北京市第四中學高二下學期期中考試數(shù)學（文）試題

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精北京四中2016-2017學年下學期高二年級期中考試數(shù)學試卷(文試卷分為兩卷,卷（I）100分，卷（II）50分，共計150分,考試時間120分鐘.卷(I）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分,共50分。1.復數(shù)=A。+iB.+iC.1—iD.1+i【答案】D【解析】，故選D。2。下列求導正確的是A.(3x2-2)'=3xB.（log2x）'=C。(cosx)’=sinxD。（）'=x【答案】B，B正確；，C不正確；，D不正確。故選B.3。曲線y=x·ex在x=1處切線的斜率等于A.2eB.eC。2D.1【答案】A【解析】時，，故選A。4.設a>0，b>0，則“a>b”是“l(fā)na〉lnb”的A。充分不必要條件B.必要不充分條件C。既不充分也不必要條件D。充要條件【答案】D【解析】因為為增函數(shù),故有時,，同時,若必有，故是的充要條件,故選D.5.函數(shù)f（x）=3+xlnx的單調(diào)遞增區(qū)間為A.（0，)B。(e,+∞）C.（，+∞）D。(，e）。..【答案】C【解析】，令，解得，故增區(qū)間為（，+∞），故選C.6.在復平面內(nèi)，復數(shù)（i是虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)對應的點位于A。第四象限B。第三象限C.第二象限D(zhuǎn)。第一象限【答案】D【解析】試題分析：由題意得復數(shù)，所以共軛復數(shù)為，在負平面內(nèi)對應的點為位于第一象限，故選D．考點：復數(shù)的運算及表示．7。命題“x0∈（0，+∞）,lnx0=x0—1”的否定是A。x0∈（0，+∞）,lnx0≠x0-1B.x0（0，+∞），1nx0=x0—1C.x∈（0，+∞）,lnx≠x—1D.x（0，+∞），lnx=x—1【答案】C【解析】命題“x0∈（0,+∞）,lnx0=x0—1"為特稱命題，否定為全稱命題：x∈（0，+∞），lnx≠x—1，故選C。8.已知f(x）=1+(1+x）+（1+x)2+（1+x）3+…+（1+x）n，則f'（0）=A。nB。n—1C。D.【答案】D【解析】，,故選D。9.函數(shù)f（x)=x3+ax2+（a+6）x+1有極大值和極小值，則實數(shù)a的取值范圍是A。（—1，2）B.（-3，6）C。(—∞，—3)∪（6，+∞）D。（-∞,-1）∪（2，+∞)【答案】C【解析】根據(jù)題意可得：，解得或，故選C.點睛:由函數(shù)的極值點的定義知,首先滿足函數(shù)在該點處的導數(shù)值為0，其次需要導函數(shù)在該點處左右兩側(cè)的導數(shù)值異號，我們稱之為導函數(shù)的“變號零點”，則為函數(shù)的極值點,所以研究函數(shù)的極值點只需研究導函數(shù)的圖像能“穿過"軸即可.10.方程x2=xsinx+cosx的實數(shù)解個數(shù)是A.3B。0C.2D。1【答案】C【解析】令，,因為，所以有，當時，,函數(shù)單增；當時，函數(shù)單減，。。。，且，故函數(shù)有兩個零點,故選C.點睛：本題考查函數(shù)導數(shù)與單調(diào)性.確定零點的個數(shù)問題:可利用數(shù)形結合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復雜，可結合導數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題,可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.恒成立問題以及可轉(zhuǎn)化為恒成立問題的問題，往往可利用參變分離的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值處理．也可構造新函數(shù)然后利用導數(shù)來求解.注意利用數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分,共30分。11。復數(shù)(2+i）·i的模為___________.【答案】【解析】。12.命題“若a—b=0，則（a—b）（a+b）=0”的逆否命題為___________.【答案】若（a-b)(a+b）≠0則a—b≠0【解析】命題“若a—b=0，則（a—b）(a+b）=0”的逆否命題為：若(a—b）（a+b）≠0則a-b≠0。13.若曲線y=x3+x—2上的在點P0處的切線平行于直線y=4x—1，則P0坐標為__________?！敬鸢浮浚?，0）或(—1，—4）【解析】函數(shù)求導，,令,解得,當，，；當，。綜上：P0坐標為（1,0）或（—1，—4).點睛：求曲線的切線方程是導數(shù)的重要應用之一，用導數(shù)求切線方程的關鍵在于求出切點及斜率，其求法為:設是曲線上的一點，則以的切點的切線方程為：．若曲線在點的切線平行于軸(即導數(shù)不存在)時，由切線定義知，切線方程為．14。函數(shù)f（x）=在區(qū)間的最大值為___________.【答案】3【解析】，當函數(shù)單增；當函數(shù)單減。.15.若命題“x{x｜x2—5x+4>0｝”是假命題，則x的取值范圍是___________.【答案】1≤x≤4【解析】命題“x{x|x2-5x+4〉0}”是假命題，則，解得.16.對于函數(shù)y=f（x）,xD，若對于任意x1D，存在唯一的x2D，使得，則稱函數(shù)f(x）在D上的幾何平均數(shù)為M。