第三章 3.1.1　橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

第三章圓錐曲線的方程3.1橢圓3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程點(diǎn)擊此處進(jìn)入圖書配套內(nèi)容內(nèi)容概覽教材認(rèn)知掌握必備知識點(diǎn)擊進(jìn)入合作探究形成關(guān)鍵能力點(diǎn)擊進(jìn)入【素養(yǎng)導(dǎo)引】1.了解橢圓的實(shí)際背景.(數(shù)學(xué)抽象)2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程,掌握橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)教材認(rèn)知掌握必備知識一、橢圓的定義(1)條件:平面內(nèi)的兩個定點(diǎn)F1,F2,一個動點(diǎn)M;(2)關(guān)系:動點(diǎn)與兩個定點(diǎn)的距離的和等于______(大于_______);(3)概念:動點(diǎn)的軌跡叫橢圓,兩個定點(diǎn)叫橢圓的______,兩焦點(diǎn)之間的距離叫做______.常數(shù)|F1F2|焦點(diǎn)焦距【批注】(1)“常數(shù)大于|F1F2|”:當(dāng)動點(diǎn)M與定點(diǎn)F1,F2不共線時,三角形兩邊之和大于第三邊,當(dāng)動點(diǎn)M與定點(diǎn)F1,F2共線時,|MF1|+|MF2|=|F1F2|+|MF1|(|MF2|)>|F1F2|;(2)“常數(shù)等于|F1F2|”:動點(diǎn)M的軌跡為線段F1F2;(3)“常數(shù)小于|F1F2|”:動點(diǎn)M的軌跡不存在.[診斷]辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”).(1)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面內(nèi)到F1,F2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓.(

)提示:因?yàn)?a=|F1F2|=8,動點(diǎn)的軌跡是線段F1F2,不是橢圓.(2)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面內(nèi)到F1,F2兩點(diǎn)的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡是橢圓.(

)提示:2a<|F1F2|,動點(diǎn)的軌跡不存在.(3)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(-4,0),F2(4,0)兩點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)M(5,3)到F1,F2的距離之和的點(diǎn)的軌跡是橢圓.

(

)提示:符合橢圓的定義.××√二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程項(xiàng)目焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程圖

形焦點(diǎn)坐標(biāo)____________________a,b,c的關(guān)系c2=_____(a>b>0)(a>b>0)(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)a2-b2

合作探究形成關(guān)鍵能力

【思維提升】1.定義法求橢圓方程利用定義,直接求出a,c,再求出b后根據(jù)焦點(diǎn)的位置寫出橢圓的方程.2.待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)作判斷:依據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上,還是在兩個坐標(biāo)軸上都有可能.

(2)本例的條件不變,若過F1的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),則△ABF2的周長為________.

【解析】△ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a=16.答案:16【思維提升】關(guān)于橢圓定義的應(yīng)用橢圓上的點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=2a,往往作為隱含條件,結(jié)合其他已知條件解題,有時需要通過變形構(gòu)造定義,由|PF1|+|PF2|進(jìn)行關(guān)聯(lián).【即學(xué)即練】如圖所示,已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(-1,0),F