直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式（八大考點(diǎn)）

直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).2.會(huì)根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系.和點(diǎn)到直線的距離公式.4.會(huì)求兩條平行直線間的距離.一、兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)1．兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)已知兩條直線相交，設(shè)這兩條直線的交點(diǎn)為，則點(diǎn)既在直線上，也在直線上．所以點(diǎn)的坐標(biāo)既滿足直線的方程，也滿足直線的方程，即點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解，解這個(gè)方程組就可以得到這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．2．方程組解的組數(shù)與兩條直線的位置關(guān)系方程組的解一組無(wú)數(shù)組無(wú)解直線與的位置關(guān)系相交重合平行二、兩點(diǎn)間的距離公式如圖，由點(diǎn)，由此得到兩點(diǎn)間的距離公式，特別地，原點(diǎn)與任一點(diǎn)間的距離三、點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)到直線的距離，可以驗(yàn)證，當(dāng)A=0，或B=0時(shí)，上述公式仍然成立．注意：點(diǎn)到幾種特殊直線的距離①點(diǎn)到與x軸平行的直線的距離，特別地，點(diǎn)到x軸的距離d=|y0|；②點(diǎn)到與y軸平行的直線的距離，特別地，點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離.四、兩條平行直線間的距離1．兩條平行直線間的距離兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長(zhǎng)．2．兩條平行直線間的距離公式一般地，兩條平行直線間的距離注意：當(dāng)兩直線都與軸(或軸)垂直時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決：①兩直線都與軸垂直時(shí)，則；②兩直線都與軸垂直時(shí)則.考點(diǎn)01直線的交點(diǎn)問(wèn)題1．若直線與直線的交點(diǎn)在直線上，則實(shí)數(shù)（

