第09講二元一次方程組中的新定義題型(原卷版+解析)-2021-2022學年下學期七年級數(shù)學下冊期末復習高頻考點專題(人教版)

第09講二元一次方程組中的新定義題型（原卷版）第一部分典例剖析+針對訓練類型一“新運算”型專題典例1（2021春?萬山區(qū)期中）定義新運算：，其中，是常數(shù)，已知，；求的值？針對訓練11．（2021?蘭山區(qū)二模）對于實數(shù)，我們定義一種新運算（其中，均為非零常數(shù)），等式右邊是通常的四則運算，由這種運算得到的數(shù)我們稱之為線性數(shù)，例如，時，．若，，則．2．（2021春?蒙陰縣期末）對于實數(shù)，，定義運算“”：，例如：，因為，所以．若，是二元一次方程組的解，則．3．（2022春?龍游縣月考）定義運算“”，規(guī)定，其中，為常數(shù)，且，，則．4．（2021春?寧波期末）對，定義一種新運算，規(guī)定：，（其中，均為非零常數(shù)）．例如：，．當，，則；當時，，，對任意有理數(shù)，都成立，則，滿足的關(guān)系式是．5．（2022春?衛(wèi)輝市期中）對于、我們定義一種新運算“※”：※，其中、類為常數(shù)，等式的右邊是通常的加法和乘法運算．已知：5※、3※，求4※3的值．

類型二“新方程”型典例2（2022春?越秀區(qū)校級期中）把（其中，是常數(shù)，，是未知數(shù)）這樣的方程稱為“雅系二元一次方程”．當時，“雅系二元一次方程”中的值稱為“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：當時，“雅系二元一次方程”化為，其“完美值”為．（1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”；（2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值；（3）是否存在，使得“雅系二元一次方程”與是常數(shù)）的“完美值”相同？若存在，請求出的值及此時的“完美值”；若不存在，請說明理由．針對訓練26．（2021春?福州期中）把（其中、是常數(shù)，是未知數(shù)）這樣的方程稱為“中雅一元一次方程”，其中“中雅一元一次方程”的的值稱為“中雅一元一次方程”的“卓越值”．例如：“中雅一元一次方程”，其“卓越值”為．（1）是“中雅一元一次方程”的“卓越值”，求的值；（2）“中雅一元一次方程”，為常數(shù)）存在“卓越值”嗎？若存在，請求出其“卓越值”，若不存在，請說明理由；（3）若關(guān)于的“中雅一元一次方程”的“卓越值”是關(guān)于的方程的解，求此時符合要求的正整數(shù)，的值．

類型三“新概念”型典例3（海淀區(qū)校級期末）新定義，若關(guān)于x，y的二元一次方程組①的解是，關(guān)于x，y的二元一次方程組②的解是，且滿足||≤0.1，||≤0.1，則稱方程組②的解是方程組①的模糊解，關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是方程組的模糊解，則m的取值范圍是．針對訓練37．（2021秋?海淀區(qū)校級期末）對于數(shù)軸上的點A和正數(shù)r，給出如下定義：點A在數(shù)軸上移動，沿負方向移動r個單位長度后所在位置點表示的數(shù)是x，沿正方向移動r個單位長度后所在位置點表示的數(shù)是y，x與y這兩個數(shù)叫做“點A的r對稱數(shù)”，記作D（A，r）＝{x，y}，其中x＜y．例如：原點O表示0，原點O的1對稱數(shù)是D（O，1）＝{﹣1，1}．（1）若點A表示2，則點A的4對稱數(shù)D（A，4）＝{x，y}，則x＝，y＝；（2）若D（A，r）＝{﹣3，11}，求點A表示的數(shù)及r的值；（3）已知D（A，5）＝{x，y}，D（B，3）＝{m，n}，若點A、點B從原點同時出發(fā)，沿數(shù)軸反向運動，且點A的速度是點B速度的2倍，當2（y﹣n）＝3（x﹣m）時，請直接寫出點A表示的數(shù)．8．（贛縣區(qū)期末）我們定義：若整式M與N滿足：M+N＝k（k為整數(shù)），我們稱M與N為關(guān)于k的平衡整式．例如，若2x+3y＝4，我們稱2x與3y為關(guān)于4的平衡整式．（1）若2a﹣5與4a+9為關(guān)于1的平衡整式，求a的值；（2）若3x﹣10與y為關(guān)于2的平衡整式，2x與5y+10為關(guān)于5的平衡整式，求x+y的值．

