概率在證明不等式中的應(yīng)用

學(xué)習(xí)必備 歡迎下載學(xué)習(xí)必備 歡迎下載概率在證明不等式中的應(yīng)用不等式的證明方法很多，不僅可以用高等數(shù)學(xué)的方法證明，而且也可以用初等數(shù)學(xué)的方法證明，技巧十分靈活多變，當(dāng)然也有不少問題需要幾種方法綜合使用才能解決。作為研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)重要分支，概率論與數(shù)學(xué)各個(gè)分支之間有著十分廣泛的聯(lián)系，通過對(duì)不等式的探討他們之間的聯(lián)系具有十分重要的意義。概率論與不等式融會(huì)貫通、互為所用，如何利用根據(jù)不同的數(shù)學(xué)問題建立相應(yīng)的隨機(jī)概率模型是概率論方法證明不等式的關(guān)鍵， 然后運(yùn)用概率、函數(shù)之間的相關(guān)性質(zhì)給出問題的結(jié)果。下面對(duì)不等式證明中的各種概率論方法進(jìn)行進(jìn)一步研究運(yùn)用概率論的性質(zhì)證明不等式1.1運(yùn)用隨機(jī)變量的數(shù)字特征證明其不等式定理設(shè)X是一只取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量，其分布列為P{X= Xk}=Pi,k=1,2,…,n,貝U E2(X)￡E(X2),當(dāng)且僅當(dāng)X<|=X2=??=Xn=E(X)時(shí)，等式成立.2證由E(X2)-E2(X)=D(X)=E|Xi-E(X) >0即得證.下面簡舉幾例應(yīng)用在數(shù)學(xué)方面，如下：求證a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc其中a,b,c?R+，且a,b,c全不相等a(b2a(b2+c2)+b(c2)+c(a2+b2)>6abca+b+—ca+b+—c>6假設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為cs假設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為cs其中s=a+b+c,則有,=3.即可得a2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.求證abc

++

b+cc+aa+b?32其中a,b,c,為正數(shù).設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為b+cb+c2s輊,P輊輊2s，P臌=3.即可得a2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.求證abc

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b+cc+aa+b?32其中a,b,c,為正數(shù).設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為b+cb+c2s輊,P輊輊2s，P臌a+b2s其中s=a+b+c,由引理E2(X)￡E(X2)(X)=b+c2ssb+cs+c+a2ssa+b3a+b2s2E(X2)止+驏2s2b+c+驏2s琪c+ac+a+驏s2s桫a+b2a+b2sc+a+2s桫a+b也392s4?3得證。2求證(a4+b4+c4)?a2b2b2c222+ca?abc(ab+c)(*)其中a,b,c為正數(shù).若設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為輊h,p輊a2b2a b2c2輊h,p輊b c2a2E(x)=?a+sb+scasbscssssb+cc+aa+b

= +—+—= + + +3abcabc最后由引理E2(X)￡E(X2)(其中h=a2b2+b2c2+c2a2,)由引理E2(X)￡E(X2)即可得a2b2+b2即可得a2b2+b2c2+c2a2?abc(a設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為驏 2acb+c)不等式P■琪琪4=-,P