）A．4 B．2 C． D．【答案】A【分析】求出直線與直線的交點(diǎn)，再代入求解作答.【詳解】解方程組，得直線與直線的交點(diǎn)，依題意，，解得，所以實(shí)數(shù).故選：A2．若直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】聯(lián)立兩直線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再依題意得到不等式組，解得即可.【詳解】聯(lián)立方程組，解得，因?yàn)橹本€與直線的交點(diǎn)在第一象限，所以，解得，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A3．直線與直線相交，則實(shí)數(shù)k的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．且【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用兩條直線相交的充要條件，列式求解作答.【詳解】因直線與直線相交，則，即，解得且，所以實(shí)數(shù)k的值為且.故選：D4．過(guò)直線與的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線的斜截式方程為.【答案】【分析】聯(lián)立方程組求得兩直線的交點(diǎn)為，根據(jù)所求直線垂直于直線，得到，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程，化為直線的斜截式方程，即可求解.【詳解】由方程組，解得，即直線與的交點(diǎn)為，因?yàn)樗笾本€垂直于直線，所以其斜率為，則直線方程為，所以直線的斜截式方程為.故答案為：5．若直線與直線的交點(diǎn)在直線上，則k的值為．【答案】/【分析】用字母表示出交點(diǎn)坐標(biāo)，再代入到第三條直線的方程中，列出關(guān)于的方程，然后求解．【詳解】因?yàn)橹本€與直線相交，則，則且，由，解得，即直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，即，即，因?yàn)?，解?故答案為：.6．判斷下列各組直線的位置關(guān)系，如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)．(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(2)重合(3)平行【分析】分別聯(lián)立方程組的，解方程組即可判斷直線的位置關(guān)系.【詳解】（1）解方程組，得，所以與相交，且交點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）聯(lián)立直線與的方程得方程組，因?yàn)檎淼茫捶匠挞诳梢曰癁榉匠挞伲苑匠探M有無(wú)數(shù)組解，所以與重合．（3）聯(lián)立直線與的方程得方程組由得（不成立），可知該方程組無(wú)解．所以與無(wú)公共點(diǎn)，即．7．過(guò)點(diǎn)P(0，1)作直線l，使它被直線l1：和l2：截得的線段恰好被點(diǎn)P平分，求直線l的方程.【答案】【分析】設(shè)其中一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合對(duì)稱性可得方程，即可得解.【詳解】設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a，8-2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(-a，2a-6)在l2上，代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4，即點(diǎn)A(4，0)在直線l上，∴直線l的方程為即x＋4y-4＝0.考點(diǎn)02直線的交點(diǎn)系方程及應(yīng)用8．過(guò)兩直線和的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程為（）A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【答案】D【分析】設(shè)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程為，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，得，求解即可.【詳解】設(shè)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程為，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，得，解得，故所求直線方程為，即.故選：D.9．經(jīng)過(guò)點(diǎn)和兩直線；交點(diǎn)的直線方程為.【答案】【分析】設(shè)所求直線方程為，將點(diǎn)代入方程，求得，即可求解.【詳解】設(shè)所求直線方程為，點(diǎn)在直線上，，解得，所求直線方程為，即．故答案為：.10．若直線l經(jīng)過(guò)兩直線和的交點(diǎn)，且斜率為，則直線l的方程為．【答案】【分析】先設(shè)經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的直線系，應(yīng)用斜率求出參數(shù)即可得直線方程.【詳解】設(shè)直線l的方程為（其中為常數(shù)），即①．又直線l的斜率為，則，解得．將代入①式并整理，得，此即所求直線l的方程．故答案為：.11．求過(guò)兩條直線與的交點(diǎn)，且分別滿足下列條件的直線方程：(1)斜率為；(2)過(guò)點(diǎn)；(3)平行于直線．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）法一：聯(lián)立直線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程得到直線方程.法二：由直線系方程可設(shè)所求直線為，由斜率為求出的值，回代入方程即可得出答案.（2）法一：由點(diǎn)斜式方程得到直線方程；法二：因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，代入直線系方程求出的值，即可得出答案.（3）法一：兩直線平行，斜率相等，由點(diǎn)斜式方程得到直線方程.法二：兩直線平行，斜率相等，可得出直線系方程的斜率求出的值，即可得出答案.（1）法一:直線與的交點(diǎn)為，當(dāng)斜率為時(shí)，由直線的點(diǎn)斜式方程得：直線方程為．直線方程為．法二:由題意，直線不符合題意，所以由直線系方程可設(shè)所求直線為，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，，解得，故所求直線方程為；（2）法一：過(guò)點(diǎn)時(shí)，由兩點(diǎn)式得：即為．直線方程為．法二：由題意，直線不符合題意，過(guò)點(diǎn)時(shí)，代入（1）中直線系方程得，故所求直線方程為．（3）法一：平行于直線時(shí)，得直線斜率為，直線方程為，直線方程為．法二：由題意，直線不符合題意，平行于直線時(shí)，由（1）中直線系方程，解得,故所求直線方程為．12．已知直線：（）．求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】證明見(jiàn)解析，【分析】整理原方程，利用直線系列出方程組，即可得到直線恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】證明：原方程整理為，則由得所以點(diǎn)坐標(biāo)為．考點(diǎn)03兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用13．已知兩點(diǎn)，，則（

）A．3 B．5 C．9 D．25【答案】B【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，則.故選：B14．已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，，，則邊上中線的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)中點(diǎn)公式，求得的中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，即可求解.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，所以，所以．故選：A.15．設(shè)為函數(shù)（）圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的值為（

）A．-4 B． C．4 D．1【答案】A【分析】由數(shù)量積的定義表示求出，再利用條件，結(jié)合點(diǎn)在函數(shù)（）圖象上，可求出點(diǎn)，從而解決問(wèn)題.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，，