類型四定義新的解題思想或方法典例4（2019春?朝陽區(qū)期中）定義：在解方程組時，我們可以先①+②，得x+y＝1，再②﹣①，得x﹣y＝9，最后重新組成方程組，這種解二元一次方程組的解法我們稱為二元一次方程組的輪換對稱解法．（1）用輪換對稱解法解方程組，得；（2）如圖，小強和小麗一起搭積木，小強所搭的“小塔”高度為32cm，小麗所搭的“小樹”高度為31cm，設每塊A型積木的高為xcm每塊B型積木的高為ycm，求x與y的值．針對訓練49．（2022春?西城區(qū)校級期中）有些關(guān)于方程組的問題，需要求的結(jié)果不是每一個未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實數(shù)，滿足①，②，求和的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得，的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運算量比較大．小明在做題過程仔細觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)本題還可以通過適當變形整體求得代數(shù)式的值，如由①②可得，由①②可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．請同學們運用這樣的思想解決下列問題：（1）已知二元一次方程組，則，；（2）對于實數(shù)，，定義新運算：※，其中，，是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運算．已知3※，4※，那么求1※1的值．

類型五閱讀材料題型中的新定義典例5（2019?南岸區(qū)校級三模）閱讀下列材料，回答問題：線性方程組是指各個方程未知數(shù)的次數(shù)均為一次的方程組．對線性方程組的研究，中國比歐洲至少早1500年，最早的記載見公元初《九章算術(shù)》方程章中我們初中學習的二元一次方程組：是其中一種．定義：可化為其中一個未知數(shù)的系數(shù)都為1，另一個未知數(shù)的系數(shù)互為倒數(shù)，并且常數(shù)項互為相反數(shù)的二元一次方程組，稱為“相關(guān)線性方程組”，其中，稱為該方程組的“相關(guān)系數(shù)”．（1）若關(guān)于，的方程組可化為“相關(guān)線性方程組”，則該方程組的解為（2）若某“相關(guān)線性方程組”有無數(shù)多組解，求該方程組的兩個相關(guān)系數(shù)之和；（3）已知關(guān)于，的“相關(guān)線性方程組”的未知數(shù)的值為整數(shù)，試寫出符合題意的的幾個值．針對訓練510．（2019秋?九龍坡區(qū)校級月考）閱讀下列材料并解決問題定義：對于任意一個實數(shù)R，R的干數(shù)m是與R最接近的兩個整數(shù)中較小的一個整數(shù)，R的支數(shù)n是R減去R的干數(shù)m之差，即n＝R﹣m例如：實數(shù)2.07，因為與2.07最接近的兩個整數(shù)是2和3，且2小于3，所以2.07的干數(shù)m＝2，2.07的支數(shù)n＝2.07﹣2＝0.07；實數(shù)﹣1.72，因為與﹣1.72最接近的兩個整數(shù)是﹣1和﹣2，且﹣2小于﹣1，所以﹣1.72的干數(shù)m＝﹣2，﹣1.72的支數(shù)n＝﹣1.72﹣（﹣2）＝0.28相關(guān)結(jié)論：m是一個整數(shù)，n的取值范圍是0≤n＜1．（1）實數(shù)10.8的干數(shù)m＝，實數(shù)的支數(shù)n＝．（2）某實數(shù)的干數(shù)是x，支數(shù)是y，且x+3y＝0.5，求這個實數(shù)．

