專題復(fù)習(xí)勾股定理（備課件）八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)系列（人教版）

專題復(fù)習(xí)

勾股定理第十七章勾股定理導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)

八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)（人教版）

教學(xué)課件要點(diǎn)梳理1.如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2

+b2=c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.在直角三角形中才可以運(yùn)用2.勾股定理的應(yīng)用條件一、勾股定理3.勾股定理表達(dá)式的常見變形：

a2＝c2－b2,b2＝c2－a2，ABCcab二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2

，那么這個(gè)三角形是直角三角形.滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).2.勾股數(shù)3.原命題與逆命題如果兩個(gè)命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，那么把其中一個(gè)叫做原命題，另一個(gè)叫做它的逆命題.ABCcab例1在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15.（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求BD的長(zhǎng)．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，（2）方法一：∵S△ABC=AC?BC=AB?CD，∴20×15=25CD，∴CD=12．∴在Rt△BCD中，考點(diǎn)一勾股定理及其應(yīng)用考點(diǎn)講練方法二：設(shè)BD=x,則AD=25-x.解得x=9.∴BD=9.方法總結(jié)對(duì)于本題類似的模型，若已知兩直角邊求斜邊上的高常需結(jié)合面積的兩種表示方法來考查，若是同本題(2)中兩直角三角形共一邊的情況，還可利用勾股定理列方程求解.針對(duì)訓(xùn)練1.Rt△ABC中，斜邊BC=2，則AB2+AC2+BC2的值為（）A.8B.4C.6D.無法計(jì)算A3.一直角三角形的三邊分別為2、3、x，那么以x為邊長(zhǎng)的正方形的面積為___________.2.如圖，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，則AD的長(zhǎng)為______．13或5134．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，求△ABC的面積.解：∵a+b=14，∴(a+b)2=196.又∵a2+b2=c2=100，∴2ab=196-(a2+b2)=96，∴ab=24，即△ABC的面積為24．例2

我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個(gè)問題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請(qǐng)問這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少？解：如圖，設(shè)水池的水深A(yù)C為x尺，則這根蘆葦長(zhǎng)AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺，由勾股定理得BC2+AC2=AB2,即52+x2=(x+1)225+x2=x2+2x+1，2x=24，∴x=12，x+1=13.答：水池的水深12尺，這根蘆葦長(zhǎng)13尺.DBCA例3如圖所示，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)C1處，問怎樣走路線最短？最短路線長(zhǎng)為多少？解析：螞蟻由A點(diǎn)沿長(zhǎng)方體的表面爬行到C1點(diǎn)，有三種方式：①沿ABB1A1和A1

B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三種方式分別展成平面圖形，如下：解：

在Rt△ABC1中，

在Rt△ACC1中，

在Rt△AB1C1中，∴沿路徑走路徑最短，最短路徑長(zhǎng)為5.化折為直：長(zhǎng)方體中求兩點(diǎn)之間的最短距離，展開方法有多種，一般沿最長(zhǎng)棱展開，距離最短.方法總結(jié)針對(duì)訓(xùn)練5.現(xiàn)有一長(zhǎng)5米的梯子架靠在建筑物的墻上，它們的底部在地面的水平距離是3米，則梯子可以到達(dá)建筑物的高度是______米．4在Rt△ABO中，OA＝2米，DC＝OB＝1.4米，∴AB2＝22－1.42＝2.04.∵4－2.6＝1.4，1.42＝1.96，2.04＞1.96，答：卡車可以通過，但要小心．解：如圖，過半圓直徑的中點(diǎn)O，作直徑的垂線交下底邊于點(diǎn)D，取點(diǎn)C，使CD＝1.4米，過C作OD的平行線交半圓直徑于B點(diǎn)，交半圓于A點(diǎn).6.如圖，某住宅社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個(gè)上方是一個(gè)半圓，下方是長(zhǎng)方形的仿古通道，現(xiàn)有一輛卡車裝滿家具后，高4米，寬2.8米，請(qǐng)問這輛送家具的卡車能否通過這個(gè)通道？7.在O處的某海防哨所發(fā)現(xiàn)在它的北偏東60°方向相距1000米的A處有一艘快艇正在向正南方向航行，經(jīng)過若干小時(shí)后快艇到達(dá)哨所東南方向的B處.（1）此時(shí)快艇航行了多少米(即AB

