(11)-3.5 可化為線性的多元非線性模型

§3.5可化為線性的多元非線性模型

一、模型的類型與變換

二、非線性回歸實例三、非線性最小二乘估計說明在實際經(jīng)濟活動中，經(jīng)濟變量的關(guān)系是復(fù)雜的，直接表現(xiàn)為線性關(guān)系的情況并不多見。如著名的恩格爾曲線(Englecurves)表現(xiàn)為冪函數(shù)曲線形式、宏觀經(jīng)濟學(xué)中的菲利普斯曲線（Pillips

cuves）表現(xiàn)為雙曲線形式等。但是，大部分非線性關(guān)系又可以通過一些簡單的數(shù)學(xué)處理，使之化為數(shù)學(xué)上的線性關(guān)系，從而可以運用線性回歸模型的理論方法。一、模型的類型與變換1、倒數(shù)模型、多項式模型與變量的直接置換一般講，關(guān)于解釋變量的非線性問題（例如倒數(shù)關(guān)系、多項式關(guān)系）都可以通過變量置換變成為線性問題。例如，描述稅收與稅率關(guān)系的拉弗曲線：

s=a+br+cr2，c<0，s：稅收，r：稅率設(shè)X1=r，X2=r2，則原方程變換為：s=a+bX1+cX2，c<0

2、冪函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型與對數(shù)變換法關(guān)于參數(shù)的非線性問題，函數(shù)變換是常用的方法。例如，Cobb-Dauglas生產(chǎn)函數(shù)為冪函數(shù)：Q=AK

L

，Q：產(chǎn)出量，K：投入的資本；L：投入的勞動對方程進行對數(shù)變換，得到線性模型：

lnQ=lnA+

lnK+lnL3、復(fù)雜函數(shù)模型與級數(shù)展開法對于不能采用變量置換和函數(shù)變換的復(fù)雜的非線性模型，可以采用級數(shù)展開方法將其變換為線性模型。方程兩邊取對數(shù)后，得到：

(

1+2=1)

Q:產(chǎn)出量，K：資本投入，L：勞動投入：替代參數(shù)，1、

2：分配參數(shù)例如，常替代彈性CES生產(chǎn)函數(shù)

將式中l(wèi)n(

1K-+2L-)在

=0處展開臺勞級數(shù),取關(guān)于

的線性項，即得到一個線性近似式。

如取0階、1階、2階項，可得

二、實例建立中國工業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型（兩要素）

Y為總產(chǎn)出，K、L分別為資本、勞動投入要素

變換為線性模型未施加約束，回歸結(jié)果表明：lnY變化的94.1%可由資本與勞動投入的變化來解釋。變換后，模型的線性關(guān)系顯著成立。lnK、lnL參數(shù)顯著地異于零。資本投入與勞動投入的產(chǎn)出彈性之和為0.967，接近于1。

施加規(guī)模報酬不變約束，回歸結(jié)果表明：Ln(K/L)前的參數(shù)在1%的顯著性水平下顯著地異于零，表明勞均資本增加，會促使勞均工業(yè)總產(chǎn)值的增加，勞均產(chǎn)出關(guān)于勞均資本投入的彈性值為0.687。將回歸函數(shù)展開，與未加約束的估計結(jié)果比較，差別很小，表明施加規(guī)模報酬不變約束是可行的。三、非線性最小二乘估計⒈普通最小二乘原理

殘差平方和

取極小值的一階條件

如何求解非線性方程？⒉高斯－牛頓(Gauss-Newton)迭代法

高斯－牛頓迭代法的原理

對原始模型展開臺勞級數(shù)，取一階近似值

構(gòu)造并估計線性偽模型構(gòu)造線性模型估計得到參數(shù)的第1次迭代值迭代高斯－牛頓迭代法的步驟⒊牛頓－拉夫森(Newton-Raphson)迭代法

自學(xué)，掌握以下2個要點牛頓－拉夫森迭代法的原理對殘差平方和展開臺勞級數(shù)，取二階近似值；對殘差平方和的近似值求極值；迭代。與高斯－牛頓迭代法的區(qū)別直接對殘差平方和展開臺勞級數(shù)，而不是對其中的原模型展開；

取二階近似值，而不是取一階近似值。⒋應(yīng)用中的一個困難如何保證迭代所逼近的是總體極小值（即最小值）而不是局部極小值？一般方法是模擬試驗：隨機產(chǎn)生初始值→估計→改變初始值→再估計→反復(fù)試驗，設(shè)定收斂標準（例如100次連續(xù)估計結(jié)果相同）→直到收斂。⒌非線性普通最小二乘法在軟件中的實現(xiàn)給定初值寫出模型估計模型改變初值反復(fù)估計⒍例題估計例3.5.1建立中國工業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型與原雙對數(shù)線性模型的估計結(jié)果相比，無論是常數(shù)項、還是資本投入K或勞動投入L項，相應(yīng)參數(shù)的估計結(jié)果都較為接近，且都通過了1%顯著性水平的檢驗。

7、討論一般情況下，線性化估計和非線性估計結(jié)果差異不大。如果差異較大，在確認非線性估