，又，則可得，又，則，解得，所以.故選：A

16．已知A，B兩點(diǎn)都在直線上，且A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為，則A，B兩點(diǎn)間的距離為.【答案】【分析】設(shè)，則，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，所以，故答案為：17．已知，，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，則的最小值為.【答案】9【分析】根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)在直線上，所以可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得，結(jié)合二次函數(shù)求最值即可.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，所以，故當(dāng)時(shí)，取得最小值9.故答案為：9.18．在菱形ABCD中，對(duì)角線BD與x軸平行，，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)．(1)求直線AE的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)A且與直線DE垂直的直線．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可設(shè)，利用，求出的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出E的坐標(biāo)，進(jìn)而可求AE的方程；（2）先求得，再利用兩直線垂直，斜率之積為求出直線DE斜率，進(jìn)而可得到答案．【詳解】（1）四邊形ABCD為菱形，軸，軸，∴可設(shè)，，，解得：（舍）或，.中點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，直線AE的方程為，即.（2）可求，則過(guò)點(diǎn)A且與直線DE垂直的直線斜率為：所求直線方程為：，即．考點(diǎn)04點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用19．已知直線過(guò)定點(diǎn)M，點(diǎn)在直線上，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】先求定點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離求解點(diǎn)到直線上動(dòng)點(diǎn)距離最小值即可.【詳解】由得，所以直線l過(guò)定點(diǎn)，依題意可知的最小值就是點(diǎn)M到直線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可得．故選:B.20．設(shè)為動(dòng)點(diǎn)到直線的距離，則的最大值為（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】由距離公式及輔助角公式計(jì)算可得.【詳解】點(diǎn)到直線的距離,因?yàn)?則,所以當(dāng)時(shí).故選：C21．拋物線上的點(diǎn)P到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)拋物線上一點(diǎn)為，，利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解最值.【詳解】設(shè)拋物線上一點(diǎn)為，，點(diǎn)，到直線的距離，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，時(shí)，拋物線上一點(diǎn)到直線的距離最短，為，故選：C22．已知滿足，則的最小值為【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用幾何意義求出直線上的點(diǎn)與定點(diǎn)距離最小值的平方作答.【詳解】由滿足知，點(diǎn)是直線上的任意點(diǎn)，而表示點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方，因此的最小值即為點(diǎn)到直線距離的平方，即有，所以的最小值為.故答案為：

23．已知，若點(diǎn)P是直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為．【答案】/【分析】由題意可知的最小值就是點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知的最小值就是點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)榈街本€的距離，所以的最小值為.故答案為：24．已知在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1)求直線方程；(2)求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)求出直線斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式方程求法求解即可；（2）先求出兩點(diǎn)間距離，再求出到直線的距離，根據(jù)三角形面積公式求解答案即可.【詳解】（1）由已知得，直線斜率存在，為，所以直線方程為，整理得直線方程為（2）因?yàn)?，所以，直線方程為，到直線的距離，所以的面積為25．求點(diǎn)到下列直線的距離.(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用點(diǎn)到直線距離公式直接求解即可；（2）方法一：利用點(diǎn)到直線距離公式直接求解即可；方法二：根據(jù)直線與軸平行直接求解即可；（3）方法一：利用點(diǎn)到直線距離公式直接求解即可；方法二：根據(jù)直線與軸平行直接求解即可；方法三：根據(jù)點(diǎn)在直線上可確定.【詳解】（1）由點(diǎn)到直線距離公式知：.（2）方法一：由點(diǎn)到直線距離公式知：；方法二：與軸平行，.（3）方法一：由點(diǎn)到直線距離公式知：；方法二：與軸平行，；方法三：在直線上，.考點(diǎn)05直線圍成的圖形問(wèn)題26．已知的頂點(diǎn)為、、，直線與平行，且將分成面積相等的兩部分，則直線的方程為．【答案】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)直線與、分別交于兩點(diǎn)，因?yàn)橹本€與平行，所以∽，設(shè)點(diǎn)到直線與的距離分別為，因?yàn)橹本€與平行，且將分成面積相等的兩部分，所以，因?yàn)?、，所以直線的方程為：，因?yàn)橹本€與平行，所以設(shè)直線的方程為，于是有，，因此有，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，令，得，此時(shí)顯然點(diǎn)在直線與直線之間，不符合題意，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，令，得，此時(shí)顯然直線與邊、分別相交，符合題意，故答案為：27．（多選）已知三邊所在直線分別為，則（

