現(xiàn)代控制理論-大作業(yè)-倒立擺

摘要倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的、高度非線性的、不穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代控制理論最合適的實(shí)驗(yàn)裝置。倒立擺的控制是控制理論應(yīng)用的一個(gè)典型范例，一個(gè)穩(wěn)定的倒立擺系統(tǒng)對(duì)于證實(shí)狀態(tài)空間理論的實(shí)用性是非常有用的。本文主要研究的是二級(jí)倒立擺的極點(diǎn)配置方法，首先用Lagrange方程建立了二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型，然后對(duì)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析和研究，并給出了系統(tǒng)能控能觀性的判別?；诂F(xiàn)代控制理論中的極點(diǎn)配置理論，根據(jù)超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間來(lái)配置極點(diǎn)，求出反饋矩陣并利用Simulink對(duì)其進(jìn)行仿真，得到二級(jí)倒立擺的變化曲線，實(shí)現(xiàn)了對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。關(guān)鍵詞：二級(jí)倒立擺；極點(diǎn)配置；Simulink

目錄1.緒論 圖2.1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和工作原理圖2.3拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程拉格朗日提出了用能量的方法推導(dǎo)物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，首先我們引入廣義坐標(biāo)，拉格朗日方程。廣義坐標(biāo)：系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)是描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)必需的一組獨(dú)立坐標(biāo)，廣義坐標(biāo)數(shù)等同于系統(tǒng)自由度數(shù)。如果系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)用n維廣義坐標(biāo)q1,q2,…qn來(lái)表示，我們可以把這n維廣義坐標(biāo)看成是n維空間的n位坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。對(duì)于任一系統(tǒng)可由n維空間中的一點(diǎn)來(lái)表征。系統(tǒng)在n維空間中運(yùn)動(dòng)形成的若干系統(tǒng)點(diǎn)連成一條曲線，此曲線表示系統(tǒng)點(diǎn)的軌跡。拉格朗日方程： Lq,q式中， —— 拉格朗日算子， —— 系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)， —— 系統(tǒng)的動(dòng)能， —— 系統(tǒng)的勢(shì)能。拉格朗日方程由廣義坐標(biāo)和表示為:d(2.2)式中，，——系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的外力，在本系統(tǒng)中，設(shè)系統(tǒng)的三個(gè)廣義坐標(biāo)分別是。2.4推導(dǎo)建立數(shù)學(xué)模型在推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型之前，我們需要幾點(diǎn)必要的假設(shè)：1.上擺、下擺及小車(chē)均是剛體；2.皮帶輪與傳動(dòng)帶之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)；傳動(dòng)皮帶無(wú)伸長(zhǎng)現(xiàn)象；3.小車(chē)運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的摩擦力正比于小車(chē)的速度；4.小車(chē)的驅(qū)動(dòng)力與直流放大器的輸入成正比，且無(wú)滯后，忽略電機(jī)電樞繞組中的電感；5.下擺轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所受到的摩擦力矩正比于下擺的轉(zhuǎn)動(dòng)速度；6.上擺運(yùn)動(dòng)時(shí)所受到的摩擦力矩正比于上擺對(duì)下擺的相對(duì)角速度；二級(jí)倒立擺的運(yùn)動(dòng)分析示意圖如圖2.2yyxxFm1m3θmM圖2.2二級(jí)倒立擺運(yùn)動(dòng)分析示意圖倒立擺系統(tǒng)參數(shù)如下：小車(chē)系統(tǒng)的等效質(zhì)量M=1.32Kg擺桿1質(zhì)量=0.04Kg 擺桿1轉(zhuǎn)動(dòng)中心到桿質(zhì)心距離=0.09m擺桿2質(zhì)量m2=0.132Kg 擺桿2轉(zhuǎn)動(dòng)中心到桿質(zhì)心距離l2=0.27m質(zhì)量塊質(zhì)量=0.208Kg 作用在系統(tǒng)上的外力F擺桿1與垂直向上方向的夾角 擺桿2與垂直向上方向的夾角首先，計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能： (2.3)小車(chē)動(dòng)能： TM=12M擺桿1動(dòng)能： (2.5)式中，Tm1'Tm1''-- (2.6) (2.7)則 (2.8)擺桿2動(dòng)能： (2.9)式中，Tm2'Tm2''-- (2.10) (2.11) (2.12)質(zhì)量塊動(dòng)能： (2.13)因此，可以得到系統(tǒng)總動(dòng)能： (2.14)系統(tǒng)的勢(shì)能為： (2.15)至此得到拉格朗日算子： (2.16)由于因?yàn)樵趶V義坐標(biāo)上均無(wú)外力作用，有以下等式成立： (2.17) (2.18)展開(kāi)(2.17)、(2.18)式，分別得到(2.19)、(2.20)式 (2.19) (2.20)將(2.19)、(2.20)式對(duì)求解代數(shù)方程，得到以下兩式 (2.21) (2.22)表示成以下形式： (2.23) (2.24)取平衡位置時(shí)各變量的初值為零， (2.25)將(2.23)式在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并線性化，令 (2.26) (2.27) (2.28) (2.29) (2.30) (2.31) (2.32)得到線性化之后的公式 (2.33)將在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并線性化，令 (2.34) (2.35) (2.36) (2.37) (2.38) (2.39) (2.40)得到 (2.41)即: (2.42) (2.43)現(xiàn)在得到了兩個(gè)線性微分方程，由于我們采用加速度作為輸入，因此還需加上一個(gè)方程: (2.44)取狀態(tài)變量如下： (2.45)則狀態(tài)空間方程如下： (2.46)將以下參數(shù)代入求出各個(gè)值：得到狀態(tài)方程各個(gè)參數(shù)矩陣：3二級(jí)倒立擺系統(tǒng)性能分析3.1穩(wěn)定性分析二級(jí)倒立擺的特征方程為:(3.1)Matlab中，用函數(shù)eig(A)來(lái)計(jì)算系統(tǒng)矩陣的特征值，經(jīng)過(guò)計(jì)算，系統(tǒng)的特征值為：(3.2)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)位于平面右半平面上，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。同時(shí)，根據(jù)前面的狀態(tài)空間表達(dá)式，在matlab中，用step(A,B,C,D)函數(shù)對(duì)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)進(jìn)行分析：圖1開(kāi)環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)從上圖可以看出，在階躍響應(yīng)的作用下，系統(tǒng)是發(fā)散的。3.2能控性能觀性分析 對(duì)于線形狀態(tài)方程 (3.3)其能控性矩陣為： (3.4)求的秩 (3.5)所以系統(tǒng)是完全能控的。其能觀性矩陣為：C0=[C,CA,CA求的秩 (3.7)所以系統(tǒng)是完全能觀的。（代碼見(jiàn)附錄）由上述計(jì)算結(jié)果可知，二級(jí)倒立擺系統(tǒng)是開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，但它的狀態(tài)是完全能控且完全能觀測(cè)的。因此，可以對(duì)其實(shí)現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制。4狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置4.1二級(jí)倒立擺的最優(yōu)極點(diǎn)配置1在式3.3中，A為6*6陣；B為6*1陣；C為3*6陣。是一個(gè)單輸入系統(tǒng)，且完全能控、能觀測(cè)。因此，可按照最優(yōu)控制系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。對(duì)于一般控制系統(tǒng)，閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的選取應(yīng)使0.4≤ε≤0.8。但二級(jí)倒立擺是一個(gè)特殊的高階系統(tǒng)，穩(wěn)定性是主要矛盾，因此可適當(dāng)增加ε，即適當(dāng)降低響應(yīng)速度，來(lái)彌補(bǔ)系統(tǒng)穩(wěn)定性要求。相應(yīng)在選擇性能指標(biāo)時(shí)，應(yīng)適當(dāng)減小系統(tǒng)的超調(diào)量。對(duì)于二階倒立擺系統(tǒng)，主要針對(duì)如下兩個(gè)主要的性能指標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)：超調(diào)量：σ≤0.005調(diào)節(jié)時(shí)間：tσ=e-ε1-ε2π ts=4-ln1-ε2εωn 這里，誤差范圍取為2%,將上述性能指標(biāo)代入式4.1和式4.2得到二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的2個(gè)性能指標(biāo)滿足ε≥0.826，ωn≥2.17，取ε=0.826將得到的阻尼比與自然角頻率代入下式：s1,s2=-ωn得到二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的2個(gè)主導(dǎo)極點(diǎn)為：s1=-1.87+1.11j,s2=-1.87-1.11j 對(duì)于其他四個(gè)非主導(dǎo)極點(diǎn)，不妨設(shè)為四重極點(diǎn)，且距主導(dǎo)極點(diǎn)10倍以上，即滿足下式：s3=s4=所以，另外四個(gè)非主導(dǎo)極點(diǎn)取為：s到此，二級(jí)倒立擺的6個(gè)極點(diǎn)都已確定。P=[-1.87+1.11j-1.87-1.11j-22-22-22-22] （4.6）在matlab中輸入K=acker(A,B,P)可求得:K=1.0e+03*0.52810.4618-2.63790.5136-0.0797-0.4476至此，完成了二級(jí)倒立擺控制器的設(shè)計(jì)。接下來(lái)在matlab中仿真得到：圖2極點(diǎn)配置后單位階躍響應(yīng)14.2二級(jí)倒立擺最優(yōu)極點(diǎn)配置2在上述基礎(chǔ)上，繼續(xù)調(diào)整超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間，使二級(jí)倒立擺達(dá)到穩(wěn)定。第二次?。撼{(diào)量：σ≤0.05調(diào)節(jié)時(shí)間：t這里，誤差范圍仍取為2%,代入式4.1和式4.2得到二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的2個(gè)性能指標(biāo)滿足ε≥0.69，ωn≥2.51，取ε=0.69將得到的阻尼比與自然角頻率式4.3得到第二組主導(dǎo)極點(diǎn)：s1=-1.73+1.81j,s2=-1.73-1.81j 對(duì)于其他四個(gè)非主導(dǎo)極點(diǎn)，不妨設(shè)為四重極點(diǎn)，且距主導(dǎo)極點(diǎn)10倍以上，即滿足下式：s3=s4=所以，另外四個(gè)非主導(dǎo)極點(diǎn)取為：s因此，第二組極點(diǎn)P2=[-1.73+1.81j-1.73-1.81j-30-30-30-30]在matlab中輸入K2=acker(A,B,P2)可求得:K2=1.0e+03*2.42050.5209-7.49771.6587-0.2846-1.2008接下來(lái)繪制極點(diǎn)配置后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖：圖3極點(diǎn)配置后單位階躍響應(yīng)25.