四年級數(shù)學奧數(shù)培優(yōu)講義-專題11雞兔同籠（含解析）

第第頁四年級數(shù)學奧數(shù)培優(yōu)講義-專題11雞兔同籠（含解析）專題11雞兔同籠

1、由來大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？2、方法回顧：畫圖法、列表法、砍足法3、假設法“假設”是數(shù)學中思考問題的一種方法，有些應用題，無論我們是從條件出發(fā)用綜合法解題，還是從問題出發(fā)用分析法去解答，都很難找到正確答案，但用合理“假設”，依照已知條件進行推算，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾，進行比較，并做出調(diào)整，很容易解決問題。我國古代的“雞兔同籠”就是運用假設法解題的一個典型。雞兔同籠算法口訣：雞兔同籠很奧妙，用假設法能做到，假設里面全是雞，算出共有幾只腳，和腳總數(shù)做比較，做差除二兔找到。常用關系：當頭數(shù)一樣時，腳的關系：兔子是雞的2倍當腳數(shù)一樣時，頭的關系：雞是兔子的2倍如果假設全是兔則有：雞數(shù)＝（每只兔子腳數(shù)×雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)－每只雞的腳數(shù)）如果假設全是雞就有：兔數(shù)＝（實際腳數(shù)－每只雞腳數(shù)×雞兔總數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)－每只雞的腳數(shù)）

1．小梅數(shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個，數(shù)腳有44只．問：小梅家的雞與兔各有多少只？

2．雞與兔共100只,雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28.問雞與兔各幾只？

3．李華參加射擊比賽，共打20發(fā)，規(guī)定每中一發(fā)記10分，脫靶一發(fā)則倒扣6分，結(jié)果得了168分，他一共打中了多少發(fā)？

4．12張乒乓球臺上同時有34人在進行乒乓球比賽，正在進行單打的球臺有多少張？

5．100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃．問：大、小和尚各有多少人？

6．小紅的存錢罐里有1元和5角的硬幣32枚，共有20元．則5角的有多少枚？

7．雞兔同籠，共有75個頭，208條腿．雞和兔各有多少只？

8．動物園飼養(yǎng)的食肉動物分大型動物和小型動物兩類，規(guī)定老虎、獅子一類的大動物每次喂肉每頭三斤，狐貍、山貓一類小動物每三頭喂一斤．該動物園共有這兩類動物100頭，每次需喂肉100斤，問大、小動物各多少？

9．籠子里有雞兔若干只，已知頭35個，腿110只，問雞、兔各多少只？

10．雞、兔共籠，雞比兔多26只，足數(shù)共274只，問雞、兔各幾只？

11．從前有座山，山里有個廟，廟里有許多小和尚，兩個小和尚用一根扁擔一個桶抬水，一個小和尚用一根扁擔兩個桶挑水，共用了38根扁擔和58個桶，那么有多少個小和尚抬水？多少個挑水？

12．某旅游點有兒童票、成人票兩種規(guī)格的門票賣，兒童票的價格為30元，成人票的價格為40元，如果是團體還可以買平均32元一位的團體票，一個由8個家庭組成的旅游團（每個家庭由兩位大人，或兩個大人、一個小孩組成）來景點旅游，如果他們買團體票可以比他們各買各的少花120元，問這個旅游團一共有多少人？

13．有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20對（蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，兩對翅膀；蟬6條腿，一對翅膀），求蜻蜓有多少只？

14．雞、兔共有36只，共有100條腿，雞、兔各有多少只？

15．秦老師有面值5元和10元的人民幣共20張，已知兩種人民幣總共160元，5元和10元的人民幣各多少張？

16．松林小學舉行禮貌常識比賽，共有20道題，每題10分，答對一道題得10分，答錯一道題要扣10分，張明的成績是100分，問他答錯了幾道題？答對了幾道題？

17．一輛汽車運輸玻璃儀器400個，每個運費5元。如果損壞一個玻璃儀器不但不給運費，還要賠償50元。最后只收到運費1615元，共損壞了幾個玻璃儀器？

18．小學生智力競賽時，某個學生解答了12道題，如果從100分開始算分，答對一題加10分，答錯一題減10分，這個小學生最后得了160分，它答對了幾道題？答錯了幾道題？