11．（2019秋?錦江區(qū)校級期末）【閱讀】將九個數(shù)分別填在行3列）的方格中，如果滿足每個橫行，每個豎列和每條對角線上的三個數(shù)之和都等于，則將這樣的圖稱為“和幻方”，下面的三個圖（圖都是滿足條件的“和幻方”【探究】（1）若圖2為“和幻方”，則，，．（2）若圖3為“和幻方”，請通過觀察上圖的三個幻方，試著用含，的代數(shù)式表示，并說明理由．（3）若圖4為“和幻方”，且為整數(shù)，試求出所有滿足條件的整數(shù)的值．

專題提提優(yōu)訓練1．（2021春?丹江口市期中）對于、定義一種新運算“※”：※，其中、為常數(shù)，等式右邊是通常的乘法和減法的運算．已知：2※，1※，求5※3的值．2．（2021?唐山一模）對于實數(shù)、，定義關(guān)于“※”的一種運算：※．例如1※．（1）求4※的值；（2）若※，※，求和的值．3．（2021春?廣饒縣期中）對于任意實數(shù)，，定義關(guān)于“”的一種運算如下：．例如．（1）求的值；（2）若，且，求的值．4．（2020春?沙坪壩區(qū)校級月考）請閱讀下列材料，并解決相關(guān)的問題：對于任意一個三位數(shù)，如果個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和等于百位上數(shù)字的兩倍．則稱這個三位數(shù)為“均衡數(shù)”．（1）請直接寫出200以內(nèi)的“均衡數(shù)”；（2）如果一個三位數(shù)，，，，為自然數(shù)），規(guī)定為這個三位數(shù)的“勻稱值”，求出“勻稱值”為整數(shù)的“均衡數(shù)”的個數(shù)．

5．（2022春?江陰市期中）對整數(shù)、定義一種新運算，規(guī)定（其中、是常數(shù)），如：．（1）填空：（用含，的代數(shù)式表示）；（2）若，．①求與的值；②若，，，求出此時的值．6．（2020秋?海淀區(qū)校級期末）定義數(shù)對經(jīng)過一種運算可以得到數(shù)對，并把該運算記作，，，其中，為常數(shù)）．例如，當，且時，，，．（1）當且時，；（2）若，，，則，；（3）如果組成數(shù)對的兩個數(shù)，滿足二元一次方程，并且對任意數(shù)對經(jīng)過運算又得到數(shù)對，求和的值．7．（2020春?蕭山區(qū)期中）閱讀理解：已知實數(shù)，滿足①，②，求和的值．仔細觀察未知數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，如由①②可得，由①②可得．這就是通常說的“整體思想”．嘗試利用“整體思想”，解決下列問題：（1）已知二元一次方程組，則，；（2）買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，求購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？（3）對于實數(shù)，，定義新運算：，其中，，是常數(shù)，等式右邊是實數(shù)運算．已知，，求的值．第09講二元一次方程組中的新定義題型（解析版）第一部分典例剖析+針對訓練類型一“新運算”型專題典例1（2021春?萬山區(qū)期中）定義新運算：，其中，是常數(shù)，已知，；求的值？思路引領：根據(jù)題意得到關(guān)于、的方程組，解出、，再根據(jù)定義求值即可．解：根據(jù)題意得，，解得：．則．解題秘籍：本題考查解二元一次方程組，解題關(guān)鍵是讀懂題意準確列出方程組，準確求解方程組．針對訓練11．（2021?蘭山區(qū)二模）對于實數(shù)，我們定義一種新運算（其中，均為非零常數(shù)），等式右邊是通常的四則運算，由這種運算得到的數(shù)我們稱之為線性數(shù)，例如，時，．若，，則．思路引領：已知兩等式利用題中的新定義化簡，計算求出與的值，代入，再把，代入計算即可求出值．解：，，根據(jù)題中的新定義化簡得：，解得：，即，則．故答案為：11．解題秘籍：此題考查了解二元一次方程組，以及實數(shù)的運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．2．