第一章 1.4.1 第1課時(shí)　空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示

第一章1.4空間向量的應(yīng)用1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系第1課時(shí)空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示點(diǎn)擊此處進(jìn)入圖書配套內(nèi)容內(nèi)容概覽教材認(rèn)知掌握必備知識(shí)點(diǎn)擊進(jìn)入合作探究形成關(guān)鍵能力點(diǎn)擊進(jìn)入【素養(yǎng)導(dǎo)引】1.了解空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握直線的方向向量,平面的法向量的概念.(數(shù)學(xué)抽象)3.會(huì)求直線的方向向量與平面的法向量.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)教材認(rèn)知掌握必備知識(shí)二、空間直線的向量表示1.確定直線l的條件:直線上_______與直線的___________.2.空間直線的向量表示式:取定空間中任意一點(diǎn)O,則點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使

=_______.若在直線l上取

=a,則

=________.一、點(diǎn)P的位置向量在空間中,取一定點(diǎn)O作為基點(diǎn),那么空間中任意一點(diǎn)P可以用向量

表示,向量

稱為點(diǎn)P的位置向量.一點(diǎn)A方向向量a+ta+t

[診斷]辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”).(1)直線l的方向向量a是唯一的. (

)(2)直線l的方向向量a一定是單位向量. (

)(3)空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定. (

)提示:(1)直線的方向向量有無數(shù)個(gè),它們分別是共線向量.(2)直線的方向向量是指和這條直線平行或共線的非零向量,不一定是單位向量.××√三、用向量表示平面1.由平面α上一定點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量確定空間平面ABC的向量表示式:取定空間中任意一點(diǎn)O,則空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x,y,使___________________.2.由平面α上一定點(diǎn)及其法向量確定平面:若直線l⊥α,取直線l的__________a,則向量a叫做平面α的法向量.給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a,那么過點(diǎn)A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可表示為集合{P|a·=0}.=+x

+y

方向向量【批注】1.平面的兩種向量表示方法(1)用平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)A和這個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量a和b表示,這時(shí),對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P,存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使得

=xa+yb.(2)用平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)A和平面的一個(gè)法向量a來表示,這時(shí)平面可以用集合{P|a·=0}來刻畫.2.對(duì)平面的法向量的理解所謂平面的法向量,就是指與平面垂直的直線的方向向量,顯然一個(gè)平面的法向量有無數(shù)個(gè),它們是共線向量.在實(shí)際應(yīng)用中,根據(jù)題意可以選取單位向量或各坐標(biāo)為整數(shù)的向量作為法向量.在空間中,給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a,那么以向量a為法向量且經(jīng)過點(diǎn)A的平面是唯一確定的.[診斷](教材改編題)如圖空間直角坐標(biāo)系中,ABCD-A1B1C1D1為棱長(zhǎng)為1的正方體,則平面CB1D1的法向量為________.

學(xué)習(xí)任務(wù)一

直線的方向向量(數(shù)學(xué)運(yùn)算)1.(多選題)若點(diǎn)A(0,1,2),B(2,5,8)在直線l上,則直線l的一個(gè)方向向量為 (

)A.(-3,-2,-1) B.(-1,-2,-3)C.(2,1,3) D.(1,2,3)合作探究形成關(guān)鍵能力

角度2

法向量的應(yīng)用【典例2】在直三棱柱ABC-A1B1C1

中,CA=CB=1,∠ACB=90°,平面A1B1C

的一個(gè)法向量為n=(-2,-2,1),則棱AA1

的長(zhǎng)為________.

2.在正方體ABCD-A1B1C1D1

中,E,F

分別為棱A1D1,A1B1

的中點(diǎn),在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中,求:(1)平面BDD1B1

的一個(gè)法向量;(2)平面BDEF

的一個(gè)法向量.【補(bǔ)償訓(xùn)練】

(2022·南京高二檢測(cè))如圖,在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M在棱C1C上,且CM=2MC1.以D為原點(diǎn),DA