的長(zhǎng))？北東OAB60°45°C解：根據(jù)題意得∠AOC=30°，∠COB=45°，AO=1000米.∴AC=500米，BC=OC.在Rt△AOC中，由勾股定理得∴BC=OC=在O處的某海防哨所發(fā)現(xiàn)在它的北偏東60°方向相距1000米的A處有一艘快艇正在向正南方向航行，經(jīng)過若干小時(shí)后快艇到達(dá)哨所東南方向的B處.（2）距離哨所多少米（即OB的長(zhǎng)）？北東OAB60°45°C解：在Rt△BOC中，由勾股定理得例4

在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，，2c-b=12，求△ABC的面積．解：由題意可設(shè)a=3k，則b=4k，c=5k，∵2c-b=12，∴10k-4k=12，∴k=2，∴a=6，b=8，c=10，∵62+82=102，∴a2+b2=c2，∴△ABC為直角三角形，∴△ABC的面積為×6×8=24．考點(diǎn)二勾股定理的逆定理及其應(yīng)用例5B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60°方向以每小時(shí)8nmile的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)15nmile的速度前進(jìn)，2h后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34nmile，你知道乙船是沿哪個(gè)方向航行的嗎？解：甲船航行的距離為BM=16（nmile）,乙船航行的距離為BP=30（nmile）．∵162+302=1156，342=1156,∴BM2+BP2=MP2,∴△MBP為直角三角形，∴∠MBP=90°,∴乙船是沿著南偏東30°方向航行的．8.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的為（）A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．7，8，99.已知下列圖形中的三角形的頂點(diǎn)都在正方形的格點(diǎn)上，可以判定三角形是直角三角形的有________．針對(duì)訓(xùn)練

(2)(4)

C10.如圖，在四邊形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A與∠C的關(guān)系，并加以證明．解：猜想∠A+∠C=180°．連接AC.∵∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得

∵AD2+DC2=625=252=AC2，∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°，∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，∴∠DAB+∠BCD=180°，即∠A+∠C=180°．考點(diǎn)三勾股定理與折疊問題例6如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF，求△ABE的面積.解：∵將長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，∴ED=BE.設(shè)AE=xcm，則ED=BE=(9-x)cm，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴32+x2=(9-x)2，解得x=4.∴△ABE的面積為3×4×=6(cm2).方法總結(jié)

勾股定理可以直接解決直角三角形中已知兩邊求第三邊的問題；如果只知一邊和另兩邊的關(guān)系時(shí)，也可用勾股定理求出未知邊，這時(shí)往往要列出方程求解．針對(duì)訓(xùn)練11.如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕是DE，則CD的長(zhǎng)為

．

1.75cm考點(diǎn)四本章解題思想方法方程思想

例7如圖，在△ABC中，AB=17，BC=9，AC=10，AD⊥BC于D.試求△ABC的面積．解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB2-BD2=AD2，AC2-CD2=AD2，設(shè)DC=x，則BD=9+x，故172-(9+x)2=102-x2，解得x=6.∴AD2=AC2?CD2=64，∴AD=8.∴S△ABC=×9×8=36．解：當(dāng)高AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，如圖①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周長(zhǎng)為25＋20＋15＝60.例8

在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD為BC邊上的高，且AD＝12，求△ABC的周長(zhǎng)．分類討論思想

題中未給出圖形，作高構(gòu)造直角三角形時(shí)，易漏掉鈍角三角形的情況．如在本例題中，易只考慮高AD在△ABC內(nèi)的情形，忽視高AD在△ABC外的情形．當(dāng)高AD在△ABC外部時(shí)，如圖②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周長(zhǎng)為7＋20＋15＝42.綜上所述，△ABC的周長(zhǎng)為42或60.方法總結(jié)例9

有一圓柱體高為8cm，底面圓的半徑為2cm，如圖.在AA1上的點(diǎn)Q處有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的點(diǎn)P處有一只蒼蠅，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最短路徑長(zhǎng)(π取3).解：如圖,沿AA1剪開,過Q作QM⊥BB1于M,連接QP.則PM=8-3-2=3(cm)，QM=A1B1=×2×π×2=6(cm)，在Rt△QMP中，由勾股定理得答：蜘蛛爬行的最短路徑長(zhǎng)是cm．轉(zhuǎn)化思想

1.如圖，已知在△ABC

中，∠B

=90°，一直角邊為a，斜邊為b，則另一直角邊c滿足

.【思考】為什么不是？答案：因?yàn)椤螧

所對(duì)的邊是斜邊.答案：（一）知兩邊或一邊一角型題型一勾股定理的直接應(yīng)用考題分類

2.在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）如果a=3，b=4，則c=

；（2）如果a=6，c=10，則b=

；（3）如果c=13，b=12，則a=

；（4）已知b=3，∠A=30°，求a，c.585（一）知兩邊或一邊一角型答案:（4）a=

，c=.1.如圖，已知在△ABC中，∠B=90°，若BC＝4，AB＝x

，AC=8-x，則AB=

,AC=

.2.在Rt△ABC中,∠B=90°，b=34,a:c=8:15,則a=

,c=

.3.（選做題）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12,c-b=8,求b,c.答案：b=5，c=13.351630（二）知一邊及另兩邊關(guān)系型1.對(duì)三角形邊的分類.

