2023-2024學(xué)年四川省瀘州市瀘縣重點(diǎn)中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知向量，，若，則()

A.B.C.D.

2.冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是()

A.B.是減函數(shù)C.是奇函數(shù)D.是偶函數(shù)

3.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是()

A.若，，則

B.若，，則

C.若，，，則

D.若，，，則

4.在中，為上一點(diǎn)，且，則()

A.B.C.D.

5.已知，則()

A.B.C.D.

6.已知向量，滿足，則在方向上的投影向量為()

A.B.C.D.

7.在直三棱柱中，，，則直線與所成角的余弦值為()

A.B.C.D.

8.各角的對(duì)應(yīng)邊分別為，，，滿足，則角的范圍是()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，，則()

A.任意，均有

B.任意，均有

C.存在，使得

D.存在，使得

10.函數(shù)的一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的有()

A.函數(shù)的解析式是

B.函數(shù)的最大值是

C.函數(shù)的最小正周期是

D.函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是

11.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是()

A.，，，四點(diǎn)共面

B.直線與平面相交

C.直線和所成的角為

D.平面和平面所成銳二面角的余弦值為

12.聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽覺的波，每一個(gè)音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)函數(shù)為，其中影響音的響度和音長(zhǎng)，影響音的頻率，響度與振幅有關(guān)，振幅越大，響度越大；音調(diào)與聲波的振動(dòng)頻率有關(guān)，頻率低的聲音低沉平時(shí)我們聽到的音樂都是由許多音構(gòu)成的復(fù)合音，假設(shè)我們聽到的聲音函數(shù)是則下列說法正確的有()

A.是偶函數(shù)

B.的最小正周期可能為

C.若聲音甲的函數(shù)近似為，則聲音甲的響度一定比純音的響度大

D.若聲音乙的函數(shù)近似為，則聲音乙一定比純音低沉

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.某中學(xué)高三年級(jí)人，高二年級(jí)人，高一年級(jí)人，若采用分層抽樣的辦法，從高一年級(jí)抽取人，則全?？偣渤槿_____人

14.已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為，則的最小值為______．

15.如圖，三棱錐中，平面平面，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，若，，，四點(diǎn)在某個(gè)球面上，則該球體的表面積為______．

16.在銳角中，三內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則的最小值為______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

設(shè)、、、為平面內(nèi)的四點(diǎn)，且，，．

若求點(diǎn)的坐標(biāo)；

設(shè)向量，，若向量與垂直，求實(shí)數(shù)的值．

18.本小題分

已知函數(shù)．

求的單調(diào)增區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，求的值域．

19.本小題分

年月日，以“去南充，起來”為主題的南充文旅成都推介會(huì)在成都寬窄巷子舉行本次推介會(huì)圍繞“六百里秀美嘉陵江，兩千年人文南充城”展開，通過川北大木偶、川劇快閃等多個(gè)環(huán)節(jié)，展示了將帥故里、錦繡南充的文旅資源，同時(shí)還向成都市民和廣大游客推介了千年古城閬中游、將帥故里紅色游、山水風(fēng)光覽勝游、親子行讀研學(xué)游和潮流江岸時(shí)尚游等五條精品旅游線路，為了解本次推介會(huì)的效果，隨機(jī)抽取了名觀眾進(jìn)行有獎(jiǎng)知識(shí)答題，現(xiàn)將答題者按年齡分成組，第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，若第一組有人．

求；

現(xiàn)用分層抽樣的方法從第四組和第五組中抽取人，再?gòu)倪@人隨機(jī)抽取人作為幸運(yùn)答題者，求這人幸運(yùn)答題者恰有人來自第五組的概率．

20.本小題分

在；的最小值為；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答．

在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊為，，，且_____．

求；

若是內(nèi)角平分線，交于，，，求的面積．

21.本小題分

已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，，是的中點(diǎn)．

證明：平面；

判斷直線與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

求二面角的余弦值．

22.本小題分

設(shè)平面向量的夾角為，已知，．

求的解析式；

若，證明：不等式在上恒成立．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由題意知向量，，

故由，得，．

故選：．

根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算，即得答案．

本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：函數(shù)為冪函數(shù)，則，解得或．

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不滿足條件，排除；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，滿足題意．