（2021春?蒙陰縣期末）對于實數(shù)，，定義運算“”：，例如：，因為，所以．若，是二元一次方程組的解，則．思路引領：利用加減消元法解出方程組的解，根據(jù)，用第二個表達式計算即可．解：，①②得：，，代入①得：，，原式．故答案為：．解題秘籍：本題考查了二元一次方程組的解，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，通過比較，的大小，選擇正確的表達式進行計算是解題的關(guān)鍵．3．（2022春?龍游縣月考）定義運算“”，規(guī)定，其中，為常數(shù)，且，，則．思路引領：根據(jù)，，列方程組可求出、的值，即可計算得到答案．解：，，，，解得，，，故答案為：13．方法，，，，，，①②得：；．故答案為：13．解題秘籍：本題考查新定義運算，涉及解二元一次方程組，實數(shù)混合運算等知識，解題的關(guān)鍵是由已知列出關(guān)于、的方程組，從而求出、的值．4．（2021春?寧波期末）對，定義一種新運算，規(guī)定：，（其中，均為非零常數(shù)）．例如：，．當，，則；當時，，，對任意有理數(shù)，都成立，則，滿足的關(guān)系式是．思路引領：（1）根據(jù)新運算的定義，得，，故，．那么，，．（2）由，，，得，故．由當時，，，對任意有理數(shù)，都成立，故當時，對任意有理數(shù)，都成立．那么，．解：（1），，，．，．，．，．（2），，，，，．，．若當時，，，對任意有理數(shù)，都成立，當時，對任意有理數(shù)，都成立．當時，對任意有理數(shù)，都成立．．故答案為：，．解題秘籍：本題主要考查整式的運算以及解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法以及整式的運算是解題的關(guān)鍵．5．（2022春?衛(wèi)輝市期中）對于、我們定義一種新運算“※”：※，其中、類為常數(shù)，等式的右邊是通常的加法和乘法運算．已知：5※、3※，求4※3的值．思路引領：根據(jù)已知條件得出方程組，求出、的值，根據(jù)題意得出4※，再求出答案即可．解：※、3※，，①②，得，解得：，把代入①，得，解得：，所以4※．解題秘籍：本題考查了解二元一次方程組和有理數(shù)的混合運算，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．類型二“新方程”型典例2（2022春?越秀區(qū)校級期中）把（其中，是常數(shù)，，是未知數(shù)）這樣的方程稱為“雅系二元一次方程”．當時，“雅系二元一次方程”中的值稱為“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：當時，“雅系二元一次方程”化為，其“完美值”為．（1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”；（2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值；（3）是否存在，使得“雅系二元一次方程”與是常數(shù)）的“完美值”相同？若存在，請求出的值及此時的“完美值”；若不存在，請說明理由．思路引領：（1）由題意可得，即可求解；（2）由題意可得，求出即可；（3）由題意可得，得，，得，再由，即可求的值．解：（1）是“雅系二元一次方程”，，解得，“雅系二元一次方程”的“完美值”為；（2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，，解得；（3）存在，使得“雅系二元一次方程”與是常數(shù)）的“完美值”相同，理由如下：由，得，由，得，，解得，，“完美值”為．解題秘籍：本題考查二元一次方程的解，理解新定義，熟練掌握一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．針對訓練26．（2021春?福州期中）把（其中、是常數(shù)，是未知數(shù)）這樣的方程稱為“中雅一元一次方程”，其中“中雅一元一次方程”的的值稱為“中雅一元一次方程”的“卓越值”．例如：“中雅一元一次方程”，其“卓越值”為．