等式的性質與方程的解集

等式的性質與方程的解集TOC\o"13"\h\z\u題型1等式性質 2題型2恒等式 5題型3因式分解 8題型4完全平方式 12題型5化簡求值 14題型6方程的解集 17題型7含參取值范圍問題 20題型8新定義題型 22知識點一：等式的基本性質(1)等式的兩邊同時加上(減去)同一個數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立；(2)等式的兩邊同時乘以(除以)同一個不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立．整理如下：1．如果a＝b，那么b＝a.2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.4．如果a＝b，那么ac＝bc.5．如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).知識點二：恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實數(shù)時等式都成立，則稱其為恒等式，也稱等式兩邊恒等．知識點三：.“十字相乘法”對任意的x，a，b，都有（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab.可以利用這個恒等式來進行因式分解．給定式子x2＋Cx+D，如果能找到a和b，使得D=ab且C=a+b，則x2＋Cx+D=(x+a)(x+b).為了方便記憶，已知C和D，尋找滿足條件的a和b的過程，通常用右圖來表示∶其中兩條交叉的線表示對應數(shù)相乘后相加要等于C，也正因為如此，這種因式分解的方法稱為“十字相乘法”.特別提醒運用x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）進行因式分解時需滿足的條件∶①分解因式的多項式是二次三項式；②二次項系數(shù)是1，常數(shù)項可以分解為兩個數(shù)的積，且一次項系數(shù)是這兩個數(shù)的和.知識點四：方程的解集1.方程的有關概念方程方程：含有未知數(shù)的等式叫方程.方程的解（或根）：能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解.方程的解集：把一個方程所有解組成的集合稱為這個方程的解集.解方程：求方程的解的過程叫解方程.2.一元一次方程一元一次方程：方程兩邊都是整式，都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫一元一次方程.滿足的條件：①必須是整式方程；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的次數(shù)都是1.表示形式：ax+b=0（a≠0）或ax=b（a≠0）.題型1等式性質【方法總結】等式性質的延伸：①對稱性：等式左右兩邊互換，所得結果仍是等式，即如果a=b，那么b=a；②傳遞性：如果a=b，b=c，那么a=c（也叫等量代換）.【例題1】（2022秋·山東德州·高一校考階段練習）已知等式mx=my，則下列變形正確的是（

）A．my=mx B．mx+2=my+2【答案】B【分析】利用等式的性質和舉反例對每個選項進行判斷即可【詳解】解：對于A，x=y=0滿足mx=my，但my對于B，mx=my兩邊同時加上2，該等式仍然成立，故正確；對于C，當m=0，x=1,y=2，滿足mx=my，但得不到x=y，故錯誤；對于D，當mx=my<0時，無法得到mx=故選：B【變式11】1.（2022秋·全國·高一專題練習）下列運用等式的性質進行的變形中，正確的是（

