高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題第8節(jié) 二項(xiàng)分布與超幾何分布、正態(tài)分布

第8節(jié)二項(xiàng)分布與超幾何分布、正態(tài)分布考試要求1.理解二項(xiàng)分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實(shí)際問題.2.借助正態(tài)分布曲線了解正態(tài)分布的概念，并進(jìn)行簡單應(yīng)用.1.伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)伯努利試驗(yàn)只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)；將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).(2)二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0＜p＜1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p).2.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).3.超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.4.正態(tài)分布(1)定義若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·eeq\f(－（x－μ）2,2σ2)，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0為參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2).(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱.②曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).③當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸.(3)3σ原則①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.1.二項(xiàng)分布當(dāng)n＝1時(shí)就是兩點(diǎn)分布.2.若X服從正態(tài)分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱和曲線與x軸之間的面積為1解題.3.利用n重伯努利試驗(yàn)概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k的三個(gè)條件：(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p；(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布.()(2)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.()(3)n重伯努利試驗(yàn)中各次試驗(yàn)的結(jié)果必須相互獨(dú)立.()(4)正態(tài)分布是對于連續(xù)型隨機(jī)變量而言的.()答案(1)√(2)√(3)√(4)√2.(2022·濟(jì)南模擬)從裝有3個(gè)白球、4個(gè)紅球的箱子中，隨機(jī)取出了3個(gè)球，恰好是2個(gè)白球、1個(gè)紅球的概率是()A.eq\f(4,35) B.eq\f(6,35) C.eq\f(12,35) D.eq\f(36,343)答案C解析如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，則這是一個(gè)超幾何分布問題，故所求概率為P＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(12,35).3.(易錯(cuò)題)甲、乙兩羽毛球運(yùn)動(dòng)員之間的訓(xùn)練，要進(jìn)行三場比賽，且這三場比賽可看做三次伯努利試驗(yàn)，若甲至少取勝一次的概率為eq\f(63,64)，則甲恰好取勝一次的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4) C.eq\f(9,64) D.eq\f(27,64)答案C解析假設(shè)甲取勝事件為A，設(shè)每次甲勝的概率為p，由題意得，事件A發(fā)生的次數(shù)X～B(3，p)，則有1－(1－p)3＝eq\f(63,64)，得p＝eq\f(3,4)，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為Ceq\o\al(1,3)×eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,64).4.(2022·石家莊模擬)甲、乙兩位選手進(jìn)行乒乓球比賽，5局3勝制，每局甲贏的概率是eq\f(2,3)，乙贏的概率是eq\f(1,3)，則甲以3∶1獲勝的概率是()A.eq\f(8,27) B.eq\f(16,27) C.eq\f(16,81) D.eq\f(32,81)答案A解析甲以3∶1獲勝是指前3局比賽中甲2勝1負(fù)，第4局比賽甲勝，∴甲以3∶1獲勝的概率是P＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27).5.(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，下列結(jié)論中不正確的是()A.σ越小，該物理量在一次測量中在(9.9，10.1)的概率越大B.σ越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.σ越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.σ越小，該物理量在一次測量中落在(9.9，10.2)與落在(10，10.3)的概率相等答案D解析對于A，σ2為數(shù)據(jù)的方差，所以σ越小，數(shù)據(jù)在μ＝10附近越集中，所以測量結(jié)果落在(9.9，10.1)內(nèi)的概率越大，故A正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5，故B正確；對于C，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故C正確；對于D，因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y量結(jié)果落在(9.9，10.0)的概率與落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次測量結(jié)果落在(9.9，10.2)的概率與落在(10，10.3)的概率不同，故D錯(cuò)誤.6.(易錯(cuò)題)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，則c＝________.答案eq\f(4,3)解析∵X～N(3，1)，∴正態(tài)曲線關(guān)于x＝3對稱，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，∴2c－1＋c＋3＝2×3，∴c＝eq\f(4,3).