19．商店出售大,中,小氣球,大球每個3元,中球每個1.5元,小球每個1元.張老師用120元共買了55個球,其中買中球的錢與買小球的錢恰好一樣多.問每種球各買幾個？

20．雞、兔共有130條腿，雞比兔多5只，雞和兔各有多少只？

21．某次數(shù)學競賽，共有道題，每道題做對得分，沒做或做錯都要扣分，小聰?shù)昧朔郑鰧α硕嗌俚李}？

22．現(xiàn)有大小油桶40個，每個大桶可裝油5千克，每個小桶可裝油3千克，大桶比小桶共多裝油24千克，那么，大油桶多少個？小油桶多少個？

23．春風小學3名云參加數(shù)學競賽，共10道題，答對一道題得10分，答錯一道題扣3分，這3名同學都回答了所有的題，小明得了87分，小紅得了74分，小華得了9分，他們?nèi)艘还泊饘α硕嗌俚李}？

24．小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下．已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？

25．現(xiàn)有數(shù)量相同的雞和兔放在同一個籠子里，已知雞腳比兔腳少32只。雞和兔各有多少只？

26．小明用10元錢正好買了20分和50分的郵票共35張，求這兩種郵票各買了多少張

27．一名搬運工人從批發(fā)部搬運500只瓷磚到商店，貨主規(guī)定：運到一只完好的瓷磚得運費3角，打破一只賠9角，結(jié)果他領到運費136.80元．問在運輸中，搬運工打破了多少只瓷磚？

28．買一些4分和8分的郵票,共花6元8角.已知8分的郵票比4分的郵票多40張,那么兩種郵票各買了多少張

29．有雞、鴨、狗一共17只，總共有44條腿，期中鴨的數(shù)量是雞的3倍。那么狗有多少只？

30．實驗小學五年級一班的47名同學去旅游，共租大、小8輛汽車，每輛汽車都坐滿．已知每輛小汽車坐4人，每輛大車坐7人．大、小汽車各租了幾輛車？

31．一些奇異的動物在草坪上聚會．有獨腳獸（1個頭、1只腳）、雙頭龍（2個頭、4只腳）、三腳貓（1個頭、3只腳）和四腳蛇（1個頭、4只腳）．如果草坪上的動物共有58個頭、160只腳，且四腳蛇的數(shù)量恰好是雙頭龍的2倍，那么其中獨腳獸有幾只？

32．小林有2元一張的人民幣和5元一張的人民幣共63張，共計171元，小林兩種人民幣各有多少張？

33．大小猴子共35只，它們一起去采摘桃子。猴王不在的時候，一個大猴子一小時可采摘15千克，一個小猴子一小時可采摘11千克；猴王在場監(jiān)督的時候，每個猴子不論大小每小時都可多采摘12千克。一天采摘了8小時，其中只有第一小時和最后一小時猴王在場監(jiān)督，結(jié)果共采摘4400千克桃子。那么，在這群猴中，共有小猴多少只？

34．全班46人去劃船，共乘12只船，其中大船每船坐5人，小船每船坐3人．有多少只小船？有多少只大船？

35．學校買回4個籃球和5個排球，一共用了185元，一個籃球比一個排球貴8元，籃球、排球的單價各多少元？

36．彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元．問：兩種文化用品各買了多少套？

37．四年級的同學們?nèi)ゴ河?，按團體購票120張，共432元，其中單程票每張2元，往返票4元，那么單程票和往返票相差多少張？

1．兔：6只雞：10只

【分析】可以假設16只都是兔子，那么就應該有4×16＝64（只）腳，但實際上有44只腳，比假設的情況少了64－44＝20（只）腳，這是因為把雞當作兔了．我們以雞去換兔，每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)減少了4-2＝2（只）．因此只要算出20里面有幾個2，就可以求出雞的只數(shù)．