二級(jí)倒立擺matlab仿真5.1Simulink搭建開(kāi)環(huán)系統(tǒng)圖4開(kāi)環(huán)系統(tǒng)仿真圖5.2開(kāi)環(huán)系統(tǒng)Simulink仿真結(jié)果圖5開(kāi)環(huán)系統(tǒng)matlab仿真結(jié)果圖由上圖可知，在Simulink中搭建的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是發(fā)散的，與理論計(jì)算的結(jié)果吻合。5.3Simulink搭建極點(diǎn)配置后的閉環(huán)系統(tǒng)圖6極點(diǎn)配置優(yōu)化后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖5.4極點(diǎn)配置Simulink仿真結(jié)果5.4.1第一組極點(diǎn)配置仿真結(jié)果圖7極點(diǎn)配置優(yōu)化后的結(jié)果圖圖8小車(chē)位移曲線圖9一級(jí)倒立擺角度曲線圖10二級(jí)倒立擺角度曲線從以上的圖片可以看出，系統(tǒng)在給定輸入的情況下，1秒左右恢復(fù)到平衡點(diǎn)的位置附近，系統(tǒng)較好的快速性、穩(wěn)定性和精確性都非常理想，且無(wú)超調(diào)量，符合要求。5.4.2第二組極點(diǎn)配置仿真結(jié)果圖11極點(diǎn)配置優(yōu)化后的結(jié)果圖圖12小車(chē)位移曲線圖13一級(jí)倒立擺角度曲線圖14二級(jí)倒立擺角度曲線與第一組極點(diǎn)相比，超調(diào)量略有增加，但調(diào)整時(shí)間有所下降，且都達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)符合要求。6.結(jié)論倒立擺系統(tǒng)就其本身而言，是一個(gè)多變量、快速、嚴(yán)重非線性和絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)，必需采用有效的控制法使之穩(wěn)定，對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究在理論上和方法論上均有著深遠(yuǎn)的意義。本文借助拉格朗日方程，建立了二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)線性化，得到了二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。應(yīng)用現(xiàn)代控制理論，分析了倒立擺的穩(wěn)定性、能控性、能觀性。隨后采用二次型最優(yōu)控制理論研究了倒立擺控制問(wèn)題,并且運(yùn)用狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置的方法得到較好的控制效果。最后進(jìn)行了Matlab仿真，通過(guò)優(yōu)化前后優(yōu)化后的響應(yīng)曲線可以看出經(jīng)過(guò)極點(diǎn)配置算法優(yōu)化后的系統(tǒng)響應(yīng)的速度加快，超調(diào)量明顯減少，穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間有所減少，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和靜態(tài)性能要比沒(méi)有優(yōu)化的控制效果好了很多。7.參考文獻(xiàn)[1]劉豹唐萬(wàn)生現(xiàn)代控制理論（第三版）機(jī)械工業(yè)出版社[2]夏德鈐翁貽方自動(dòng)控制理論（第4版）機(jī)械工業(yè)出版社[3]李國(guó)勇程永強(qiáng)計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)與CAD—基于matlab的控制系統(tǒng)（第三版）電子工業(yè)出版社[4]基于LQR的二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)研究[本科畢業(yè)論文][5]湯唯基于直線二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)的研究[碩士學(xué)位論文][6]基于極點(diǎn)配置的倒立擺控制器設(shè)計(jì)[碩士學(xué)位論文]

附錄一%階躍響應(yīng)下系統(tǒng)的穩(wěn)定性A=[000100;000010;000001;000000;077.0642-21.1927000;0-38.532137.8186000];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[100000;010000;001000];D=[0;0;0];step(A,B,C,D) %繪制階躍響應(yīng)%能控能觀性判斷A=[000100;000010;000001;000000;077.0642-21.1927000;0-38.532137.8186000];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[100000;010000;001000];D=[0;0;0];Uc=ctrb(A,B)%求能控矩陣rank(Uc)%求能控陣的秩Vo=obsv(A,C)%求能觀矩陣rank(Vo)%求能觀矩陣的秩%極點(diǎn)配置1A=[000100;000010;000001;000000;077.0642-21.1927000;0-38.532137.8186000];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[100000;010000;001000];P=[-1.87+1.11i-1.87-1.11i-22-22-22-22]; %K=acker(A,B,P); %就反饋矩陣A1=A1=A-B*K;step(A1,B,C,D)%極點(diǎn)配置2A=[0001