考點(diǎn)一二項(xiàng)分布例1(2022·武漢調(diào)研)為貫徹“不忘立德樹人初心，牢記為黨育人、為國育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3＋1＋2”模型，“3”是語文、外語、數(shù)學(xué)三科必考，“1”是在物理與歷史兩科中選擇一科，“2”是在化學(xué)、生物、政治、地理四科中選擇兩科作為高考科目.某學(xué)校為做好選課走班教學(xué)，給出三種可供選擇的組合進(jìn)行模擬選課，其中A組合：物理、化學(xué)、生物，B組合：歷史、政治、地理，C組合：物理、化學(xué)、地理，根據(jù)選課數(shù)據(jù)得到，選擇A組合的概率為eq\f(3,5)，選擇B組合的概率為eq\f(1,5)，選擇C組合的概率為eq\f(1,5)，甲、乙、丙三位同學(xué)每人選課是相互獨(dú)立的.(1)求這三位同學(xué)恰好選擇互不相同的組合的概率；(2)記η表示這三人中選擇含地理的組合的人數(shù)，求η的分布列及數(shù)學(xué)期望.解用Ai表示第i位同學(xué)選擇A組合，用Bi表示第i位同學(xué)選擇B組合，用Ci表示第i位同學(xué)選擇C組合，i＝1，2，3.由題意可知，Ai，Bi，Ci互相獨(dú)立，且P(Ai)＝eq\f(3,5)，P(Bi)＝eq\f(1,5)，P(Ci)＝eq\f(1,5).(1)三位同學(xué)恰好選擇不同的組合共有Aeq\o\al(3,3)＝6種情況，每種情況的概率相同，故三位同學(xué)恰好選擇不同組合的概率P＝6×P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×eq\f(3,5)×eq\f(1,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(18,125).(2)由題意知η的所有可能取值為0，1，2，3，且η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，所以P(η＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(27,125)，P(η＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(54,125)，P(η＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(1)＝eq\f(36,125)，P(η＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(0)＝eq\f(8,125)，所以η的分布列為η0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)所以E(η)＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝eq\f(6,5).感悟提升判斷某隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的關(guān)鍵點(diǎn)(1)在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同.(2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的.(3)在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生.訓(xùn)練1(2022·蘇北四市調(diào)研)某社區(qū)組織開展“掃黑除惡”宣傳活動(dòng)，為鼓勵(lì)更多的人積極參與到宣傳活動(dòng)中來，宣傳活動(dòng)現(xiàn)場設(shè)置了抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié).在盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“掃黑除惡利國利民”或“普法宣傳人人參與”圖案.抽獎(jiǎng)規(guī)則：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張分別是“普法宣傳人人參與”和“掃黑除惡利國利民”卡即可獲獎(jiǎng)，否則，均為不獲獎(jiǎng).卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復(fù)進(jìn)行.活動(dòng)開始后，一位參加者問：“盒中有幾張‘普法宣傳人人參與’卡？”主持人答：“我只知道，從盒中抽取兩張都是‘掃黑除惡利國利民’卡的概率是eq\f(1,6).”(1)求抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率；(2)為了增加抽獎(jiǎng)的趣味性，規(guī)定每個(gè)抽獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有9張卡片的盒中隨機(jī)抽出1張不放回，再用剩下8張卡片按照之前的抽獎(jiǎng)規(guī)則進(jìn)行抽獎(jiǎng)，現(xiàn)有甲、乙、丙三人依次抽獎(jiǎng)，用X表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求X的分布列和均值.解(1)設(shè)“掃黑除惡利國利民”卡有n張，由eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,9))＝eq\f(1,6)，得n＝4，故“普法宣傳人人參與”卡有5張，抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率為eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,9))＝eq\f(5,9).(2)在新規(guī)則下，每個(gè)抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率為eq\f(4,9)×eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,8))＋eq\f(5,9)×eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(5,9)，所以X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5,9)))，X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)))eq\s\up12(k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up12(3－k)(k＝0，1，2，3)，X0123Peq\f(64,729)eq\f(80,243)eq\f(100,243)eq\f(125,729)所以E(X)＝3×eq\f(5,9)＝eq\f(5,3).考點(diǎn)二超幾何分布例2為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，并求E(X).解(1)由已知，有P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(4,8))＝eq\f(6,35).所以事件A發(fā)生的概率為eq\f(6,35).(2)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，X的所有可能取值為1，2，3，4.P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,5)Ceq\o\al(4－k,3),Ceq\o\al(4,8))(k＝1，2，3，4).