【詳解】方法一：假設全是兔

雞：（4×16-44）÷（4-2）=10（只）

兔：16—10＝6（只）

方法二：假設全是雞

兔:（44-2×16）÷（4-2）=6（只）

雞:16-6＝10（只）

答：小梅家的兔有6只，雞10只．

【分析】解答雞兔同籠問題通常采用假設法，可以先假設都是雞，然后以兔換雞；也可以先假設都是兔，然后以雞換兔．因此這類問題也叫置換問題．

2．雞62只，兔38只

【詳解】解一:假如再補上28只雞腳,也就是再有雞28÷2=14(只),雞與兔腳數(shù)就相等,兔的腳是雞的腳4÷2=2(倍),于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍.兔的只數(shù)是

(100+28÷2)÷(2+1)=38(只).

雞是100-38=62(只).

當然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只數(shù)是

(100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只).

也可以用任意假設一個數(shù)的辦法.

解二:假設有50只雞,就有兔100-50=50(只).此時腳數(shù)之差是

4×50-2×50="100,"比28多了72.就說明假設的兔數(shù)多了(雞數(shù)少了).為了保持總數(shù)是100,一只兔換成一只雞,少了4只兔腳,多了2只雞腳,相差為6只(千萬注意,不是2).因此要減少的兔數(shù)是(100-28)÷(4+2)=12(只).兔只數(shù)是50-12=38(只).

3．18發(fā)

【詳解】假設全部打中．

脫靶：（20×10-168）÷（10+6）

=32÷16

=2（發(fā)）

打中：20-2=18（發(fā)）

答：他一共打中了18發(fā)．

4．7張

【分析】假設所有乒乓球桌全是雙打的，這樣的總?cè)藬?shù)為：12×4＝48人；而實際只有34人，比實際多算了48-34＝14人，是因為把單打的乒乓球桌也算成雙打乒乓球桌了，每把單打算成雙打會多算2人，所以單打的球臺桌有：14÷2＝7（張）．

【詳解】解：12×4＝48（人）

48-34＝14（人）

14÷（4-2）＝7（張）

答：正在進行單打的球臺有7張．

5．小和尚80人，大和尚20人

【分析】本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得．如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設法來解．

【詳解】解：假設100人全是大和尚，那么共需饃300個，比實際多300－140＝160（個）．現(xiàn)在以小和尚去換大和尚，每換一個總?cè)藬?shù)不變，而饃就要減少3—1＝2（個），因為160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有：100－80＝20（人）．

6．24枚

【分析】假設32枚都是1元的硬幣，則共有32元．而現(xiàn)在一共有20元，多算了32﹣20=12（元）．如果用1枚5角的硬幣換1枚1元的硬幣，就要多1﹣0.5=0.5（元），那么看看這12元應該有幾個0.5元來換，就有幾個5角．列式為12÷0.5，計算即可．

【詳解】5角=0.5元

所以5角的硬幣有：

（1×32﹣20）÷（1﹣0.5）

=（32﹣20）÷0.5

=12÷0.5

=24（枚）

答：5角的硬幣有24枚．

7．答：雞有46只，兔有29只．

【詳解】75×2=150（條）

兔：（208-250）÷（4-2）=58÷2=29（只）

雞：75-29=46（只）

8．大動物：25只小動物：75只

【詳解】100×3－100＝200（斤）

小動物：200÷（3-）＝75（只）

大動物：100-75＝25（只）

所以大動物有25只，小動物有75只．

9．雞有15只，兔有20只

【詳解】試題分析：此題可以采用假設法：假設全是兔，那么就有35×4=140條腿，這樣就比已知110條腿多了140﹣110=30條腿，已知每只兔比雞多4﹣2條腿，由此即可求得雞有30÷2=15只，由此即可解決問題．