）A．AB邊上的高所在直線方程為 B．AB邊上的高為C．的面積為 D．是直角三角形【答案】ABC【分析】先聯(lián)立方程求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，求出AB邊上的高所在直線斜率即可得出方程，利用點(diǎn)到直線距離公式可求出高，利用兩點(diǎn)間距離公式求出，即可求出三角形面積，根據(jù)斜率關(guān)系可判斷D.【詳解】由得；由得；由得；因?yàn)椋訟B邊上的高所在直線斜率為，則方程為，即，故A正確；AB邊上的高為點(diǎn)到直線的距離，故B正確；因?yàn)椋缘拿娣e為，故C正確：由斜率關(guān)系可知，是的任意兩邊均不垂直，D錯(cuò)誤.故選：ABC.28．若，直線與和坐標(biāo)軸圍成的四邊形面積的取值范圍是．【答案】【分析】首先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再分別求出兩直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】解：由得，即兩直線的交點(diǎn)為定點(diǎn)，而直線：與軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，直線：與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，因?yàn)椋?，，，，如圖所示，，，，則，故時(shí)，所求面積的取值范圍是．故答案為：29．已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，.(1)求直線的方程；(2)求的面積.【答案】(1)(2)7【分析】（1）首先求出的斜率，再由點(diǎn)斜式求出直線方程；（2）求出點(diǎn)到直線的距離，再求出的長(zhǎng)度，最后由面積公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以，化?jiǎn)可得.（2）點(diǎn)到直線的距離，，則.30．三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是，，．(1)求邊的中線所在直線的一般方程；(2)求邊的高所在直線的一般方程．(3)求三角形的面積．【答案】(1)；(2)；(3)5.【分析】（1）計(jì)算中點(diǎn)坐標(biāo)，得到，計(jì)算得到直線方程.（2）根據(jù)垂直關(guān)系得到，再計(jì)算直線方程即可.（3）計(jì)算所在的直線方程，聯(lián)立得到交點(diǎn)，再計(jì)算面積得到答案.【詳解】（1），的中點(diǎn)，，故直線方程為，即.（2），則高的斜率為，直線方程為，即.（3）設(shè)與交于點(diǎn)，，即，，解得，即，.31．已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為、、.(1)求所在的直線方程；(2)求平行四邊形的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）分析可知，則，可求得直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程；（2）求出直線的方程，可計(jì)算得出點(diǎn)到直線的距離，并求出，再利用平行四邊形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）解：因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危瑒t，則，所以，直線的方程為，即.（2）解：直線的方程為，即，且，點(diǎn)到直線的距離為，所以，平行四邊形的面積為.32．已知直線．(1)為何值時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大?并求出最大值；(2)若直線分別與軸，軸的負(fù)半軸交于A，B兩點(diǎn)，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值及此時(shí)直線的方程．【答案】(1)，距離最大值；(2)面積的最小值為12，直線l的方程為3x+2y+12=0.【分析】（1）由題設(shè)求得直線過(guò)定點(diǎn)，則與定點(diǎn)的連線的距離就是所求最大值，根據(jù)垂直關(guān)系及求參數(shù)m；（2）設(shè)直線為，并求出A，B坐標(biāo)，應(yīng)用三角形面積公式、基本不等式求最小值，并寫出直線方程.【詳解】（1）已知直線，整理得，由，故直線過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離最大，即與定點(diǎn)的連線的距離就是所求最大值，所以為最大值．∵，∴的斜率為，得，解得；（2）若直線分別與軸，軸的負(fù)半軸交于A，B兩點(diǎn)，則設(shè)直線為，，則，，．（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”），故面積的最小值為12，此時(shí)直線l的方程為3x+2y+12=0.考點(diǎn)06兩條平行直線的距離33．兩條平行直線和間的距離為，則分別為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)可得參數(shù)，再利用平行線間距離公式可得.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得，所以兩直線分別為和，所以.故選：B.34．若動(dòng)點(diǎn)分別在直線和上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值為（