（1）是“中雅一元一次方程”的“卓越值”，求的值；（2）“中雅一元一次方程”，為常數(shù)）存在“卓越值”嗎？若存在，請求出其“卓越值”，若不存在，請說明理由；（3）若關(guān)于的“中雅一元一次方程”的“卓越值”是關(guān)于的方程的解，求此時符合要求的正整數(shù)，的值．思路引領：（1）把代入即可求得；（2）解方程得，根據(jù)分式有意義得條件，當時存在“卓越值”，當時分式無意義不存在“卓越值”；（3）因為方程與方程的解相同，可得，因為、都為正數(shù)，所以，即可得出、得值．解：（1）是“中雅一元一次方程”的“卓越值”，，解得；（2）由，①當，時，中雅一元一次方程”，為常數(shù)）有無數(shù)個“卓越值”，②當，時，中雅一元一次方程”，為常數(shù)）不存在“卓越值”；（3）由，得，由，得，由題意可得，，解得：，，，，，；，；，；，．解題秘籍：本題主要考查二元一次方程的解，理解題目中所給的條件時解決本題的關(guān)鍵．類型三“新概念”型典例3（海淀區(qū)校級期末）新定義，若關(guān)于x，y的二元一次方程組①的解是，關(guān)于x，y的二元一次方程組②的解是，且滿足||≤0.1，||≤0.1，則稱方程組②的解是方程組①的模糊解，關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是方程組的模糊解，則m的取值范圍是．思路引領：先求出兩個方程組的解，再根據(jù)“模糊解”的定義列出不等式組，解得m的取值范圍便可．解：解方程組得，，解方程組得，，∵二元一次方程組的解是方程組的模糊解，∴||≤0.1，||≤0.1，解得4≤m≤5，4.5≤m≤5.5，所以4.5≤m≤5．故答案為4.5≤m≤5．解題秘籍：本題考查了新定義，二元一次方程組的解，解絕對值不等式，考查了學生的閱讀理解能力、知識的遷移能力以及計算能力，難度適中．正確理解“模糊解”的定義是解題的關(guān)鍵．針對訓練37．（2021秋?海淀區(qū)校級期末）對于數(shù)軸上的點A和正數(shù)r，給出如下定義：點A在數(shù)軸上移動，沿負方向移動r個單位長度后所在位置點表示的數(shù)是x，沿正方向移動r個單位長度后所在位置點表示的數(shù)是y，x與y這兩個數(shù)叫做“點A的r對稱數(shù)”，記作D（A，r）＝{x，y}，其中x＜y．例如：原點O表示0，原點O的1對稱數(shù)是D（O，1）＝{﹣1，1}．（1）若點A表示2，則點A的4對稱數(shù)D（A，4）＝{x，y}，則x＝，y＝；（2）若D（A，r）＝{﹣3，11}，求點A表示的數(shù)及r的值；（3）已知D（A，5）＝{x，y}，D（B，3）＝{m，n}，若點A、點B從原點同時出發(fā)，沿數(shù)軸反向運動，且點A的速度是點B速度的2倍，當2（y﹣n）＝3（x﹣m）時，請直接寫出點A表示的數(shù)．思路引領：（1）根據(jù)新定義概念列式計算；（2）根據(jù)新定義概念列方程組求解；（3）設點A所表示的數(shù)為a，則B點所表示的數(shù)為，然后根據(jù)新定義概念用含a的式子表示出x，y，m，n，從而代入求解．解：（1）當點A表示2時，x＝2﹣4＝﹣2，y＝2+4＝6，故答案為：﹣2；6；（2）設點A所表示的數(shù)為a，由題意可得：，解得，∴點A所表示的數(shù)為4，r的值為7；（3）設點A所表示的數(shù)為a，∵點A、點B從原點同時出發(fā)，沿數(shù)軸反向運動，且點A的速度是點B速度的2倍，∴點B所表示的數(shù)為﹣，又∵D（A，5）＝{x，y}，D（B，3）＝{m，n}，∴a﹣5＝x，a+5＝y(tǒng)，﹣﹣3＝m，﹣+3＝n，當2（y﹣n）＝3（x﹣m）時，2[a+5﹣（﹣+3）]＝3[a﹣5﹣（﹣﹣3）]，解得：a＝，∴點A所表示的數(shù)為．解題秘籍：本題屬于新定義題目，考查解二元一次方程組，一元一次方程組的應用，理解新定義概念，掌握解二元一次方程組和解一元一次方程的步驟是解題關(guān)鍵．8．（贛縣區(qū)期末）我們定義：若整式M與N滿足：M+N＝k（k為整數(shù)），我們稱M與N為關(guān)于k的平衡整式．例如，若2x+3y＝4，我們稱2x與3y為關(guān)于4的平衡整式．