那么函數(shù)f（x）=x3—x2+1，在x=上的幾何平均數(shù)M=____________?！敬鸢浮俊窘馕觥扛鶕?jù)已知中關于函數(shù)f（x)在D上的幾何平均數(shù)為M的定義，由于f(x)的導數(shù)為在內(nèi)f′(x)>0，則f（x)=x3?x2+1在區(qū)間單調(diào)遞增，..。則x1=1時，存在唯一的x2=2與之對應，且x=1時,f（x）取得最小值1，x=2時,取得最大值5，故M=故答案為：。三、解答題:本大題共2小題，共20分。17.設函數(shù)f(x）=lnx—x2+x。（I）求f（x)的單調(diào)區(qū)間；（II）求f（x）在區(qū)間上的最大值.【答案】(I）f（x)的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1,+∞）;(II)f（x）max=f（1）=0，f(x)max=f（1）=a—1.【解析】試題分析：（1）求導,可得單調(diào)區(qū)間;(2）根據(jù)單調(diào)性可求最值。試題解析：（I）因為f(x)=lnx-x2+x其中x>0所以f’(x）=—2x+1=-所以f(x）的增區(qū)間為（0,1），減區(qū)間為(1，+∞）。（II）由（I)f（x）在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴f（x)max=f(1）=0，f（x)max=f（1）=a-1。18。已知函數(shù)f（x）=，其中a∈R.（I）當a=1時，求曲線y=f（x）在原點處的切線方程；（II)求f(x)的極值?！敬鸢浮浚↖）2x—y=0；(II）見解析.【解析】試題分析：（1）求出在原點處的導數(shù)值，得斜率，即可求出切線方程;(2）求出導數(shù),討論單調(diào)性得極值。試題解析：(I）解：當a=1時，f（x)=，f'（x）=-2?！?分由f'(0）=2，得曲線y=f（x）在原點處的切線方程是2x—y=0.………4分（II)解：f’(x）=—2.………6分①當a=0時，f’（x）=。所以f（x）在(0，+∞）單調(diào)遞增，（—∞，0)單調(diào)遞減。………………7分當a≠0，f’（x)=—2a..。.②當a>0時，令f'（x）=0，得x1=—a，x2=,f（x）與f’(x）的情況如下：x（—∞，x1）x1（x1,x2）x2（x2，+∞）f’（x)-0+0—f（x）↘f（x1）↗f（x2)↘故f（x)的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，—a)，(,+∞）；單調(diào)增區(qū)間是（-a，）。f(x）有極小值f(—a）=—1，有極大值f（)=a2………10分③當a<0時，f（x）與f'(x）的情況如下：x（—∞,x2）x2（x2,x1)x1（x1，+∞）f'（x)。..+0-0+f（x)↗f（x2）↘f（x1）↗所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，）;單調(diào)減區(qū)間是（—，-a），（-a,+∞）。f（x）有極小值f（—a）=—1，有極大值f（)=a2………………12分綜上,a>0時，f(x)在（—∞,-a）,(,+∞）單調(diào)遞減;在(-a，）單調(diào)遞增。a=0時，f（x)在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（—∞，0）單調(diào)遞減，f(x)有極小值f（—a）=-1,有極大值,f（)=a2；a<0時，f（x）在(—∞，），(-a，+∞）單調(diào)遞增；在（，—a)單調(diào)遞減，f（x)有極小值f(-a）=-1，有極大值f（)=a2。點睛:由函數(shù)的極值點的定義知，首先滿足函數(shù)在該點處的導數(shù)值為0,其次需要導函數(shù)在該點處左右兩側(cè)的導數(shù)值異號，我們稱之為導函數(shù)的“變號零點”，則為函數(shù)的極值點,所以研究函數(shù)的極值點只需研究導函數(shù)的圖像能“穿過”軸即可.卷（II)一、選擇題：本大題共3小題,每小題5分,共15分。19.若函數(shù)f（x)=x3—ax2+（a-1)x+1在區(qū)間（1，+∞)上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是A。D。（—∞，2)【答案】C【解析】若函數(shù)f（x）=x3—ax2+（a—1）x+1在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，則在（1,+∞）上恒成立，化簡得，當,，只需,故選C。20.觀察（）'=—，（x3)’=3x2，（sinx）'=cosx，由歸納推理可得：若函數(shù)f（x）在其定義域上滿足f（—x）=-f（x）,記g（x)為f（x）的導函數(shù)，則g（—x）=A.—f（x)B。f(x）C.g(x）D.-g(x)【答案】C。。.【解析】歸納推理可得奇函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)，故g（-x)=g（x），故選C.21.若i為虛數(shù)單位，設復數(shù)z滿足|z｜=1，則｜z-1+i｜的最大值為A。-1B。2—C。+1D。2+【答案】C【解析】復數(shù)z滿足｜z|=1，|z-1+i｜的幾何意義是單位圓上的點與（1,—1)點的距離，則|z—1+i｜的最大值+1。故選C.二、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。22.