已知一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)是3cm和4cm，求第三條邊的長(zhǎng)．注意：這里并沒有指明已知的兩條邊就是直角邊，所以4cm可以是直角邊，也可以是斜邊，即應(yīng)分情況討論．答案：5cm或

cm.（三）分類討論的題型2.對(duì)三角形高的分類.圖1圖2（三）分類討論的題型已知：在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，高AD＝12cm，求S△ABC．答案：第1種情況：如圖1，在Rt△ADB和Rt△ADC中，分別由勾股定理，得BD＝9，CD＝5，所以BC＝BD+CD＝9+5＝14．故S△ABC＝84cm2．第2種情況，如圖2，可得：S△ABC=24cm2．

1.在一塊平地上，張大爺家屋前9米遠(yuǎn)處有一棵大樹．在一次強(qiáng)風(fēng)中，這棵大樹從離地面6米處折斷倒下，量得倒下部分的長(zhǎng)是10米．出門在外的張大爺擔(dān)心自己的房子被倒下的大樹砸到．大樹倒下時(shí)能砸到張大爺?shù)姆孔訂幔浚ǎ〢．一定不會(huì) B．可能會(huì) C．一定會(huì) D．以上答案都不對(duì)A題型二用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題2.如圖，滑桿在機(jī)械槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，∠ACB為直角，已知滑桿AB長(zhǎng)2.5米，頂端A在AC上運(yùn)動(dòng)，量得滑桿下端B距C點(diǎn)的距離為1.5米，當(dāng)端點(diǎn)B向右移動(dòng)0.5米時(shí)，求滑桿頂端A下滑多少米？AECBD答案：解：設(shè)AE的長(zhǎng)為x

米，依題意得CE=AC-x,∵AB=DE=2.5,BC=1.5,∠C=90°，∴AC=2.∵BD=0.5,∴AC=2.∴在Rt△ECD中，CE=1.5.∴2-x=1.5，x=0.5.即AE=0.5.答：梯子下滑0.5米．答案：是．證明：在Rt△ACB中，BC=3，AB=5，AC=4．DC=4-1=3．在Rt△ECD中，DC=3，DE=5，CE=4．BE=CE-CB=1．即梯子底端也滑動(dòng)了1米．3.（選做題）一架長(zhǎng)5米的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時(shí)梯子底端距墻底3米．如果梯子的頂端沿墻下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一條直線也將滑動(dòng)1米嗎？用所學(xué)知識(shí)，論證你的結(jié)論．思考：利用勾股定理解題決實(shí)際問題時(shí)，基本步驟是什么？Zx```xk答案：1.把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，找出相應(yīng)的直角三角形.2.在直角三角形中找出直角邊，斜邊.3.根據(jù)已知和所求，利用勾股定理解決問題.1．證明線段相等.已知：如圖，AD是△ABC的高，AB=10，AD=8，BC=12.求證：△ABC是等腰三角形.答案：證明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°.∵在Rt△ADB中，AB=10，AD=8，∴BD=6.∵BC=12,∴DC=6.∵在Rt△ADC中，AD=8，∴AC=10，∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.

分析：利用勾股定理求出線段BD的長(zhǎng)，也能求出線段AC的長(zhǎng)，最后得出AB=AC，即可.題型三會(huì)用勾股定理解決較綜合的問題【思考1】由AB=8，BC=10,你可以知道哪些線段長(zhǎng)？請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出來.答案：AD=10，DC=8.2．解決折疊的問題.已知如圖，將長(zhǎng)方形的一邊BC沿CE折疊，使得點(diǎn)B落在AD邊的點(diǎn)F處，已知AB=8，BC=10,求BE的長(zhǎng).2．解決折疊的問題.已知如圖，將長(zhǎng)方形的一邊BC沿CE折疊，使得點(diǎn)B落在AD邊的點(diǎn)F處，已知AB=8，BC=10,求BE的長(zhǎng).【思考2】

在Rt△DFC中，你可以求出DF的長(zhǎng)嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出來.答案：

DF=6.2．解決折疊的問題.已知如圖，將長(zhǎng)方形的一邊BC沿CE折疊，使得點(diǎn)B落在AD邊的點(diǎn)F處，已知AB=8，BC=10,求BE的長(zhǎng).答案：AF=4.【思考3】