解答：解：假設全是兔，

則雞有：（35×4﹣110）÷（4﹣2），

=30÷2，

=15（只），

35﹣15=20（只），

答：雞有15只，兔有20只．

分析：此類問題也可以利用方程思想解答：設雞有x只，則兔就有35﹣x只，根據(jù)腿的總條數(shù)列出方程為：2x+4（35﹣x）=110，解得x=15，則兔有：35﹣15=20（只）．

10．雞63只，兔37只

【分析】雞兔同籠問題，假設法

【詳解】設雞與兔只數(shù)一樣多：274-2×26=222（只）

每一對雞、兔共有足：2+4=6（只），

雞兔共有對數(shù)（也就是兔子的只數(shù)）：222÷6=37（對），則雞有37+26=63（只）．

11．36人抬水,20人挑水

【分析】雞兔同籠問題，

【詳解】方法一:假設法

假設全是抬水，38根扁擔應擔38個桶，而實際上是58個桶，為什么少了58-38=20（個）桶呢？因為當我們把一個挑水的當作抬水的就會少算2－1＝1（個）桶，所以有20÷1=20（人）在挑水，抬水的扁擔數(shù)是38－20＝18（根），抬水的人數(shù)是18×2＝36人．

方法二:結(jié)合分析工具矩形圖，來看雞兔同籠問題

左圖假設全是抬水：（58-38×1）÷（2-1）=20（根）……20（人）挑水

（38-20）×2=36（人）……36（人）抬水

右圖假設全是挑水：（38×2-58）÷（2-1）=18（根）……18×2=36（人）抬水

38-18=20（根）……20（人）挑水

12．20人

【詳解】每個三口之家可以少花（元），每個二口之家可以少花（元），如果這8個家庭都是三口之家，那么一共少花（元），所以這8個家庭中有（個）家庭是二口之家，所以這個旅游團一共有（人）。

13．7只

【分析】這是在雞兔同籠基礎上發(fā)展變化的問題.觀察數(shù)字特點，蜻蜓、蟬都是6條腿，只有蜘蛛8條腿.因此，可先從腿數(shù)入手，求出蜘蛛的只數(shù).我們假設三種動物都是6條腿，則總腿數(shù)為6×18=108（條），所差118-108=10（條），必然是由于少算了蜘蛛的腿數(shù)而造成的.所以，應有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.這樣剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蟬的只數(shù).再從翅膀數(shù)入手，假設13只都是蟬，則總翅膀數(shù)1×13=13（對），比實際數(shù)少20-13＝7（對），這是由于蜻蜓有兩對翅膀，而我們只按一對翅膀計算所差，這樣蜻蜓只數(shù)可求7÷（2-1）=7（只）.

【詳解】解：假設蜘蛛也是6條腿，三種動物共有腿：6×18=108（條）

有蜘蛛：（118-108）÷（8-6）=5（只）

蜻蜓、蟬一共有：18-5=13（只）

假設蜻蜓也是一對翅膀，應該有翅膀：1×13=13（對）

蜻蜓：20-13）÷2-1）=7（只）

答：蜻蜓有7只.

14．兔：14只雞：22只

【分析】假設36只全是雞，則共有36×2=72條腿，而實際共有100條腿，少了100-72=28條腿，所以要將一部分雞變回兔，每變一只，總腿數(shù)就多4-2=2只，一共要變28÷2=14只，即兔的只數(shù)．

【詳解】解：假設全是雞

兔：（100-36×2）÷（4-2）=14（只）

雞：36-14=22（只）

15．12張

【詳解】試題分析：假設全是面值10元的人民幣，則應該是10×20=200元，這比已知的160元多出了200﹣160=40元，因為1張10元比1張5元的人民幣多10﹣5=5元，由此即可得出面值是5元的人民幣有40÷5=8張，由此即可解答問題．