故P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(4,8))＝eq\f(1,14)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(4,8))＝eq\f(3,7)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(4,8))＝eq\f(3,7)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(0,3),Ceq\o\al(4,8))＝eq\f(1,14)，所以隨機(jī)變量X的分布列為X1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)所以E(X)＝1×eq\f(1,14)＋2×eq\f(3,7)＋3×eq\f(3,7)＋4×eq\f(1,14)＝eq\f(5,2).感悟提升(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布.(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型.訓(xùn)練2端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個(gè).(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列，并求E(X).解(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,4).(2)X的所有可能值為0，1，2，且P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).綜上知，X的分布列為X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)所以E(X)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5).考點(diǎn)三正態(tài)分布例3(1)(2022·沈陽調(diào)研)為了解高三復(fù)習(xí)備考情況，其校組織了一次階段考試.若高三全體考生的數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布N(100，17.52).已知成績在117.5分以上(不含117.5分)的學(xué)生有80人，則此次參加考試的學(xué)生成績低于82.5分的概率為________；如果成績大于135分的為特別優(yōu)秀，那么本次數(shù)學(xué)考試成績特別優(yōu)秀的大約有________人.(若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.96)答案0.1610解析因?yàn)閿?shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(100，17.52)，則P(100－17.5≤X≤100＋17.5)＝P(82.5≤X≤117.5)≈0.68，所以此次參加考試的學(xué)生成績低于82.5分的概率P(X＜82.5)＝eq\f(1－P（82.5≤X≤117.5）,2)≈eq\f(1－0.68,2)＝0.16.又P(100－17.5×2≤X≤100＋17.5×2)＝P(65≤X≤135)≈0.96，所以數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的概率P(X＞135)＝eq\f(1－P（65≤X≤135）,2)≈eq\f(1－0.96,2)＝0.02.又P(X＜82.5)＝P(X＞117.5)＝0.16，則本次考試數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的人數(shù)大約是eq\f(80,0.16)×0.02＝10.(2)(多選)(2021·青島質(zhì)檢)近年來中國進(jìn)入一個(gè)鮮花消費(fèi)的增長期，某農(nóng)戶利用精準(zhǔn)扶貧政策，貸款承包了一個(gè)新型溫室鮮花大棚，種植銷售紅玫瑰和白玫瑰.若這個(gè)大棚的紅玫瑰和白玫瑰的日銷量分別服從正態(tài)分布N(μ，302)和N(280，402)，則下列選項(xiàng)正確的是()附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.A.若紅玫瑰日銷售量范圍在(μ－30，280)的概率是0.6827，則紅玫瑰日銷售量的平均數(shù)約為250B.紅玫瑰日銷售量比白玫瑰日銷售量更集中C.白玫瑰日銷售量比紅玫瑰日銷售量更集中D.白玫瑰日銷售量范圍在(280，320)的概率約為0.34135答案ABD解析對于選項(xiàng)A：μ＋30＝280，μ＝250，正確；對于選項(xiàng)BC：利用σ越小越集中，30小于40，B正確，C不正確；對于選項(xiàng)D：P(280＜X＜320)＝P(μ＜X＜μ＋σ)≈0.6827×eq\f(1,2)≈0.34135，正確.感悟提升解決正態(tài)分布問題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對稱軸x＝μ；(2)標(biāo)準(zhǔn)差σ；(3)分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.訓(xùn)練3(2022·安徽五校聯(lián)盟質(zhì)檢)在某市高中某學(xué)科競賽中，某一個(gè)區(qū)4000名考生的參賽成績統(tǒng)計(jì)如圖所示.(1)求這4000名學(xué)生的競賽平均成績eq\o(x,\s\up6(－))(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)由直方圖可認(rèn)為考生競賽成績z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分別取考生的平均成績eq\o(x,\s\up6(－))和考生成績的方差s2，那么該區(qū)4000名考生的成績超過84.81分(含84.81分)的人數(shù)估計(jì)有多少？(3)如果用該區(qū)參賽考生成績的情況來估計(jì)全市的參賽考生的成績情況，現(xiàn)從全市參賽考生中隨機(jī)抽取4名，記成績不超過84.81分的考生人數(shù)為ξ，求P(ξ≤3).(精確到0.001)附：①s2＝204.75，eq\r(204.75)≈14.31；②0.84134≈0.501；③z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜z＜μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜z＜μ＋2σ)≈0.9545.解(1)由題意知中點(diǎn)值455565758595頻率0.10.150.20.30.150.1∴eq\o(x,\s\up6(－))＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，∴這4000名學(xué)生的競賽平均成績eq\o(x,\s\up6(－))為70.5分.(2)依題意z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ＝eq\o(x,\s\up6(－))＝70.5，σ2＝s2＝204.75，σ＝14.31，∴z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)＝N(70.5，14.312)，而P(μ－σ＜z＜μ＋σ)＝P(56.19＜z＜84.81)≈0.6827，∴P(z≥84.81)≈eq\f(1－0.6827,2)≈0.1587.