sb24a-,P

s(其中s=a4+b4+c4,)由引理E2(X)￡E(X2)即可得(a4+b4+c4)?a2b2b2c2+c2a2不等式;從而(a4+b4+c4)?a2b2b2c2+c2a2?abc(ab+c)得證。同樣的證明我們可以得到上不等式的推廣：推廣 設(shè)ai,a2,|)|,an是不全相等的正數(shù)，n32,則n n n邋a4吵a2a,?&務(wù)+佝+2.(其中an+k=ak,k=1,2)i=1 i=1 i=1從以上諸題可見:由E(X2)>E2(X)，所得的結(jié)論讓我們認(rèn)識(shí)到仔細(xì)分析題目，依據(jù)所證的不等式的特點(diǎn)，證明的關(guān)鍵是要求我們要靈活而巧妙地構(gòu)造出一個(gè)合適的隨機(jī)變量的分布列。根據(jù)概率論中的一些定理可以幫助我們證明一些復(fù)雜的不等式，這些定理還可以是方差、協(xié)方差等定理的應(yīng)用，并于此同時(shí)我們也取到舉一反三的效果。1.2利用事件的關(guān)系運(yùn)算題5證：2?aiaj+41?「j?5 1?i5? qajakalj<k<l?55 5?ai+3? ajajak+58182838485,i=1 1?i'j<k?5其中ak?[0,1]，k=1,2,3,4,5,證該不等式很難證明，我們把它轉(zhuǎn)化為概率模型，設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)事件A(k=1,2,3,4,5,)，由于ak?[0,1]，k=1,2,3,4,5,可以看作事件人(k=1,2,3,4,5,)的發(fā)生概率，即：P(Ak)=ak k=1,2,3,4,5,由于任一事件的概率P(Ak)￡1,P（A）由于任一事件的概率P(Ak)￡1,P（A）P|0?事件之間并的關(guān)系的運(yùn)算公式:|JA=邋?）則有Aj ￡P(guān)(Ak)=ak ,k=1,2,3,4,5, (*)<jP(AAj)+”l+(-1)P(AlliA)n+1將P(Ak)=akk=1,2,3,4,5,)代入上（*）不等式5ai( ?aj-j=1：j?i 1?j5?ajak+k95;j,ki 1?j5?ajakai)￡ai ,i=1,2,3,4,5k<l95;j,k,l,i以上幾式相加，并將式子合并、移向整理即得證原不等式52?眄52?眄1?「j?5+41?i5? aiajakaij<k<l?55 5?a+3? aiajak+5a1a2a3a4a5.i'=1 1?i'j<k?5從以上可見：所給的題目用常規(guī)方法無從下手，很難解決，但將題目中的 ak看成相應(yīng)相互獨(dú)立隨機(jī)事件Ak，利用事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算，再結(jié)合概率知識(shí)證明不等式，使問題簡單明了化。構(gòu)造隨機(jī)概率模型證明不等式根據(jù)問題的條件及所給的數(shù)量關(guān)系構(gòu)造概率模型，使原有的信息條件轉(zhuǎn)化成另一種新的數(shù)量關(guān)系，使問題在新的數(shù)量關(guān)系下實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，并利用所構(gòu)建新的概率模型的數(shù)字特征解決所證的不等式。然而，解決該類問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造怎樣相應(yīng)的概率模型，使問題朝向概率問題上發(fā)展。在下面的討論中我們將提供三種如何構(gòu)造隨機(jī)概率模型來證明不等式的方法。構(gòu)造泊松分布概率模型+?.k3+1 —題證? 32e?0k!分析將原不等式?0罟32e轉(zhuǎn)化為?0匕勺32我們構(gòu)建泊松分布的概率模型:其概率密度為、1k其概率密度為、1ke_lP(x=k)「(k=0,1,2川I)泊松分布的數(shù)學(xué)期望為 Ex=l,構(gòu)造函數(shù)f(x)=.a2+x3,f(x)是泊松分布的數(shù)學(xué)期望為 Ex=l,構(gòu)造函數(shù)f(x)=.a2+x3,f(x)是一個(gè)凹函數(shù)，其中(a<0)3知： f(Ex)=a2+(Ex) ,因?yàn)閒(x)為凹函數(shù)，所以由詹森不等式E(f(x))=E(a2+x3)EIf(x)￡f(Ex)，即+?kl ■—2 3 ?0七斗寸+?Jk3+1令a=1,l=1，原不等式？ 32e即得證。k=0k!解決本題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化創(chuàng)建相應(yīng)的概率模型，并適當(dāng)利用數(shù)學(xué)知識(shí)如本題中的詹森不等式的應(yīng)用，更是解題中關(guān)鍵中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。構(gòu)造廣義貝努利概率模型證明n+1)!1)!!?丄n=i(2n+<1。分析N將?n=1(2n+1)!!匕1丄<1轉(zhuǎn)化為無窮級(jí)數(shù)?n=1(2n+1)!!n+1\!，判斷此級(jí)數(shù)收斂,且?n=1￡1(2n+1)!!，那么問題就可以得到證明。我們根據(jù)題目特征構(gòu)建一個(gè)廣義貝努力模型:設(shè)A和A為隨機(jī)試驗(yàn)E的兩個(gè)基本結(jié)果，將E獨(dú)立重復(fù)地做n次。在第k次試驗(yàn)中，A出現(xiàn)的概率為Pk(0<pk<1)，不出現(xiàn)的概率為qk(qk二仁Pk),設(shè)gk表示k次試驗(yàn)中A首次出現(xiàn)的概率，貝Ugk=(1-P1)(1-P2)IH(1-Pk-1)Pk，(k31)，記:N S=?gn表示第1次至第N次試驗(yàn)A首次出現(xiàn)的概率和NT=?(1-Pn)表示N次試驗(yàn)中A沒有發(fā)生一次則根據(jù)事件所有發(fā)生的可能性概率之和為 1,有S+T=1成立￥那么？gn=1?T=0.n=1

