a-b≤1 B．-1≤3a-b≤8C．-1≤3a-b≤13 D．1≤3a-b≤13【變式41】1.（2022秋·廣東東莞·高三?？茧A段練習）若1<α<3，-2<β<4，則α-βA．-3,1 B．-3,3C．0,3 D．-3,5【變式41】2.．（2022秋·遼寧營口·高一?？茧A段練習）（1）已知12<a<60,15<b<36，求a-b與ab（2）已知-π2≤α<β≤【變式41】3.（多選）（2023春·浙江嘉興·高二校考期中）已知實數(shù)x，y滿足1<x<6，2<y<3，則（

）A．3<x+y<9 B．-1<x-y<3 C．2<xy<18 D．1【變式41】4.（2023春·河北石家莊·高一校考階段練習）已知1<a<4,2<b<8，分別求：(1)2a+3b的取值范圍；(2)a-b的取值范圍；(3)ab◆類型2待定系數(shù)法【例題42】（2022秋·遼寧大連·高一大連市第十二中學校考階段練習）已知-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5.則9a-c的取值范圍（）A．-7,26 B．-7,26C．-1,20 D．-1,20【變式42】1.（2022秋·寧夏中衛(wèi)·高二中寧一中?？茧A段練習）已知實數(shù)x﹐y滿足1≤x-y≤2，2≤x+y≤4，則4x-2y的取值范圍是（

）A．3,12 B．5,10C．6,12 D．3,10【變式42】2.（2023春·河北保定·高二校聯(lián)考期末）已知-3<m+n<3,1<m-n<5，則n-3m的取值范圍是（

）A．-13,1 B．-16,4 C．-11,-1 D．-7,-5【變式42】3.（2023·全國·高三專題練習）已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范圍？【變式42】4.（2023·全國·高三專題練習）若實數(shù)x、y滿足-1≤x+y≤1，1≤x+2y≤3，則x+3y的取值范圍是？題型5證明題【例題5】（2023秋·高一課時練習）（1）已知a>b,e>f,c>0，求證：f-ac<e-bc；（2）若bc-ad≥0,bd>0.求證：a+bb【變式51】1.（2023秋·高一課時練習）（1）若a,b∈1,+∞，證明：（2）已知x∈R，a=x2+1【變式51】2.（202