又0.1587×4000＝634.8≈635.∴競賽成績超過84.81分的人數(shù)估計(jì)為635.(3)全市競賽考生的成績不超過84.81分的概率p≈1－0.1587＝0.8413.而ξ～B(4，0.8413)，∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－Ceq\o\al(4,4)×0.84134≈1－0.501＝0.499.二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系1.教材和考題中常涉及二項(xiàng)分布與超幾何分布，學(xué)生對這兩種模型的定義不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的題型，就認(rèn)為是超幾何分布，不加分析，濫用公式，運(yùn)算對象不明晰，事實(shí)上，超幾何分布和二項(xiàng)分布確實(shí)有著密切的聯(lián)系，但也有明顯的區(qū)別.2.超幾何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不獨(dú)立，二項(xiàng)分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互獨(dú)立.當(dāng)超幾何分布所對應(yīng)的總體數(shù)量很大時(shí)可以近似地看作二項(xiàng)分布.例1寫出下列離散型隨機(jī)變量的分布列，并指出其中服從二項(xiàng)分布的是哪些？服從超幾何分布的是哪些？(1)X1表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù).(2)有一批產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件(N＞M＞0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n＞N)，抽出的次品件數(shù)為X2.(3)有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽n件，出現(xiàn)次品的件數(shù)為X3(N－M＞n＞0).解(1)X1的分布列為X1012…nPCeq\o\al(0,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)Ceq\o\al(1,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n－1)Ceq\o\al(2,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n－2)…Ceq\o\al(n,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n)X1服從二項(xiàng)分布，即X1～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,3))).(2)X2的分布列為X2012…nPeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(M,N)))eq\s\up12(n)Ceq\o\al(1,n)eq\f(M,N)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(M,N)))eq\s\up12(n－1)Ceq\o\al(2,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(M,N)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(M,N)))eq\s\up12(n－2)…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(M,N)))eq\s\up12(n)X2服從二項(xiàng)分布，即X2～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(M,N))).(3)X3的分布列為X301…k…nPeq\f(Ceq\o\al(n,N－M),Ceq\o\al(n,N))eq\f(Ceq\o\al(1,M)Ceq\o\al(n－1,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(n,M),Ceq\o\al(n,N))X3服從超幾何分布.例2某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到樣本的頻率分布直方圖(如下圖).(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列.解(1)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3＝12(件).(2)質(zhì)量超過505的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則質(zhì)量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件，X的取值為0，1，2，X服從超幾何分布.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,28),Ceq\o\al(2,40))＝eq\f(63,130)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,12)Ceq\o\al(1,28),Ceq\o\al(2,40))＝eq\f(28,65)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,12),Ceq\o\al(2,40))＝eq\f(11,130)，∴X的分布列為X012Peq\f(63,130)eq\f(28,65)eq\f(11,130)(3)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過505克的概率為eq\f(12,40)＝eq\f(3,10).從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成2重伯努利試驗(yàn)，質(zhì)量超過505克的件數(shù)Y的可能取值為0，1，2，且Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,10)))，P(Y＝k)＝Ceq\o\al(k,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,10)))eq\s\up12(2－k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(k)，k＝0，1，2.所以P(Y＝0)＝Ceq\o\al(0,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))eq\s\up12(2)＝eq\f(49,100)，P(Y＝1)＝Ceq\o\al(1,2)·eq\f(3,10)·eq\f(7,10)＝eq\f(21,50)，P(Y＝2)＝Ceq\o\al(2,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,100).