）A．3 B．2 C． D．4【答案】A【分析】由題意，知點(diǎn)M在直線l1與l2之間且與兩直線距離相等的直線上，設(shè)該直線方程為，然后利用兩平行線間的距離公式列方程可求出的值，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意，知點(diǎn)M在直線與之間且與兩直線距離相等的直線上，設(shè)該直線方程為，則，即，∴點(diǎn)M在直線上，∴點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值就是原點(diǎn)到直線的距離，即.故選：A.35．（多選）下列直線與直線平行，且與它的距離為的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】設(shè)出與直線平行的直線系方程，再由平行直線間的距離公式即可求解.【詳解】設(shè)所求直線的方程為，由題意可得，解得或0．故所求直線的方程為或．故選：AD36．兩平行直線，之間的距離為．【答案】/【分析】由兩平行直線間的距離公式直接求解.【詳解】因?yàn)?，所以由兩平行直線間的距離公式得．故答案為：.37．如圖，面積為8的平行四邊形ABCD，A為原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C，D在第一象限．

(1)求直線CD的方程；(2)若，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)．【答案】(1)(2)橫坐標(biāo)為或2【分析】（1）由題意可得，設(shè)直線CD的方程為（），結(jié)合平行四邊形ABCD的面積、求得AB與CD之間的距離，利用平行線的距離公式列方程求參數(shù)m，根據(jù)題設(shè)寫出直線方程；（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)在直線上、兩點(diǎn)距離公式列方程求坐標(biāo)即可.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以，則．設(shè)直線CD的方程為（），即．因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的面積為8，，故AB與CD之間的距離為．由題圖知：直線AB的方程為，于是，解得．由C，D在第一象限知：，所以，故直線CD的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由，則．所以，解得或，故點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為或2．38．若兩條平行直線分別過(guò)點(diǎn)，則當(dāng)這兩條平行線間的距離取最大值時(shí)，兩直線方程分別為；．【答案】【分析】由題設(shè)易知兩條平行線距離最大，即兩平行線都與直線垂直，兩點(diǎn)式求直線斜率，進(jìn)而應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出過(guò)、的直線即可.【詳解】要使題設(shè)兩條平行線距離最大，只需它們都與直線垂直，而，所以，過(guò)的直線為，即，若的直線為，即.故答案為：，考點(diǎn)07對(duì)稱問(wèn)題39．唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．4 B．5 C． D．【答案】A【分析】作圖，求出點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，再由兩點(diǎn)間的距離公式即可得解．【詳解】如圖，

設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，則“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：A．40．如下圖，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為直線和軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，交于，有，即此時(shí)周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線方程，與聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，令可得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，交于，所以，此時(shí)周長(zhǎng)最小，即，由，直線方程為，所以，解得，所以，可得直線方程為，即，由，解得，所以，令可，所以.故選：C.

41．唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路最短？試求最?。?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將已知變形設(shè)出，，則為點(diǎn)分別到點(diǎn)，的距離之和，則，即可根據(jù)兩點(diǎn)間距離計(jì)算得出答案.【詳解】，，設(shè)，，，則為點(diǎn)分別到點(diǎn)，的距離之和，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故選：B.42．已知直線，則點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，根據(jù)題意，列出方程組，即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則線段的中點(diǎn)在直線上，且直線垂直于直線，可得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.43．設(shè)入射光線沿直線射向直線，則被反射后，反射光線所在的直線方程是【答案】【分析】通過(guò)直線與的交點(diǎn)，以及直線上一點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)求得反射光線所在直線方程.【詳解】由解得，所以直線與的交點(diǎn)為，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在反射光線上，所以反射光線所在直線方程為，整理得故答案為：