（1）若2a﹣5與4a+9為關(guān)于1的平衡整式，求a的值；（2）若3x﹣10與y為關(guān)于2的平衡整式，2x與5y+10為關(guān)于5的平衡整式，求x+y的值．思路引領：（1）根據(jù)平衡整式列出方程，解一元一次方程得到答案；（2）根據(jù)平衡整式的概念列出二元一次方程組，解方程組即可．解：（1）由題意得，2a﹣5+4a+9＝1，解得a＝﹣；（2）由題意得，，解得，，則x+y＝2．解題秘籍：本題考查的是二元一次方程組的解法、一元一次方程的解法，掌握解二元一次方程組的一般步驟是解題的關(guān)．類型四定義新的解題思想或方法典例4（2019春?朝陽區(qū)期中）定義：在解方程組時，我們可以先①+②，得x+y＝1，再②﹣①，得x﹣y＝9，最后重新組成方程組，這種解二元一次方程組的解法我們稱為二元一次方程組的輪換對稱解法．（1）用輪換對稱解法解方程組，得；（2）如圖，小強和小麗一起搭積木，小強所搭的“小塔”高度為32cm，小麗所搭的“小樹”高度為31cm，設每塊A型積木的高為xcm每塊B型積木的高為ycm，求x與y的值．思路引領：（1）根據(jù)輪換對稱解法解方程組即可；（2）根據(jù)題意列出方程組，然后根據(jù)輪換對稱解法解方程組即可．解：（1），①+②得，x+y＝2，②﹣①得，x﹣y＝12，解得，，故答案為：；（2）根據(jù)題意得，，解得：．解題秘籍：本題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．針對訓練49．（2022春?西城區(qū)校級期中）有些關(guān)于方程組的問題，需要求的結(jié)果不是每一個未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實數(shù)，滿足①，②，求和的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得，的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運算量比較大．小明在做題過程仔細觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)本題還可以通過適當變形整體求得代數(shù)式的值，如由①②可得，由①②可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．請同學們運用這樣的思想解決下列問題：（1）已知二元一次方程組，則，；（2）對于實數(shù)，，定義新運算：※，其中，，是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運算．已知3※，4※，那么求1※1的值．思路引領：（1）整體代換求值．（2）先將新定義轉(zhuǎn)化為常規(guī)運算，再解方程．解：（1），①②得：，．①②得：．故答案為：，6．（2）由題意得：①②得：．※．解題秘籍：本題考查整體代換解方程，確定將哪部分當作一個整體是求解本題的關(guān)鍵．類型五閱讀材料題型中的新定義典例5（2019?南岸區(qū)校級三模）閱讀下列材料，回答問題：線性方程組是指各個方程未知數(shù)的次數(shù)均為一次的方程組．對線性方程組的研究，中國比歐洲至少早1500年，最早的記載見公元初《九章算術(shù)》方程章中我們初中學習的二元一次方程組：是其中一種．定義：可化為其中一個未知數(shù)的系數(shù)都為1，另一個未知數(shù)的系數(shù)互為倒數(shù)，并且常數(shù)項互為相反數(shù)的二元一次方程組，稱為“相關(guān)線性方程組”，其中，稱為該方程組的“相關(guān)系數(shù)”．（1）若關(guān)于，的方程組可化為“相關(guān)線性方程組”，則該方程組的解為（2）若某“相關(guān)線性方程組”有無數(shù)多組解，求該方程組的兩個相關(guān)系數(shù)之和；（3）已知關(guān)于，的“相關(guān)線性方程組”的未知數(shù)的值為整數(shù)，試寫出符合題意的的幾個值．