∴Y的分布列為Y012Peq\f(49,100)eq\f(21,50)eq\f(9,100)1.若隨機(jī)變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，則P(X＝3)等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(40,243) C.eq\f(10,27) D.eq\f(3,5)答案B解析隨機(jī)變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，則P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(40,243).2.(2022·昆明診斷)袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，則3次中恰有2次抽到黃球的概率是()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,5) C.eq\f(18,125) D.eq\f(54,125)答案D解析袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黃球的概率P1＝eq\f(3,5)，∴3次中恰有2次抽到黃球的概率P＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(54,125).3.一個(gè)袋中裝有4個(gè)紅球，3個(gè)黑球，小明從袋中隨機(jī)取球，設(shè)取到一個(gè)紅球得2分，取到一個(gè)黑球得1分，從袋中任取4個(gè)球，則小明得分大于6分的概率是()A.eq\f(13,35) B.eq\f(14,35) C.eq\f(18,35) D.eq\f(22,35)答案A解析記得分為X，則X的可能取值為5，6，7，8，P(X＝7)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(12,35)；P(X＝8)＝eq\f(Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(0,3),Ceq\o\al(4,7))＝eq\f(1,35)，所以P(X＞6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝eq\f(12,35)＋eq\f(1,35)＝eq\f(13,35).4.據(jù)統(tǒng)計(jì)，某臍橙的果實(shí)橫徑(單位：mm)服從正態(tài)分布N(80，52)，則果實(shí)橫徑在[75，90]內(nèi)的概率為()附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.A.0.6827 B.0.8413C.0.8186 D.0.9545答案C解析由題意得σ＝5，則P(80－5≤X≤80＋5)≈0.6827，所以P(75≤X≤85)≈0.6827；P(80－10≤X≤80＋10)≈0.9545，所以P(70≤X≤90)≈0.9545.所以P(85≤X≤90)≈eq\f(0.9545－0.6827,2)＝0.1359，所以果實(shí)橫徑在[75，90]內(nèi)的概率為0.6827＋0.1359＝0.8186.5.(多選)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(100，102)，則下列選項(xiàng)正確的是()(參考數(shù)值：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973)A.E(X)＝100B.D(X)＝100C.P(X＞90)≈0.84135D.P(X＜120)≈0.99865答案ABC解析∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(100，102)，∴正態(tài)曲線關(guān)于x＝100對稱，且E(X)＝100，D(X)＝102＝100，根據(jù)題意可得，P(90≤X≤110)≈0.6827，P(80≤X≤120)≈0.9545，∴P(X＞90)≈0.5＋eq\f(1,2)×0.6827＝0.84135，故C正確；P(X＜120)≈0.5＋eq\f(1,2)×0.9545＝0.97725，故D錯(cuò)誤.而A，B都正確.故選ABC.6.(多選)某人參加一次測試，在備選的10道題中，他能答對其中的5道.現(xiàn)從備選的10道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試，規(guī)定至少答對2題才算合格.則下列選項(xiàng)正確的是()A.答對0題和答對3題的概率相同，都為eq\f(1,8)B.答對1題的概率為eq\f(3,8)C.答對2題的概率為eq\f(5,12)D.合格的概率為eq\f(1,2)答案CD解析設(shè)此人答對題目的個(gè)數(shù)為ξ，則ξ＝0，1，2，3，P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,5)Ceq\o\al(3,5),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(0,5),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)，則答對0題和答對3題的概率相同，都為eq\f(1,12)，故A錯(cuò)誤；答對1題的概率為eq\f(5,12)，故B錯(cuò)誤；答對2題的概率為eq\f(5,12)，故C正確；合格的概率p＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,2)，故D正確.故選CD.7.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(a，4)，且P(X＞1)＝0.5，P(X＞2)＝0.3，則P(X＜0)＝________.答案0.3解析隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(a，4)，所以曲線關(guān)于x＝a對稱，且P(X＞a)＝0.5.由P(X＞1)＝0.5，可知a＝1，所以P(X＜0)＝P(X＞2)＝0.3.8.(2022·濟(jì)南模擬)某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6，經(jīng)過三次射擊，此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為________.答案0.648解析設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，則X～B(3，0.6).故P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝Ceq\o\al(2,3)0.62(1－0.6)＋Ceq\o\al(3,3)0.63＝0.648.9.(2021·寧波期末)一個(gè)箱子中裝有形狀、大小完全相同的5個(gè)白球和n(n∈N*)個(gè)黑球.現(xiàn)從中有放回地摸取4次，每次都是隨機(jī)摸取一球，設(shè)摸得白球個(gè)數(shù)為X，若D(X)＝1，則E(X)＝________.答案2解析由題意，X～B(4，p)，∵D(X)＝4p(1－p)＝1，∴p＝eq\f(1,2)，E(X)＝4p＝4×eq\f(1,2)＝2.10.甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試，至少答對2題才算合格.