）A．如果a=b，那么a+c=b-c B．如果a2=6aC．如果a=b，那么ac=bc【答案】D【分析】取c≠0，可判斷A；a2=6a?a=6或a=0，可判斷B；取【詳解】選項A，當c≠0時，顯然不成立；選項B，如果a2=6a，那么a=6或選項C，當c=0時，ac選項D，如果ac=bc，則c≠0，故故選：D【變式11】2.（2022秋·上海浦東新·高一校考階段練習）設a,b,c,d∈RA．若a=b，則a=bC．若a+bc+d=ac，則a【答案】C【分析】根據(jù)等式的性質即可判斷ABD，舉例即可判斷C.【詳解】解：對于A，若a=b，兩邊平分可得對于B，a=b,c所以ac對于C，當d=0時，bd對于D，若a2n+1=b故選：C.【變式11】3.（2021秋·高一課時練習）在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a>b）（如圖甲），將余下的部分剪接拼成一個長方形（如圖乙），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證的等式為（

）.A．(a+2b)(a-b)=a2C．(a+b)2=【答案】B【分析】圖甲中陰影部分的面積為兩正方形的面積之差,即為a2-b2，邊長分別為a+b和【詳解】圖甲中陰影部分的面積為a2-b因為兩個圖形中陰影部分的面積相等，所以a2故選：B【變式11】4.（多選）（2021秋·福建廈門·高一廈門市湖濱中學校考期中）已知a>0，b>0，a+b=1，則下列等式不可能成立的是（

）A．a(chǎn)2+b2=1 B．【答案】ABC【分析】根據(jù)題設條件，應用二次函數(shù)、不等式的性質及基本不等式判斷各選項的正誤即可.【詳解】A：由a+b=1，則(a+b)2=a2+B：由題設，a+b≥2ab得：ab≤(a+b2)2=C：由a2+b=aD：若a2-b2=(a+b)(a-b)=a-b=故選：ABC．題型2恒等式【方法總結】恒等式是進行代數(shù)變形的依據(jù)之一.平方差公式、兩數(shù)和（差）的平方公式都是恒等式.【例題2】（2023·高一課時練習）下列等式中，哪些是恒等式？（1）a+b=b+a（2）(a+b)+c=a+(b+c)（3）(x+2y)（4）x【答案】（1）（2）（4）【解析】利用實數(shù)運算律和乘法公式可得正確答案.【詳解】（1）滿足加法交換律，故（1）正確；（2）滿足加法結合律，故（2）正確；（3）(x+2y)2（4）利用平方差公式可得正確，故（4）正確.綜上所述，（1）（2）（4）是恒等式.【點睛】本題考查利用實數(shù)運算律和乘法公式，考查基本運算能力.【變式21】1.（2022秋·全國·高一專題練習）下列等式中，屬于恒等式的是（

）A．a(chǎn)2=1 B．a(chǎn)2=【答案】B【分析】等式兩邊對任意使式子有意義的a成立，依次驗證即可【詳解】選項A，只有a=±1時，等式成立，故不是恒等式，A錯；選項B，a2=a選項C，只有a=1時，等式成立，故不是恒等式，C錯；選項D，1a故選：B【變式21】2.（2021·高一單元測試）若對任意實數(shù)x，等式ax+2=3x+b恒成立，則a=，b=.【答案】32【分析】對應系數(shù)相等即可直接求出結果.【詳解】對應系數(shù)相等可得a=3b=2故答案為：3；2.【變式21】3.（2023·高一課時練習）已知等式x2-2mx-y【答案】{(1,2),(-1,-2)}.【分析】根據(jù)恒成立，將式子變形為x2-y2+3=m【詳解】由于x2則x2-y2+3=m所以x2當x=1,y=2，當x=-1,y=-2，故滿足條件的實數(shù)對(x,y)的集合為{(1,2),(-1,-2)}【變式21】4.（多選）（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學校考開學考試）若x3+a3=(x+a)(A．-9 B．9 C．-3 D．3【答案】CD【分析】利用立方和公式化簡題設中的恒等式，從而可求a的值.【詳解】因為x3故x3+a(x+a)(x2-ax+所以x2-ax+a2=故選：CD.題型3因式分解【方法總結】（1）運用x2＋（a＋b）x＋ab=（x+a）（x+b）進行因式分解時需滿足的條件：①分解因式的多項式是二次三項式；②二次項系數(shù)是1，常數(shù)項可以分解為兩個數(shù)的積，且一次項系數(shù)是這兩個數(shù)的和.（2）對于x2+Cx+D的因式分解，當常數(shù)項是正數(shù)時，可以分解成兩個同號的數(shù)的積，符號與一次項系數(shù)的符號相同；當常數(shù)項是負數(shù)時，可以分解成兩個異號的數(shù)的積，絕對值大的因數(shù)的符號與一次項系數(shù)的符號相同.