解：根據(jù)題干分析可得：（10×20﹣160）÷（10﹣5）

=40÷5

=8（張）

20﹣8=12（張）

答：5元的是8張，10元的是12張．

【分析】此題屬于雞兔同籠問題，采用假設法即可解答．

16．張明答錯5道題，答對15道題

【分析】張明答的20道題不是對就是錯，而且這兩個未知數(shù)有著下面的數(shù)量關系：錯的題數(shù)+對的題數(shù)=20道，符合“雞兔同籠”問題的特點，因此，本題采用假設法來解，此類題的解答一般習慣上先假設張明做的20道題都對了．

如果20道題都對了，那么張明應該是10×20=200（分），但是張明實際上只得了100分，多出的200-100=100（分）是怎么回事呢？那是由于張明每做錯一道題應該扣去10分，而我們假設這道題是對的，不但沒有扣去10分，反而加上了10分，也就是說每道由錯假設成對的題就要多得10+10=20（分），再聯(lián)系一共多得100分這個條件，就可以求出張明一共有100÷20＝5（道）題由錯假設成對的題，也就是錯了5道題，再求對的題數(shù)就很容易了．

【詳解】解：錯的題數(shù)：（10×20-100）÷（10＋10）=（200-100）÷20=100÷20＝5（道）

對的題數(shù)：20-5=15

答：張明答錯5道題，答對15道題．

17．7個

【分析】假設一個也沒打破，將會獲得運費5×400＝2000元，而實際共得運費1615元，兩者相差了：2000－1615＝385（元），是因為每打破一個花瓶就會少得運費：5＋50＝55（元），因此根據(jù)這兩個差可以求出打破的花瓶的個數(shù)，列式為：385÷55＝7個，據(jù)此解答。

【詳解】（400×5－1615）÷（5＋50）

＝（2000－1615）÷55

＝385÷5

＝7（個）

答：共損壞了7個玻璃儀器。

【分析】此題屬于雞兔同籠問題，可以直接采用假設法解答；也可以看做含有兩個未知數(shù)的應用題，這類題用方程解答比較容易，關鍵是找準數(shù)量間的相等關系，設一個未知數(shù)為x，另一個未知數(shù)用含x的式子來表示，進而列方程求解即可。

18．答對：9道答錯：3道

【分析】根據(jù)“答對一題加10分，答錯一題減10分”可知：答錯一題比答對一題少得10+10=20分；全部答對12道題共得100+12×10=220分；假設全部答對得分是220分，比160分多得220﹣160=60（分），那么他答錯了：60÷20=3（道）；所以答對：12﹣3=9道題．

【詳解】解：假設全答對，

錯題：（100+12×10﹣160）÷（10+10）

=60÷20

=3（題）

對題：12﹣3=9（題）

答：他答對了9道題，答錯了3道題．

19．大氣球30個，中氣球10個，小氣球15個

【詳解】因為總錢數(shù)是整數(shù),大,小球的價錢也都是整數(shù),所以買中球的錢數(shù)是整數(shù),而且還是3的整數(shù)倍.我們設想買中球,小球錢中各出3元.就可買2個中球,3個小球.因此,可以把這兩種球看作一種,每個價錢是(1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元).

從公式可算出,大球個數(shù)是(120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(個).

買中,小球錢數(shù)各是(120-30×3)÷2=15(元).

可買10個中球,15個小球.

20．兔：20只雞：25只

【分析】假設雞減少5只，則雞兔只數(shù)相同，此時一共有130-5×2=120條腿，將一雞一兔捆綁在一起，則每一份有6條腿，120÷6=20份，即兔有20只，雞有20+5=25只．