思路引領：（1）將方程化為，根據(jù)“相關(guān)線性方程組”的定義，可得，，即可求解（2）由條件可知，，求出與即可；（3）解方程組后可得，由是整數(shù)，故有或或，分別求解即可（答案不唯一，符合條件即可）．解：（1）可化為，根據(jù)“相關(guān)線性方程組”的定義，可得，，，；方程組為，方程組的解為，故答案為；（2）有無數(shù)多組解，，，，，或．（3）的解為，，的值為整數(shù)，是整數(shù)，或，或（答案不唯一，符合條件即可）．解題秘籍：本題考查一元二次方程組的解，新定義；能夠理解定義內(nèi)容，將所求轉(zhuǎn)化為一元二次方程組的解是解題的關(guān)鍵．針對訓練510．（2019秋?九龍坡區(qū)校級月考）閱讀下列材料并解決問題定義：對于任意一個實數(shù)R，R的干數(shù)m是與R最接近的兩個整數(shù)中較小的一個整數(shù)，R的支數(shù)n是R減去R的干數(shù)m之差，即n＝R﹣m例如：實數(shù)2.07，因為與2.07最接近的兩個整數(shù)是2和3，且2小于3，所以2.07的干數(shù)m＝2，2.07的支數(shù)n＝2.07﹣2＝0.07；實數(shù)﹣1.72，因為與﹣1.72最接近的兩個整數(shù)是﹣1和﹣2，且﹣2小于﹣1，所以﹣1.72的干數(shù)m＝﹣2，﹣1.72的支數(shù)n＝﹣1.72﹣（﹣2）＝0.28相關(guān)結(jié)論：m是一個整數(shù)，n的取值范圍是0≤n＜1．（1）實數(shù)10.8的干數(shù)m＝，實數(shù)的支數(shù)n＝．（2）某實數(shù)的干數(shù)是x，支數(shù)是y，且x+3y＝0.5，求這個實數(shù)．思路引領：（1）根據(jù)干數(shù)與支數(shù)的定義即可求解；（2）由題意可知，x為整數(shù)，0≤y＜1，則0≤3y＜3，分x＝0，﹣1，﹣2進行討論即可求解．解：（1）實數(shù)10.8的干數(shù)m＝10，實數(shù)的支數(shù)n＝﹣﹣（﹣1）＝．（2）由題意可知，x為整數(shù)，∵0≤y＜1，∴0≤3y＜3，∴x＝0，﹣1，﹣2，①若x＝0，則3y＝0.5，解得y＝，則x+y＝；②若x＝﹣1，則﹣1+3y＝0.5，解得y＝，則x+y＝﹣；③若x＝﹣2，則﹣2+3y＝0.5，解得y＝，則x+y＝﹣．故這個實數(shù)是或﹣或﹣．解題秘籍：考查了解二元一次方程，關(guān)鍵是理解干數(shù)和支數(shù)的定義，注意分類思想的應用．11．（2019秋?錦江區(qū)校級期末）【閱讀】將九個數(shù)分別填在行3列）的方格中，如果滿足每個橫行，每個豎列和每條對角線上的三個數(shù)之和都等于，則將這樣的圖稱為“和幻方”，下面的三個圖（圖都是滿足條件的“和幻方”【探究】（1）若圖2為“和幻方”，則，，．（2）若圖3為“和幻方”，請通過觀察上圖的三個幻方，試著用含，的代數(shù)式表示，并說明理由．（3）若圖4為“和幻方”，且為整數(shù)，試求出所有滿足條件的整數(shù)的值．思路引領：（1）根據(jù)定義，由第1行與第1列三數(shù)和相等，便可求得，由第2列與撇線對角線三數(shù)和相等求得，再用的代數(shù)式表示捺線對角線上的三數(shù)，將此三數(shù)的和等于列出方程，便可求得的值；（2）通過觀察上圖的三個幻方，發(fā)現(xiàn)：，，，由此便可得出，設右上角數(shù)為，用、表示出第2行第2個數(shù)，第2行第2個數(shù)，第3行第3個數(shù)，最后根據(jù)第3列三個數(shù)和為，列出等式便可通過恒等變形證明結(jié)論；（3）根據(jù)（2）的思路可得，然后為整數(shù)，求得整數(shù)便可．解：（1）由題意知第1行第1列位置上的數(shù)為，由第1列三數(shù)和得為，得，，由撇形對角線三數(shù)和為，得第2行第2列上的數(shù)為：，，第3行第3列上的數(shù)為：，由捺形對角線三數(shù)和為，得，．故答案為：；9；3．（2）由上圖的三個幻方，發(fā)現(xiàn)：，，，，理由如下：設右上角數(shù)為，則第1行第2個數(shù)為，第2行第2個數(shù)為，由捺形對角線上三數(shù)和得，第3行第3個數(shù)為，根據(jù)第3列三個數(shù)和為，得，．