【例題3】（2022秋·全國·高一專題練習）用十字相乘法分解因式：（1）x2（2）3x（3）2x（4）x4【答案】（1）x+3x+4；（2）x+33x-2；（3）x+y2x-3y【分析】由十字相乘法即得.【詳解】（1）x2+7x+12=（2）3x2+7x-6（3）2x2-xy-3（4）x4y4【變式31】1.（2023·高一課時練習）把下列各式分解因式：（1）x2（2）x2（3）x3（4）x3【答案】（1）(x+2n)(x-2n-4m)（2）(x+y-1)(x-y+5)（3）(x-7)(x-1)(x-3)（4）(x+2y)【解析】（1）直接利用分組分解法分解因式；（2）利用配方法，再借助平方差公式分解；（3）利用配湊法得原式=x（4）直接利用分組分解法分解因式．【詳解】解：（1）原式==(x+2n)(x-2n)-4m(x+2n)=(x+2n)(x-2n-4m).（2）原式===(x+y-1)(x-y+5).（3）原式===(x-7)=(x-7)(x-1)(x-3).（4）（方法一）原式==(x+2y)=(x+2y)=(x+2y)(x-2y)（方法二）原式===(x-2y)=(x+2y)(x-2y)【點睛】本題主要考查分組分解法分解因式，考查提取公因式法、十字相乘法分解因式，屬于中檔題【變式31】2.（2023·高一課時練習）閱讀材料：常用的分解因式方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項式只用上述方法就無法分解，如x2x==x-2y這種分解因式的方法叫分組分解法.利用這種方法解決下列問題：（1）分解因式x2（2）△ABC三邊a，b，c滿足a2-ab-ac+bc=0，判斷【答案】（1）x-y+5x-y-5【分析】（1）利用分組分解法和平方差公式，對代數(shù)式進行因式分解.（2）利用分組分解法和提公因式法，對代數(shù)式進行因式分解.【詳解】（1）x2（2）∵a2-ab-ab+bc=0，∴∴a=b或a=c，∴△ABC的形狀為等腰三角形.【點睛】本小題主要考查分組分解法、提公因式法因式分解，考查平方差公式，屬于基礎題.【變式31】3.（2023·高一課時練習）閱讀材料題：在因式分解中，有一類形如x2+（m+n）x+mn的多項式，其常數(shù)項是兩個因數(shù)的積，而它的一次項系數(shù)恰是這兩個因數(shù)的和，則我們可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．運用上述方法分解因式：（1）x2+6x+8；（2）x2﹣x﹣6；（3）x2﹣5xy+6y2；（4）請你結合上述的方法，對多項式x3﹣2x2﹣3x進行分解因式．【答案】（1）(x+2)(x+4)（2）(x+2)(x-3)；（3）(x-2y)(x-3y)（4）x(x-3)(x+1).【分析】根據(jù)題意觀察常數(shù)項和一次項系數(shù)的關系，看是否滿足題設條件，然后分別求解即可.【詳解】(1)x(2)x(3)x(4)xx2【變式31】4.（2023秋·全國·高一專題練習）通過計算幾何圖形的面積，可表示一些代數(shù)恒等式，如圖所示，我們可以得到恒等式：a2【答案】a+2b【分析】根據(jù)矩形的面積公式，求得總面積的表達式，進而求得恒等式a2【詳解】由面積可得a2故答案為a+2b【點睛】本小題主要考查利用幾何圖形的面積對二次三項式因式分解，屬于基礎題.題型4完全平方式【例題4】（2023秋·高一課時練習）將下列代數(shù)式化簡或展開：（1）a2-6a+9=（2）2x+12-x-1（3）t3-1=（4）t+1t2-t+1（5）a-b-c2=【答案】a-323x2+6xt-1【分析】（1）利用完全平方公式求解；（2）利用完全平方公式求解；（3）利用立方差公式求解；（4）利用立方和公式求解；（5）利用完全平方公式求解.【詳解】（1）a2-6a+9=（2）2x+12-x-1（3）t3-1=（4）t+1t2-t+1（5）a-b-c2=a2故答案為：a-32，3x2+6x，t-1【變式41】1.（2023秋·高一課時練習）若a2+（k﹣3）a+9是一個完全平方式，則k的值是．【答案】9或﹣3【分析】根據(jù)完全平方式中間項系數(shù)的特點即可求解.【詳解】∵a2+（k3）a+9是一個完全平方式，∴k3=±6，解得：k=9或3，故答案為9或3【點睛】本題主要考查了完全平方式的知識，屬于基礎題.【變式41】2.（2021秋·湖南懷化·高一?？计谥校┤魓2+1A．m2 B．14m2【答案】D【詳解】x2+1【變式41】3.（2023·高一課時練習）閱讀材料：對于多項式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解為x+a2x2+2ax-3解題過程如下：x=x=x=x+a=x+3a根據(jù)上述材料，回答問題.上述因式分解的過程，從第二步到第三步，其中用到的因式分解方法是（