【詳解】解：假設雞減少5只，則雞兔只數(shù)相同．

兔：（130-5×2）÷（4+2）=20（只）

雞：20+5=25（只）

21．17道

【分析】假設全部做對，那么應該得到100分，比實際多了21分，而每把一道做錯的題看做對的，多算了7分，可以求出做錯了3道題，那么做對了17道題。

【詳解】假設20道題全部做對；

（道）

因此，做對的（道）

答：他做對了17道題。

【分析】本題考查的是雞兔同籠問題，除了假設法，還可以采用方程法、方程組法進行求解。

22．大油桶：18個小油桶：22個

【詳解】設大油桶有x個，小油桶有y個，兩種桶的總數(shù)為40，于是可得方程x+y=40；又由“每個大桶可裝油5千克，每個小桶可裝油3千克，大桶比小桶共多裝油24千克”得到方程，5x﹣3y=24；將這兩個方程組成一個方程組，即可求其解．

23．20

【詳解】三人共得(分)，比滿分(分)少(分)

因此三個人共做錯：(道)題，

共答對了(道)題

24．240下

【詳解】解：假設小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數(shù)減少了:

12×（2＋3）＝60（下）．

可求出小樂每分鐘跳:（780—60）÷（2＋3＋3）＝90（下），

小樂一共跳了90×3=270（下）

因此小喜比小樂共多跳:780—270×2＝240（下）．

25．16只

【分析】根據(jù)題意，設雞兔各有x只，則根據(jù)等量關系：兔的腳數(shù)－雞的腳數(shù)＝32，據(jù)此列出方程解決問題。

【詳解】解：設雞兔各有x只，則根據(jù)題意可得方程：

4x－2x＝32

2x＝32

x＝16

答：雞兔各有16只。

【分析】此題屬于含有兩個未知數(shù)的應用題，這類題用方程解答比較容易，關鍵是找準數(shù)量間的相等關系，兔的腳數(shù)－雞的腳數(shù)＝32，進而列并解方程即可。

26．解：假設全是20分的郵票．10元=1000分

35×20=700(分)

1000-700=300(分)

50-20=30(分)

50分的郵票：300÷30=10(張)

20分的郵票：35-10=25(張)

【詳解】雞兔同籠

按雞兔同籠來分析，先假設這些張郵票全是20分的，比1000分少的錢數(shù)，是誤把50分的少算了30分，接著再算一下少的錢數(shù)里共有多少個30分，也就是多少張50分的數(shù)．20分的數(shù)也就是用總張數(shù)減去這個數(shù)．

27．11只

【詳解】136.80元=1368角

假設全部完好，沒有破損．

破損：（500×3-1368）÷（3+9）

=（1500-1368）÷12

=132÷12

=11（只）

答：搬運工打破了11只瓷磚.

28．4分郵票30張，8分郵票70張

【詳解】解一:如果拿出40張8分的郵票,余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就一樣多.

(680-8×40)÷(8+4)=30(張),

這就知道,余下的郵票中,8分和4分的各有30張.

因此8分郵票有40+30=70(張).

解二:譬如,假設有20張4分,根據(jù)條件"8分比4分多40張",那么應有60張8分.以"分"作為計算單位,此時郵票總值是4×20+8×60=560.

比680少,因此還要增加郵票.為了保持"差"是40,每增加1張4分,就要增加1張8分,每種要增加的張數(shù)是(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(張).

因此4分有20+10=30(張),8分有60+10=70(張).

29．5只

【分析】題目中涉及到雞、鴨、狗三種動物，考慮按照相同的特征——2條腿將雞和鴨打包變成一個對象，用假設法計算出相差的腿的條數(shù)，即可得出狗的只數(shù)。

【詳解】假設全是兩條腿的動物，則腿有：17×2＝34（條）

44－34＝10（條）

狗有4條腿，所有狗有：10÷（4－2）

＝10÷2

＝5（只）

答：狗有5只。

【分析】解決雞兔同籠問題時，如果碰到涉及多個對象的，可以按照相同的特征將若干對象打包變成一個對象，從而減少對象的數(shù)量變成我們常規(guī)的兩個對象的雞兔同籠問題。

30．大汽車：5輛小汽車租了：3輛

【詳解】解：假設全是大汽車，那么小汽車有：

（7×8﹣47）÷（7﹣4）

=9÷3

=3（輛