函數(shù)在和上單調(diào)遞減，但不是減函數(shù)，排除；

因?yàn)楹瘮?shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，

所以函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，D錯(cuò)誤．

故選：．

根據(jù)冪函數(shù)的定義及單調(diào)性可判斷，再由奇函數(shù)的定義判斷．

本題主要考查了冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：若，，則或，故A錯(cuò)誤；

若，，則或與相交或與異面，故B錯(cuò)誤；

若，，，則或與相交，故C錯(cuò)誤；

若，，則或，又，，故D正確．

故選：．

由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案．

本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：由題意知，，因?yàn)?，且?/p>

所以．

故選：．

根據(jù)平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及平面向量基本定理即可求解．

本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：因?yàn)?，所以?/p>

所以，即，

所以，則，

所以

．

故選：．

利用兩角差的正弦公式展開再平方得到，從而求出，再由兩角差的余弦公式計(jì)算可得．

本題主要考查了和差角公式，同角基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．

6.【答案】

【解析】解：，

故所求投影向量為．

故選：．

根據(jù)投影向量定義可得答案．

本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】解：在直三棱柱中，，，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

則，，

則，，

則，

即直線與所成角的余弦值為．

故選：．

先建系，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后結(jié)合空間向量的應(yīng)用求出直線與所成角的余弦值即可．

本題考查了異面直線所成角的求法，重點(diǎn)考查了空間向量的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】解：由，得：，

化簡(jiǎn)得：，

同除以，利用余弦定理得，，

所以，

故選：．

化簡(jiǎn)已知不等式可得，利用余弦定理得，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求的范圍．

本題主要考查了余弦定理，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

9.【答案】

【解析】解：不能與實(shí)數(shù)比大小，故B錯(cuò)誤；

，，

則，

易知，且不能同時(shí)取得等號(hào)，故，即A正確；

即動(dòng)點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的距離，顯然在拋物線上，在單位圓上，如圖所示，

當(dāng)，時(shí)，，故D正確；

若存在，使得，則，

由上知，即上述方程組無解，故C錯(cuò)誤；

故選：．

利用復(fù)數(shù)的概念、相等的條件、模長(zhǎng)公式一一判定即可．

本題主要考查復(fù)數(shù)的模，屬于中檔題．

10.【答案】

【解析】解：根據(jù)函數(shù)的一個(gè)周期內(nèi)的圖象知，，，所以，

由五點(diǎn)法畫圖知，，，解得，，

時(shí)，，所以，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

函數(shù)的最大值是，選項(xiàng)B正確；

函數(shù)的最小正周期是，選項(xiàng)C周期；

，所以是的一個(gè)對(duì)稱中心，選項(xiàng)D正確．

故選：．

根據(jù)函數(shù)的一個(gè)周期內(nèi)的圖象求出、和、，即可寫出函數(shù)解析式，再判斷選項(xiàng)中的命題是否正確．

本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．

11.【答案】

【解析】解：對(duì)于，連接，，如圖，

面，而面，面，

，，，四點(diǎn)不共面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于，若為中點(diǎn)，連接，為棱的中點(diǎn)，

由長(zhǎng)方體性質(zhì)得，平面，

若平面，而平面，矛盾，

直線與平面相交，故B正確；

對(duì)于，若，分別是，中點(diǎn)，連接，，

由長(zhǎng)方體性質(zhì)知，，

，，直線與所成角為，

設(shè)，由已知，則，

為等邊三角形，為，

直線與所成角為，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于，若是中點(diǎn)，則，、、、共面，

平面和平面的夾角即是面和面的夾角，

面面，長(zhǎng)方體中，，

為面和面的夾角，如圖，

，故D正確．

故選：．

對(duì)于，連接，，根據(jù)、、與面位置關(guān)系即可判斷；對(duì)于，為中點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出，根據(jù)它們與面的位置關(guān)系即可判斷；對(duì)于，若，分別是，中點(diǎn)，連接，，推導(dǎo)出直線和所成角為，再證明為等邊三角形即可得大??；對(duì)于，若是中點(diǎn)，求面和面的夾角即可，根據(jù)面面角的定義找到其平面角即可．

本題考查四點(diǎn)共面的判斷、線面垂直的判定與性質(zhì)、異面直線所成角、二面角的定義及余弦值的求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

12.【答案】

【解析】解：對(duì)于，因?yàn)?/p>

，

所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤．

對(duì)于，因?yàn)?/p>

，故B錯(cuò)誤．

對(duì)于，因?yàn)?，即聲音甲的振幅大于，而純音的振幅等于?/p>

故聲音甲的響度一定比純音的響度大，故C正確；

對(duì)于，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，的最小正周期為?/p>

所以的最小正周期為，頻率為，的頻率為，，

所以聲音甲一定比純音更低沉．故D正確．

故選：．

對(duì)于，根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷，可知A錯(cuò)誤；對(duì)于，根據(jù)函數(shù)周期性的定義，可知B錯(cuò)誤；對(duì)于，比較振幅的大小，可知C正確；對(duì)于，求出頻率，比較大小，可知D正確．