）A．提公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 D．十字相乘法【答案】C【分析】根據(jù)第二步到第三步，前面三項合成完全平方公式，后面兩項為指數(shù)運算，由此確定正確選項.【詳解】由題知從第二步到第三步用到的因式分解方法是完全平方公式法.故選C.【點睛】本小題主要考查因式分解方法的識別，屬于基礎題.題型5化簡求值【方法總結】化簡的一般步驟為"一提""二套""三檢查""四檢驗"：先看是否能提取公因式；（2）再看能否套用公式；（3）再檢查因式分解是否徹底；【例題5】（多選）（2022秋·湖北十堰·高一校考期中）若正數(shù)a,b滿足a2+ab+bA．10 B．12 C．73 D．【答案】BCD【分析】將8=4【詳解】由a2即8-a因為a,b>0，所以(a+b)8-由a2又a2故(a+b)8-因為10<6故選：BCD.【變式51】1.（2021秋·高一單元測試）若實數(shù)a≠b，且a，b滿足a2-8a+5=0，b2A．2 B．－20 C．2或－20 D．2或20【答案】B【解析】利用韋達定理可求b-1a-1【詳解】因為a2-8a+5=0，b2-8b+5=0，故故a+b=8,ab=5.又b-1=64-16-10+2故選：B.【點睛】本題考查一元二次方程的解、韋達定理，注意利用同構的思想來構建方程，另外注意將代數(shù)式整合成與兩根和、兩根積有關的代數(shù)式，本題屬于基礎題.【變式51】2.（多選）（2023秋·高一單元測試）若x2＋xy－2y2＝0，則x2A．－52 B．－15 C．1【答案】BD【分析】由x2＋xy－2y2＝0得x=-2y或x=y，分別代入原式可得結果.【詳解】由x2＋xy－2y2＝0得(x+2y)(x-y)=0，得x=-2y或x=y，當x=-2y時，x2+3xy+y當x=y時，x2+3xy+y故選：BD.【點睛】本題考查了分解因式，屬于基礎題.【變式51】3.（2022秋·北京·高一?？茧A段練習）如果m,n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2【答案】2031【分析】由題可判斷m，n為方程x2-x=3的不相等的兩個實根，結合韋達定理可得m+n=1，【詳解】由題可知，m，n為方程x2則根據(jù)韋達定理可得：m+n=1，mn=-3，所以2=2n故答案為：2031【變式51】4.（2023·高一課時練習）已知a+b=23，ab=2，求代數(shù)式【答案】8【解析】a3【詳解】解：a3【點睛】本題主要考查多項式的求值，通常先分解因式，屬于基礎題．題型6方程的解集【例題6】（2022秋·高一單元測試）若x+43【答案】26【分析】根據(jù)題意列方程組，解方程組求得x的值.【詳解】由已知得x+4由①得y=4x-23由②得z=5x-43把④⑤代入③并化簡，得12x－6＝306，解得x＝26.故答案為：26【點睛】本小題主要考查方程組的解法，屬于基礎題.【變式61】1.（2022秋·山東日照·高一?？茧A段練習）《九章算術》記載了一個方程的問題，譯為：今有上禾6束，減損其中之“實”十八升，與下禾10束之“實"相當；下禾15束，減損其中之“實”五升，與上禾5束之“實”相當.問上、下禾每束之實各為多少升?設上下禾每束之實各為x升和y升，則可列方程組為（