（3）根據(jù)（2）的思路可得，整理得，，，、都為整數(shù)，或或1或2，或或0或1．解題秘籍：本題是一個新定義題，主要考查數(shù)的特點，一元一次方程的應用，方程的解的應用，抓住每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和相等，數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵．專題提提優(yōu)訓練1．（2021春?丹江口市期中）對于、定義一種新運算“※”：※，其中、為常數(shù)，等式右邊是通常的乘法和減法的運算．已知：2※，1※，求5※3的值．思路引領：已知等式利用題中的新定義化簡得到方程組，求出方程組的解得到與的值，代入原式并利用新定義計算即可得到結(jié)果．解：由※，2※，1※可得，，解得：，※，則5※．解題秘籍：此題考查了解二元一次方程組，以及新定義，解方程組利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．2．（2021?唐山一模）對于實數(shù)、，定義關(guān)于“※”的一種運算：※．例如1※．（1）求4※的值；（2）若※，※，求和的值．思路引領：（1）根據(jù)新定義直接代入即可；（2）由已知可得方程組，解出方程組即可．解：（1）4※；（2）※，※，②，得③，解得，將代入①得，，．解題秘籍：本題考查二元一次方程組的解，理解定義，掌握代入消元法和代入消元法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．3．（2021春?廣饒縣期中）對于任意實數(shù)，，定義關(guān)于“”的一種運算如下：．例如．（1）求的值；（2）若，且，求的值．思路引領：（1）先根據(jù)新運算得出算式，再求出即可；（2）先根據(jù)新運算得出方程組，求出方程組的解，再求出答案即可．解：（1）；（2），且，，解得：，．解題秘籍：本題考查了解二次一次方程組，能根據(jù)新運算得出算式和方程組是解此題的關(guān)鍵．4．（2020春?沙坪壩區(qū)校級月考）請閱讀下列材料，并解決相關(guān)的問題：對于任意一個三位數(shù)，如果個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和等于百位上數(shù)字的兩倍．則稱這個三位數(shù)為“均衡數(shù)”．（1）請直接寫出200以內(nèi)的“均衡數(shù)”；（2）如果一個三位數(shù)，，，，為自然數(shù)），規(guī)定為這個三位數(shù)的“勻稱值”，求出“勻稱值”為整數(shù)的“均衡數(shù)”的個數(shù)．思路引領：（1）根據(jù)給出的定義，列出對應的關(guān)系式，可以找出200以內(nèi)的“均衡數(shù)”；（2）根據(jù)“均衡數(shù)”的定義，列出這個三位數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之間的關(guān)系，得出對應的方程組，一一列出符合題意的數(shù)字即可．解：（1）設這個三位數(shù)為，且，，，，為自然數(shù)），根據(jù)“均衡數(shù)”的定義可得，，又200以內(nèi)的“均衡數(shù)”的百位只能是1，即，，當時，；當時，；當時，．故答案為：102，111，120．（2）由題意可知，，，，為自然數(shù)）是“均衡數(shù)”，，①又，②將①代入②中，可以得到，令，則，且為整數(shù)；，且為整數(shù)；當時，且，則時，，；當時，且，則時，，；當時，且，則時，，；當時，且，則時，，；當時，，；當時，且，則時，，；當時，且，則時，，；當時，且，則時，，（舍；時，，；當時，且，則時，，（舍；時，，；當時，且，則時，，（舍；時，，（舍；符合條件的三位數(shù)有：102，204，306，408，471，573，675，777，879；“勻稱值”為整數(shù)的“均衡數(shù)”的個數(shù)是9個．解題秘籍：此題為新定義題型，根據(jù)題干中所