由DF的長(zhǎng)，你還可以求出哪條線段長(zhǎng)？請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出來.2．解決折疊的問題.已知如圖，將長(zhǎng)方形的一邊BC沿CE折疊，使得點(diǎn)B落在AD邊的點(diǎn)F處，已知AB=8，BC=10,求BE的長(zhǎng).【思考4】

設(shè)BE=x，你可以用含有x的式子表示出哪些線段長(zhǎng)？請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出來.答案：EF=x，AE=8-x，CF=10.2．解決折疊的問題.已知如圖，將長(zhǎng)方形的一邊BC沿CE折疊，使得點(diǎn)B落在AD邊的點(diǎn)F處，已知AB=8，BC=10,求BE的長(zhǎng).Z```xxk【思考5】

你在哪個(gè)直角三角形中，應(yīng)用勾股定理建立方程？你建立的方程是

.答案：直角三角形△AEF,∵∠A=90°,AE=8-x，

∴

.2．解決折疊的問題.已知如圖，將長(zhǎng)方形的一邊BC沿CE折疊，使得點(diǎn)B落在AD邊的點(diǎn)F處，已知AB=8，BC=10,求BE的長(zhǎng).【思考6】

圖中共有幾個(gè)直角三角形？每一個(gè)直角三角形的作用是什么？折疊的作用是什么？答案：四個(gè)，兩個(gè)用來折疊，將線段和角等量轉(zhuǎn)化，一個(gè)用來知二求一，最后一個(gè)建立方程.2．解決折疊的問題.已知如圖，將長(zhǎng)方形的一邊BC沿CE折疊，使得點(diǎn)B落在AD邊的點(diǎn)F處，已知AB=8，BC=10,求BE的長(zhǎng).【思考7】

請(qǐng)把你的解答過程寫下來.答案：

設(shè)BE=x，折疊，∴△BCE≌△FCE，

∴BC=FC=10.令BE=FE=x，長(zhǎng)方形ABCD，∴AB=DC=8，AD=BC=10，∠D=90°，∴DF=6,AF=4，∠A=90°,AE=8-x

，

∴，解得x=5.∴BE的長(zhǎng)為5.3.做高線，構(gòu)造直角三角形.已知：如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=2.求（1）BC的長(zhǎng)；（2）S△ABC

.

分析：由于本題中的△ABC不是直角三角形，所以添加BC邊上的高這條輔助線，就可以求得BC及S△ABC

.3.做高線，構(gòu)造直角三角形.已知：如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=2.求（1）BC

的長(zhǎng)；（2）S△ABC

.

答案：過點(diǎn)A作AD⊥BC于D,∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD中，∠ADB=90°，∠B=45°，AB=2，∴AD=BD=.∵在△ABD中，∠ADC=90°，∠C=60°，AD=，∴CD=,∴BC=，S△ABC

=思考

：在不是直角三角形中如何求線段長(zhǎng)和面積？

解一般三角形的問題常常通過作高轉(zhuǎn)化成直角三角形，利用勾股定理解決問題.思考：利用勾股定理解決綜合題的基本步驟是什么？1.畫圖與標(biāo)圖，根據(jù)題目要求添加輔助線，構(gòu)造直角三角形.2.將已知量與未知量集中到同一個(gè)直角三角形中.3.利用勾股定理列出方程.4.解方程，求線段長(zhǎng)，最后完成解題.1．下列線段不能組成直角三角形的是（）

A．a(chǎn)=8，b=15，c=17B．a(chǎn)=9，b=12，c=15C．a(chǎn)=，b=，c=D．a(chǎn)：b：c=2：3：42.如圖，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB,CD,EF,GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的是（）Ａ．CD,EF,GHＢ．AB,EF,GHＣ．AB,CD,GHＤ．AB,CD,EFCEBHDFAGDB題型四勾股定理的逆定理的應(yīng)用已知：如圖，四邊形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC.求四邊形ABCD的面積.分析：本題解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)奶砑虞o助線，利用勾股定理的逆定理判定△ADC的形狀為直角三角形，再利用勾股定理解題.答案：連接AC,∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°.∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴AC=.∵CD=2，AD=3,∴△ACD是直角三角形；∴四邊形的面積為1+.1.有四個(gè)三角形，分別滿足下列條件：①一個(gè)內(nèi)角等于另兩個(gè)內(nèi)角之和；②三個(gè)角之比為3：4：5；③三邊之比分別為7、24、25；④三邊之比分別為5：12：13其中直角三角形有（）A.1個(gè)