三角形全等的綜合題

三角形全等的綜合題蔡店中學(xué)劉福興編輯如圖，NMFEDCBA12，∠B＝∠CAE=AF，給出下列結(jié)論：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN；其中正確的結(jié)論是_____________________.(把正確結(jié)論的序號都填上)△AFN≌△AEM？①②③證明簡單的幾何不等式2、如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，DE、DF分別為∠ADB、∠ADC的平分線，連結(jié)EF.求證：EF<BE+CF分析：由所證不等式容易聯(lián)想到三角形中兩邊之和大于第三邊，但由于BE、EF并不在同一個三角形中，故考慮設(shè)法轉(zhuǎn)化到同一個三角形中去，利用證明全等，可以實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。

DABCEF

在△BDG與△GDE中，

DG=DB,∠1=∠2ED=ED(公共邊）

所以

△BDE≌△DEG(SAS)所以BE=EG（全等三角形對應(yīng)邊相等）證明：在AD上截取DG=DB,連結(jié)EG、GFG同理可證GF=CF因為在△GEF中，EF<GE+GF,所以EF<BE+CFDABCEF證明線段和的問題分析：在AB上截取AE＝AC，構(gòu)造全等三角形，△AED≌△ACD，得DE＝DC，只要證DE＝BE問題便可以解決．3、（呼和浩特市）如圖，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求證：AB＝AC＋CD．

ABDC12證明：在AB上截取AE＝AC，連結(jié)DE．

因為

AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，所以△AED≌△ACD

(SAS)所以

DE＝DC，∠AED＝∠C．

所以

EB＝ED，即ED＝DC，

所以

AB＝AC＋DC．（全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等）因為∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B，所以

2∠B＝∠B＋∠EDB．即∠B＝∠EDB．

證明一條線段等于另外兩條線段之和的常用方法有兩種，一種是截長法（即在長線段上截取一段等于兩條短線段的一條，再證余下的部分等于另一條短線段）；如作AE＝AC是利用了角平分線是角的對稱軸的特性，構(gòu)造全等三角形，另一種方法是補短法（即延長一條短線段等于長線段，再證明延長的部分與另一條短線段相等），其目的是把證明線段的和差轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問題，實際上仍是構(gòu)造全等三角形，這種轉(zhuǎn)化圖形的能力是中考命題的重點考查的內(nèi)容．剖析：證明線段垂直或平行4、已知：如圖，AB＝AE，

B＝

E，BC＝DE，F(xiàn)是CD的中點．求證：AF⊥CD．

所以AC＝AD，又F是CD的中點，CF＝DF，AF＝AF，所以

ACF≌

ADF（SSS）．所以

ABC≌

AED（SAS）ABCDEF證明：連結(jié)AC、AD在

ABC和AED中所以

AFC＝

AFD．

AFC＝90°（平角的一半）．即AF⊥CD（垂直定義）．

添輔助線是證幾何題中常用的手法，此題通過連結(jié)兩點得線段，構(gòu)造出與這兩條線段有關(guān)的兩個三角形，使已知條件和所需證明的“結(jié)論”（或“需知”）都與這兩個三角形有聯(lián)系，從而使問題順利解決．說明：5、

已知：如圖，A、B、C、D在同一條直線上，BE∥FC,BE=FC,AB=DC.

求證：AF∥ED分析：要證明AF∥ED，須證明

A＝

D，要證明

A與

D相等，只需證明

AFC和

DEB全等即可

ABCDFE證明：因為BE∥FC，所以

1＝

2，ABCDFE12因為AB=DC所以AB+BC=DC+BC,即AC=DB在

AFC和

DEB中，AC=DB

1＝

2BE=CF所以

AFC≌

DEB(SAS)所以

A＝

D

（全等三角形對應(yīng)角相等）所以AF∥ED

（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

6、（荊門市）如圖，已知AD是△ABC的中線，BE交AC于點E，交AD于點F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．分析

要求證的兩條線段AC、BF不在兩個能夠全等的三角形中，因此證AC＝BF困難，考慮能否通過輔助線把AC，BF轉(zhuǎn)化到一個三角形？由已知AD是中線，在三角形中有中線問題常采用中線加倍的輔助，延長AD到H，使DH＝AD．連結(jié)BH，通過三角形全等和等線段代換即可證出．ABCDEF證明：延長AD到H，使DH＝AD，連結(jié)BH，因為AD是△ABC的中線，

所以BD＝DC，

又因為∠BDH＝∠CDA，DH＝AD，

所以△BDH≌△CDA．（SAS)所以BH＝CA，∠H＝∠DAC，又AE＝EF，所以∠AFE＝∠BFD，又AFE＝∠BFD，

所以∠H＝∠BFD．

所以BH＝BF．所以BF＝AC

剖析

在解平面幾何題時，常需要添加輔助線，畫輔助線的作法千變?nèi)f化，比較靈活，但也有一些規(guī)律．比如在三角形中，有中線常采用“倍長中線”的輔助線，構(gòu)造出全等三角形，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)實現(xiàn)相等線段的代換，從而達到證題的目的．又例如證明線段的和、差、倍