）A．6x+18=10y15y+5=5x B．C．6x-18=15y15y-5=10x D．【答案】B【解析】由題意，一束為一個整體，減損為在原基礎上減掉，根據(jù)題意列出方程組即可.【詳解】解：上下禾每束為x,y升，上禾6束有6x，減損18，即6x-18，下禾10束之“實"相當，即6x-18=10y，同理有15y-5=5x，所以方程組為6x-18=10y15y-5=5x故選：B.【變式61】2.（2023·高一課時練習）已知關于x的方程x-3-2x2=1-【答案】a=1，方程的解集為{1}【解析】先分別解出兩個方程，再根據(jù)集合相等求出答案．【詳解】解：方程x-3-2x2=1-整理，得13x=15-2a，解得x=15-2a方程2x+a3-x-a整理，得3x=-3a+6，解得x=-a+2.由題意，得15-2a13=-a+2，解得a=1，所以綜上，a=1，方程的解集為{1}.【點睛】本題主要考查根據(jù)集合相等求參數(shù)的值，考查含參的一元一次方程的解法，屬于基礎題【變式61】3.（2023·高一課時練習）求關于x的方程ax=b的解集，其中a,b是常數(shù).【答案】見解析【解析】對a,b分三種情況進行討論，即a=0,b=0或a≠0或a=0，b≠0.【詳解】當a=0,b=0時，方程的解集為R，當a≠0時，方程的解集為{b當a=0時，b≠0時，方程的解集為?.【點睛】本題考查一元一次方程解的討論，考查函數(shù)與方程思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意討論的完整性.【變式61】4.（2021·高一課時練習）（1）是否存在實數(shù)x，y，使得等式1xy=1（2）計算：43【答案】（1）存在，x,yy=x+1,x∈R,x≠0,-1；（2）20【分析】（1）化簡1xy=1x-（2）在（1）中令x=n-12，y=n+1【詳解】（1）由題意，1∴1=y-x，且x≠0,y≠0，即x≠0,x≠-1故所有滿足條件的實數(shù)對x,y的集合為x,yy=x+1,x∈R,x≠0,-1（2）在（1）中令x=n-12，y=n+有1當n=1時，43當n=2時，415當n=3時，435當n=4時，463當n=5時，499將5個式子左右疊加可得：4【變式61】5.（2020秋·山東·高一校聯(lián)考階段練習）某人的智能密碼是一個六位數(shù)字，將前三位數(shù)組成的數(shù)與后三位數(shù)組成的數(shù)相加得741，將前兩位數(shù)組成的數(shù)與后四位數(shù)組成的數(shù)相加得633，該密碼對應的六位數(shù)是（）A．201126 B．210612 C．110631 D．120621【答案】D【分析】設該密碼對應的六位數(shù)字是abcdef，根據(jù)題意，由a+d×100+【詳解】設該密碼對應的六位數(shù)字是abcdef，由題意得：a+d×100+即a+d=7b+e=4解得a=1,b=2,c=0,d=6,e=2,f=1，所以該密碼對應的六位數(shù)字是120621故選：D題型7含參取值范圍問題【例題7】（2023·高一課時練習）關于x的方程(a-1)(ax+1)=-1的解集為?，則實數(shù)a的值為.【答案】1【分析】根據(jù)一元一次方程的解的即可求解.【詳解】由(a-1)(ax+1)=-1得a2若該方程的解為空集，則a2-a=0且-a≠0，解得故答案為：1【變式71】1.（2023·高一單元測試）若關于x、y的二元一次方程組y=2x+3y=kx+1的解集為?，則實數(shù)k=【答案】2【分析】將二元一次方程組轉化為一元一次方程，根據(jù)根的特點，即可得出答案．【詳解】解：由題意得2x+1=kx+3，即(2-k)x=2，∵關于x，y的二元一次方程組y=2x+1y=kx+3的解集為?∴關于x的方程(2-k)x=2的無解，∴2-k=0，即k=2，故答案為：2．【變式71】2.（2023·高一單元測試）若關于x，y的方程組x+y=22x+by=4與3x-ay=112x+4y=b的解集相等，則ab=【答案】4【分析】根據(jù)已知可知，4個方程有公共解，可以先求出x+y=22x+4y=b的解，進而代入2x+by=4，即可得出bx,y【詳解】由已知可知，4個方程有公共解，先求解方程組x+y=22x+4y=b可得，x=顯然該解滿足方程2x+by=4，代入整理可得b2-6b+8=0，解得b=2或當b=2時，x=3y=-1，代入3x-ay=11可知a=2，此時有ab=4當b=4時，x=2y=0，代入3x-ay=11綜上所述，a=2，b=2，所以ab=4.故答案為：4.【變式71】3.