(1)設(shè)甲、乙兩人在考試中答對的題數(shù)分別為X，Y，寫出隨機(jī)變量X，Y的分布列；(2)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.解(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(4,120)＝eq\f(1,30)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(36,120)＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(60,120)＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,6),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(20,120)＝eq\f(1,6)，所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123Peq\f(1,30)eq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,6)隨機(jī)變量Y的所有可能取值為1，2，3，P(Y＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(8,120)＝eq\f(1,15)，P(Y＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(56,120)＝eq\f(7,15)，P(Y＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(56,120)＝eq\f(7,15)，所以隨機(jī)變量Y的分布列為Y123Peq\f(1,15)eq\f(7,15)eq\f(7,15)(2)由(1)知甲合格的概率為P(A)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)，乙合格的概率為eq\f(7,15)＋eq\f(7,15)＝eq\f(14,15)，因?yàn)槭录嗀，B相互獨(dú)立，所以甲、乙兩人均不合格的概率為P(eq\o(A,\s\up6(－))·eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(14,15)))＝eq\f(1,3)×eq\f(1,15)＝eq\f(1,45)，所以甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為1－eq\f(1,45)＝eq\f(44,45).11.為了拓展網(wǎng)絡(luò)市場，某公司為手機(jī)客戶端用戶推出了多款A(yù)PP應(yīng)用，如“農(nóng)場”“音樂”“讀書”等.市場調(diào)查表明，手機(jī)用戶在選擇以上三種應(yīng)用時(shí)，選擇“農(nóng)場”、“音樂”、“讀書”的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6).現(xiàn)有甲、乙、丙三位手機(jī)客戶端用戶獨(dú)立任意選擇以上三種應(yīng)用中的一種進(jìn)行安裝.(1)求三人所選擇應(yīng)用互不相同的概率；(2)記ξ為三人中選擇的應(yīng)用是“農(nóng)場”與“音樂”的人數(shù)，求ξ的分布列和期望.解記第i名用戶選擇的應(yīng)用是“農(nóng)場”、“音樂”、“讀書”分別為事件Ai，Bi，Ci，i＝1，2，3.由題意知A1，A2，A3相互獨(dú)立，B1，B2，B3相互獨(dú)立，C1，C2，C3相互獨(dú)立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1，2，3且i，j，k互不相同)相互獨(dú)立，且P(Ai)＝eq\f(1,2)，P(Bi)＝eq\f(1,3)，P(Ci)＝eq\f(1,6).(1)他們選擇的應(yīng)用互不相同的概率P＝6·P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝eq\f(1,6).(2)設(shè)3位用戶選擇的應(yīng)用是“讀書”的人數(shù)是η，由已知得η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,6)))，且ξ＝3－η，所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,216)，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))eq\s\up12(2)×eq\f(5,6)＝eq\f(15,216)，P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))eq\s\up12(2)＝eq\f(75,216)，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))eq\s\up12(3)＝eq\f(125,216).故ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,216)eq\f(15,216)eq\f(75,216)eq\f(125,216)E(ξ)＝0×eq\f(1,216)＋1×eq\f(15,216)＋2×eq\f(75,216)＋3×eq\f(125,216)＝eq\f(5,2).12.(多選)(2022·徐州模擬)某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)五位二進(jìn)制數(shù)A＝a1a2a3a4a5(例如10100)，其中A的各位數(shù)中ak(k＝2，3，4，5)出現(xiàn)0的概率為eq\f(1,3)，出現(xiàn)1的概率為eq\f(2,3)，記X＝a2＋a3＋a4＋a5，則當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)()A.X服從二項(xiàng)分布B.P(X＝1)＝eq\f(8,81)C.X的均值E(X)＝eq\f(8,3)D.X的方差D(X)＝eq\f(8,3)答案ABC解析由二進(jìn)制數(shù)A的特點(diǎn)知每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字只能填0，1，且每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字再填時(shí)互不影響，故以后的5位數(shù)中后4位的所有結(jié)果有4類：①后4個(gè)數(shù)出現(xiàn)0，X＝0，記其概率為P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,81)；②后4個(gè)數(shù)只出現(xiàn)1個(gè)1，X＝1，記其概率為P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,81)；③后4個(gè)數(shù)出現(xiàn)2個(gè)1，X＝2，記其概率為P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(24,81)，④后4個(gè)數(shù)出現(xiàn)3個(gè)1，記其概率為P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(32,81)，⑤后4個(gè)數(shù)都出現(xiàn)1，X＝4，