本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，真假命題的判斷，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：設(shè)全?？偣渤槿?，

某學(xué)校高三年級(jí)人，高二年級(jí)人，高一年級(jí)人，

采用分層抽樣的辦法，從高一年級(jí)抽取人，

，

解得．

全?？偣渤槿∪耍?/p>

故答案為：．

設(shè)全?？偣渤槿耍梅謱映闃拥男再|(zhì)能求出全?？偣渤槿∪藬?shù)．

本題考查全校總共抽取的人數(shù)的求法，考查分層抽樣的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：因?yàn)樯刃蔚膱A心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為，所以，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，

所以的最小值為．

故答案為：．

用半徑表示出弧長(zhǎng)，再利用基本不等式求的最小值．

本題考查了扇形的弧長(zhǎng)與半徑的關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了利用基本不等式求最值的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：作出底面的外心，側(cè)面的外心，取中點(diǎn)，

連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，面平面?/p>

因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，所以，

又因?yàn)槠矫?，所以平面?/p>

由球的性質(zhì)可得平面，所以，

同理，所以四邊形為平行四邊形，

故，

在中，因?yàn)椋?，則，

設(shè)的外接圓半徑為，根據(jù)正弦定理有，則，

設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，

則外接球的表面積為．

故答案為：．

作出相關(guān)面的外心，利用面面垂直的性質(zhì)、勾股定理以及正弦定理即可得到答案．

本題考查了三棱錐外接球的表面積計(jì)算，屬于中檔題．

16.【答案】

【解析】解：是銳角三角形，

，，

且，

即，

令，則，，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，

即的最小值是．

故答案為：．

利用兩角和差的正切公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用基本不等式進(jìn)行求解即可．

本題主要考查三角最值的求解，利用兩角和差的正切公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用基本不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．

17.【答案】解：設(shè)，，，，且，

，

，解得，

；

，

，，且與垂直，

，解得．

【解析】設(shè)，根據(jù)點(diǎn)，，的坐標(biāo)及可得出，然后解出，即可；

可求出和的坐標(biāo)，然后根據(jù)與垂直得出，然后進(jìn)行向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算即可求出的值．

本題考查了根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)的方法，向量坐標(biāo)的加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積的運(yùn)算，向量垂直的充要條件，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：根據(jù)，

令，

整理得：，

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．

由于，故，

所以．

則，

所以．

【解析】根據(jù)題意，先由三角恒等變換將函數(shù)化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可得到結(jié)果；

根據(jù)題意，由的范圍即可得到的范圍，再得到的范圍，即可得到結(jié)果．

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．

19.【答案】解：易知第一組的頻率為，

若第一組有人，

則；

易知第四組和第五組的頻率分別為，，

所以第四組和第五組人數(shù)之比為：，

若分層抽樣的方法從第四組和第五組中抽取人，

則第四組抽取人，第五組抽取人，

記第四組的人分別為，，，，第五組的人分別為，，

則共有，，，，，，，，，，，，，，這種情況，

而這人幸運(yùn)答題者恰有人來自第五組只有，，，，，，，這種情況，

所以這人幸運(yùn)答題者恰有人來自第五組的概率．

【解析】由題意，根據(jù)頻率分布直方圖所給信息得到第一組的頻率，利用第一組有人，列出等式即可求出的值；

易知第四組和第五組人數(shù)之比為：，利用分層抽樣的方法可知第四組抽取人，第五組抽取人，得到總樣本點(diǎn)，再求出人幸運(yùn)答題者恰有人來自第五組的樣本點(diǎn)，進(jìn)而即可求出答案．

本題考查頻率分布直方圖和古典概型，考查了運(yùn)算能力和數(shù)據(jù)分析．

20.【答案】解：若選：的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．

得，

得，

因?yàn)?，所以得，即?/p>

若選：，又的最小值為，

，所以，，又，所以．

若選：．

所以，

所以，

所以，

所以，所以，

又，所以．

的角平分線交于，且，

又，

所以．

由余弦定理可得，即，

所以故面積為．

【解析】若選：由正弦定理，結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)推出得，求解即可．若選：可得，可求；若選：切化弦變形可得，可求；

利用三角形的面積通過，結(jié)合余弦定理可求，從而可求面積．

本題考查三角形的正余弦定理，以及三角形的面積公式，屬中檔題．

21.【答案