線性代數(shù) 特征值與特征向量

第六章特征值與特征向量向量的內(nèi)積方陣的特征值與特征向量實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣相似矩陣

向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積與長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)正交基施密特正交化方法兩向量的夾角正交矩陣與正交變換一、向量的內(nèi)積與長(zhǎng)度定義1設(shè)有n維向量記則[x,y]稱為向量x與y的內(nèi)積注意（1）按矩陣乘法有：（2）內(nèi)積就是幾何向量的數(shù)量積之推廣。內(nèi)積具有下列運(yùn)算性質(zhì)：設(shè)x,y,z為n維向量，為實(shí)數(shù)，則有：（對(duì)稱性）（線性性）（正定性）定義2為n維向量x的長(zhǎng)度記則稱稱x為單位向量。特別地，設(shè)有n維向量（或模，或范數(shù)）例如4維向量的長(zhǎng)度為：為單位向量而向量向量的長(zhǎng)度有下述性質(zhì)：1）非負(fù)性：3）三角不等式：2）齊次性：另外，由向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及其性質(zhì)不難證明下述施瓦茨不等式：式中的等號(hào)僅當(dāng)向量線性相關(guān)時(shí)才成立。定義3則稱θ為n維向量x與y的夾角。由上述施瓦茨不等式易得：于是有下面的定義：二、兩向量的夾角記例1已知4維向量求：向量的夾角。解故所求向量的夾角為：三、標(biāo)準(zhǔn)正交基定義4稱向量x與y正交。顯然，零向量與任何向量正交。定義5一組兩兩正交的非零向量，叫正交向量組。如上述例1中的向量就正交。線性無關(guān)。

定理1如果n維向量為正交向量組，左乘上式兩端，得類似可證證明線性無關(guān)。于是若向量空間V的一組基中向量?jī)蓛烧?，定義6則稱這組基為向量空間V的正交基。特別地，由單位向量組成的正交基叫做標(biāo)準(zhǔn)正交基（或規(guī)范正交基）例如是空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基。一般地，向量空間的一個(gè)基不一定是規(guī)范正交基。由向量空間V的一個(gè)基，求其一個(gè)規(guī)范正交基，就是要找一組兩兩正交的單位向量上述問題稱為把這個(gè)基規(guī)范正交化。具體操作方法如下：如此歸納下去有：把基化成標(biāo)準(zhǔn)正交基的具體步驟：四、施密特正交化方法先正交化：再標(biāo)準(zhǔn)化（單位化）：是向量空間V的標(biāo)準(zhǔn)正交基。例2試把下列向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。解令單位化得：解再把它們單位化，取五、正交矩陣與正交變換若n階方陣A是滿足則稱A是正交矩陣。定義7故有：方陣A為正交矩陣的充要條件是A的列向量組構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)正交向量組則上述結(jié)論對(duì)A的行向量組也成立。例如矩陣P是正交矩陣稱為正交變換。若P是正交矩陣，則線性變換y=Px定義8內(nèi)積向量的長(zhǎng)度小結(jié)[x,y]=向量正交兩向量的夾角施密特正交化方法證明對(duì)稱矩陣A為正交矩陣的充要條件是證明先證必要性可知：再證充分性可知：故A為正交矩陣。練習(xí)思考題正交變換有何特性？保持向量的長(zhǎng)度不變。特征值與特征向量的概念

特征值與特征向量的性質(zhì)特征值與特征向量的求法第二節(jié)方陣的特征值與特征向量設(shè)A是n階方陣，如果數(shù)

和n維非零列向量x使關(guān)系式成立則稱數(shù)為方陣A的特征值。的特征向量。一、方陣的特征值與特征向量定義6.1特征向量非零。注意：x稱為方陣A的對(duì)應(yīng)于特征值非零列向量如對(duì)及則數(shù)是方陣A特征值,是方陣A的對(duì)應(yīng)于特征值2的特征向量有這是n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次線性方程組，即(3)二、特征方程與特征根它有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式此式也可改寫成因?yàn)轱@然，A的特征值就是其特征方程的根,也稱特征根。特征方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解，其個(gè)數(shù)為方程的次數(shù)（重根按重?cái)?shù)計(jì)算），因此，n階方陣A有n個(gè)特征值。注意：三、特征向量的性質(zhì)求方陣A的特征值和特征向量的步驟：