Pk=k+12k+1?gPk=k+12k+1?gn■n+12n+1n+1\!?￥?■n=1￥驏(1-Pn)=?=桫-￥?■n=1￥驏(1-Pn)=?=桫-2n+1昆n+1n=1￥n?=0n=i2n+1所以那么n+1)!￥?n=1(2n+1)!?_(n^v1n=12n+1\!得證構(gòu)造二項(xiàng)分布概率模型求證:(n-22求證:(n-221)(p+q)+p+q?2npq,其中0￡p￡1,0￡q￡1分析 從已知條件0￡p￡1,0￡q￡1,我們可以想到把p、q看成兩個(gè)隨機(jī)事件所發(fā)生的概率，因此可以構(gòu)造一個(gè)二項(xiàng)分布概率模型，即：xLb(n,p)和hLB(n,q)根據(jù)離散型隨機(jī)變量及其分布率，得：Ex二np,D(X)二E(X2)-E2(X)=np(1-p),Ex2=n(n-1)p2+np,(*1)Eh=nq,D(X)=E(X2)-E2(X)=nq(1-q) ,Eh2=n(n-1)q2+nq,(*2)因E(x-h)2?0,所以 Ex2+Eh2?2ExEh.將(*1)、(*2)對(duì)應(yīng)等式代入上不等式,(n-1)(n-1)(p2+q2)+p+q?2npq即得證。利用函數(shù)凹凸性與隨機(jī)變量數(shù)字特征的關(guān)系證明不等式在證明給定的某些不等式時(shí)，抓住不等式本身的特點(diǎn)，有時(shí)也需要對(duì)不等式進(jìn)行簡要的變換，在利用函數(shù)的凹凸性，再結(jié)合概率中數(shù)學(xué)期望、方差等數(shù)字特征，合適的構(gòu)間一個(gè)概率分布函數(shù)或概率密度函數(shù)，往往能使解題過程變得非常簡捷，使問題簡化，比用代數(shù)方法簡便。下面簡舉幾例來說明函數(shù)凹凸性與隨機(jī)變量數(shù)字特征的關(guān)系來證明不等式。3.1 構(gòu)造連續(xù)型隨機(jī)變量題證明琪bf(題證明琪bf(x)p(x)dx￡§gH(x)p(x)dxg琪一b -琪QP(x)dx其中f(x)，p(x)均在[a,b]g(x)為(a,b)上的凸函數(shù)。bQP(x)dx上可積，且a#f(x)b，p(x)>0，分析從題意中，可構(gòu)造一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量x的分布密度:J^a權(quán)b,(X)={Qp(X)={0,其他(x)，又因?yàn)檩e(h)=fprbEh=Qfb(x)p(x)dxQp(x)dxg(x)在[a,b]上的凸函數(shù)所以由詹森不等式g(Eh)￡E輊(h)即可得b￡Qg臌(X)p(x)dxQP(x)dxb' " 'QP(x)dx不等式成立。3.2構(gòu)造離散型隨機(jī)變量a,+a2+lll+an題證明：(珅2川外)^^￡a：a；2川a：n，其中a1^l,an均為正數(shù)。分析 從題意中，可以構(gòu)造一個(gè)離散隨機(jī)變量的分布密度。1設(shè)離散隨機(jī)變量x的分布密度為：P(x=ak)=— (k=1,2」|l,n)n其中?P(x=ak)=1.1n則該隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 Ex=丄？編,nk=i構(gòu)造一個(gè)函數(shù)g(x)=lnx，是(a,b)上的凹函數(shù),由詹森不等式 E輊(x)￡g(Ex),TOC\o"1-5"\h\z1n 1門從而 ―？lnak￡ln—?ak,nk=i nk=in 1n即卩： ...a1a2H)an￡?ak (*1)nk=1再構(gòu)造f(x)=xlnx,是(a,b)上的凸函數(shù),由詹森不等式 E臌f(x)3f(Ex),可得：4n 4nn>lnnk=11nak￡-?aklnaknk=1驏n冃. ?ak竊n -k即：SI k=1ak￡a1a1a；2川a：n(*2)桫nk=1由上述式(*1)和式(*2)可得，原不等式成立。不等式與概率之間的聯(lián)系小結(jié):從前面所舉的幾例中，我們可以看到不等式與概率之間的緊密，正如數(shù)學(xué)家