曲線y=xn在x=2處的導數(shù)為12，則正整數(shù)n=__________.【答案】3【解析】曲線y=xn在x=2處的導數(shù),解得n=3.23.若a>0,b〉0，且函數(shù)f（x）=4x3-ax2-2bx在x=1處有極值，則ab的最大值為________?！敬鸢浮?【解析】導函數(shù),∵在x=1處有極值，∴a+b=6，∵a〉0,b〉0，∴，當且僅當a=b=3時取等號，∴ab的最大值等于9。故答案為:924.已知函數(shù)f（x）=sinx—x，x∈.cosx0=（x0∈，那么下面命題中真命題的序號是__________.①f(x）的最大值為f（x0)②f（x）的最小值為f（x0)③f（x）在上是減函數(shù)④f（x）在上是減函數(shù)【答案】①④【解析】的導數(shù),又.,（x0∈），∴函數(shù)f(x）在上是增函數(shù),f（x)在上是減函數(shù)∴f(x）的最大值為f(x0)由此知①④是正確命題..。故答案為①④。三、解答題：本大題共2小題，共20分。25。已知函數(shù)f（x)=x3+ax2+bx+a2。（I）若f（x）在x=1處有極值10，求a，b的值;（II)若當a=-1時，f（x)<0在x∈恒成立，求b的取值范圍【答案】（I)；（II）b〈—【解析】試題分析:（1)首先對f（x）求導，然后由題設在x=1時有極值10可得f'（1）=0，f（1）=10，解得即可；（2）x3-x2+bx+1〈0在x∈恒成立,即b〈在x∈恒成立，令g（x)=,即可求出b的取值范圍．試題解析：（I）f'（x）=3x2+2ax+b，由題設有f’（1)=0，f（1)=10即解得或經(jīng)驗證，若則f’（x)=3x2—6x+3=3（x-1）2當x>1或x<1時，均有f’（x）〉0，可知此時x=1不是f（x）的極值點，故舍去符合題意，故。(II）當a=—1時,f（x)=x3-x2+bx+l若f（x）<0在x∈恒成立，即x3—x2+bx+1〈0在x∈恒成立即b<在x∈恒成立令g（x）=，則g'（x）==（法一：由g'(x）=0解得x=1…）（法二）由—2x3+x2+1=1—x3+x2（1—x）可知x∈時g’(x）〈0即g（x）=在x∈單調(diào)遞減（g（x））max=g（2）=-∴b〈—時，f（x）<0在x∈恒成立。點睛：利用導數(shù)解決不等式恒成立問題的“兩種”常用方法(1）分離參數(shù)法：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求該函數(shù)的最值，根據(jù)要求得所求范圍.一般地，f(x）≥a恒成立，只需f（x)min≥a即可;f（x)≤a恒成立，只需f（x）max≤a即可.(2）函數(shù)思想法：將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求該函數(shù)的極值（最值)，然后構建不等式求解.26。已知函數(shù)f（x）=x3-3ax+e，g（x）=1-lnx,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).。。.（I）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線l：x+2y=0垂直,求實數(shù)a的值；（II）設函數(shù)F（x）=—x，若F(x）在區(qū)間（m,m+1）（m∈Z)內(nèi)存在唯一的極值點，求m的值；（III)用max｛m，n}表示m,n中的較大者，記函數(shù)h（x）=max｛f（x)，g（x）｝（x〉0）.若函數(shù)h（x)在(0，+∞）上恰有2個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（I）a=;（II）m=0或m=3；(III)a>?！窘馕觥吭囶}分析：（Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),計算f′（1）,求出a的值即可;

（Ⅱ）求出函數(shù)F（x）的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值點，求出對應的m的值即可;

(Ⅲ）通過討論a的范圍求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，結合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點個數(shù)確定a的范圍即可．試題解析：（I）易得，f'（x)=3x2-3a,所以f'（1）=3-3a，依題意,（3-3a）（-）=-1,解得a=;（II）因為F（x）=-x=-x=xlnx-x2+x，則F'（x）=lnx+l—x+l=lnx-x+2.設t(x）=lnx-x+2，則t'(x）=—1=.令t'（x）=0，得x=1.則由t'（x)〉0,得0〈x〈1，F(xiàn)’（x）為增函數(shù);由t'（x)〈0，得x〉1，F(xiàn)'(x)為減函數(shù)；而F’（)=-2-+2=-<0，F(xiàn)’(1）=1〉0.則F’（x）在（0,1）上有且只有一個零點x1,且在（0，x1)上F'（x）〈0，F(xiàn)(x）為減函數(shù)；在（x1,1）上F’(x）>0，F(xiàn)（x)為增函數(shù)。所以x1為極值點，此時m=0.又F'(3）=ln3-1〉0，F(xiàn)'（4)=21n2—2〈0,則F’(x）在（3，4）上有且只有一個零點x2,且在(3，x2）上F'（x)〉0，F(xiàn)（x)為增函數(shù)；在（x2，4）上F’(x）〈0，F(xiàn)(x）為減函數(shù).所以x2為極值點,此時m=3。綜上m=0或m=3。（III）(1）當