（1）求出特征方程的所有解，它們就是A的全部特征值（2）分別把A的每個(gè)特征值代入方程組得到分別求出它們的基礎(chǔ)解系：則所有向量的非零線性組合就是A的屬于的全部特征向量例4求A=的特征值與特征向量解（1）求特征值由則A的特征值和（2）求特征向量對(duì)于即：也即所以對(duì)應(yīng)的特征向量可取為：因此屬于特征值3的全部特征向量為對(duì)于即也即所以對(duì)應(yīng)的特征向量可取為：其中k取遍所有非零數(shù).因此屬于的全部特征向量是例5求A的特征向量

解求特征值求特征向量對(duì)于,A的特征值（二重）和即：由于系數(shù)矩陣的秩為2，故基礎(chǔ)解系只有一個(gè)因此屬于的全部特征向量是非零解，解得對(duì)于

同上方法解得

其中k取遍所有非零數(shù)因此屬于的全部特征向量是例6求

的特征值和特征向量

解求特征值

所以A的特征值為（二重）求特征向量將代入得解得基礎(chǔ)解系：再將代入得因此，屬于的全部特征向量就是取遍所有非零數(shù)。其中解得基礎(chǔ)解系：(k取遍所有非零數(shù))因此，屬于的全部特征向量就是定理2屬于不同特征值的特征向量一定線性無關(guān)。證設(shè)矩陣A的特征值為依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，下面證明它們各不相同,線性無關(guān)設(shè)有常數(shù)

使四、有關(guān)特征值的結(jié)論則

即

類推之：（k=0,1,2,…,m-1）有把上列各式合寫成矩陣形式，得上式左端第二個(gè)矩陣的行列式為范德蒙行列式，各不相等時(shí)，該行列式不等于0，從而該矩陣可逆。于是有所以向量組即（j=1,2,…,m）但故線性無關(guān)。是方陣A的特征值，故有向量于是：的特征值。則為方陣A的特征值，

的特征值。例7設(shè)類似：若是A的特征值，的特征值；則的特征值；其中小結(jié)解得特征值解得對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量相關(guān)結(jié)論：特征值與特征向量的求法１.屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的．２.屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量．３.矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一；一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值．練習(xí)

證明：若是矩陣A的特征值，是A的屬于

的特征向量，則思考題相似矩陣的定義相似矩陣的性質(zhì)利用相似變換將方陣對(duì)角化第三節(jié)相似矩陣稱為對(duì)A進(jìn)行相似變換

設(shè)A,B都是n階方陣,若有可逆矩陣P,使則稱B是A的相似矩陣,或說矩陣A與B相似其中可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣。對(duì)A進(jìn)行運(yùn)算一、相似矩陣的概念定義6.2（1）自身性A~A（其中k是正整數(shù)）（5）若A~B，（2）對(duì)稱性若A~B，則B~A（3）傳遞性若A~B，B~C，則A~C相似是關(guān)于A的多項(xiàng)式二、相似矩陣的性質(zhì)k個(gè)特別地，若有可逆矩陣P,使為對(duì)角矩陣，即則，而對(duì)于矩陣有利用上述結(jié)論可以很方便計(jì)算矩陣A的多項(xiàng)式若n階矩陣A與B相似，則A與B有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值。證明:因A與B相似，所以有可逆矩陣P,使

故定理6.2推論若n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似是A的n個(gè)特征值。

又特征值就是特征方程的根,從而有相同的特征值.對(duì)一個(gè)n階方陣A，是否存在相似變換問題：矩陣P,使三、相似變換矩陣的求法若存在，如何找出這個(gè)矩陣？

討論：把P用其列向量表示為也即反之,如果n階方陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則P可逆，且滿足那么令注意因?yàn)樘卣飨蛄坎晃ㄒ?，所以上述矩陣P也是不唯一的。并且由上面的討論即有：n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似(即A能對(duì)角化)的充分必要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。定理6.3

如果n階矩陣A的n個(gè)特征根互不相同,則A與對(duì)角矩陣相似。

推論

如果的特征方程有重根，此時(shí)不一定有

個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣不一定能對(duì)角化，但如果能找到個(gè)線性無關(guān)的特征向量，

還是能對(duì)角化．例8判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？解(1)得因?yàn)锳有三個(gè)不同的特征值，所以由推論知A可對(duì)角化。解之得基礎(chǔ)解系故不能化為對(duì)角矩陣.解(2)解(3)解之得基礎(chǔ)解系求得基礎(chǔ)解系例9

設(shè)

判斷A是否可以對(duì)角化，若可以對(duì)角化，

為對(duì)角陣，并求求出