44．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，求：(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱列式求解即可；（2）根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法分析運(yùn)算即可.【詳解】（1）設(shè)，由題意可得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）在直線上任取一點(diǎn)，設(shè)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，由于在直線上，則，即，故直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線的方程為.45．已知直線，在上任取一點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，連接，取的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線.(1)求直線的方程；(2)已知兩點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)使得最小，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)；(2).【分析】(1)由條件可得直線到直線距離是直線到直線的距離的兩倍，由平行線距離公式列方程求解即可；(2)求點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由兩點(diǎn)之間線段最短可確定的最小值及點(diǎn)的位置.【詳解】（1）因?yàn)榕c直線平行，直線的方程為，故可設(shè)直線的方程為，由已知，過(guò)點(diǎn)作直線，交直線與點(diǎn)，交直線與點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所?又，所以,所以，則或，結(jié)合圖形檢驗(yàn)可得與條件矛盾，所以，故直線的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，連接與直線交與，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最小值，由已知，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，聯(lián)立可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)最小.考點(diǎn)08距離的最值問(wèn)題46．（多選）某同學(xué)在研究函數(shù)的最值時(shí)，聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式，從而將函數(shù)變形為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小值為 B．函數(shù)的最小值為C．函數(shù)沒(méi)有最大值 D．函數(shù)有最大值【答案】BC【分析】由題意畫出圖形，利用動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和的變化求出最小值判斷AB，分析無(wú)最大值判斷CD．【詳解】設(shè)，可理解為動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離和．如圖：由三角形三邊關(guān)系可得,當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí)，等號(hào)成立，無(wú)最大值，所以函數(shù)的最小值為，沒(méi)有最大值.故選：BC47．已知實(shí)數(shù)，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線：，則的幾何意義為，點(diǎn)到直線的距離，即可求出取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)直線：，設(shè)點(diǎn)那么點(diǎn)到直線的距離為：，因?yàn)?，所以，且直線的斜率，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，即，因?yàn)?，所以，故答案為?48．已知直線過(guò)點(diǎn)，且與軸、軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為；當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，直線的方程是【答案】..【分析】設(shè)為且，求出A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到、關(guān)于的表達(dá)式，再應(yīng)用基本不等式求最值，并確定等號(hào)成立的條件即可.【詳解】由題意，設(shè)直線為且，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，整理得.故答案為：，.49．已知，直線和直線相交于點(diǎn)P，和y軸交于點(diǎn)A，和x軸交于點(diǎn)B．（1）判斷與的位置關(guān)系，并用t表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求的長(zhǎng)度的取值范圍，并指出取最值時(shí)點(diǎn)P的位置．【答案】（1）垂直，；（2），最小時(shí)或，最大時(shí)．【解析】（1）可得時(shí)，顯然，時(shí)，由可得；聯(lián)立直線方程可求得P的坐標(biāo)；（2）可得，由即可求得取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，顯然，當(dāng)時(shí)，，則，則，綜上，，聯(lián)立直線方程，解得，；（2）由（1）知，，，則，則，即，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值為1，此時(shí)或，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值為，此時(shí).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查直線位置關(guān)系的判斷以及取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立直線方程求出點(diǎn)P坐標(biāo)，將化成關(guān)于的式子即可求解.50．已知直線（）交軸正半軸于，交軸正半軸于．(1)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積最小時(shí)直線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)是直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，求的值最小時(shí)直線的方程．【答案】(1)(2)．【分析】（1）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示的面積，結(jié)合基本不等式求其最小值，可得的值，由此確定直線的方程；（2）由直線方程求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求，利用基本不等式求其最小值，由此確定直線的方程.【詳解】（1）作圖可知．因?yàn)橹本€的方程為，令，，所以，令，，所以，所以，所以．因?yàn)椋苫静坏仁娇傻?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積最小時(shí)，直線的方程為．（2）因?yàn)橹本€的方程可化為，所以直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，所以所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的值最小時(shí)，直線的方程為．51．已知直線l過(guò)點(diǎn)，且分別與x，y軸正半軸交于A，B兩點(diǎn).O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)當(dāng)面積最小時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)值最小時(shí)，求直線l的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)直線l，分別令得出坐標(biāo)，然后得到面積表達(dá)式，利用基本不等式求得最值，即可得到此時(shí)斜率，即得到直線方程.（2）計(jì)算出，得到表達(dá)式，利用基本不等式得到最值，即可得到此時(shí)斜率，即得到直線方程.【詳解】（1）由題意得斜率設(shè)l，令，則，令，，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即（因故正值舍去）時(shí)等號(hào)成立.故直線l的方程為，即.（2），因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，即1時(shí)等號(hào)成立.又，故故直線l的方程為即52．已知△三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，線段的垂直平分線為.(1)求直線的方程.(2)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)最小時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【分析】（1）由垂直關(guān)系可求的斜率,然后由過(guò)的中點(diǎn),根據(jù)點(diǎn)斜式方程可求；(2)先求出A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)C,直線AC與直線的交點(diǎn)即為最小的點(diǎn),然后根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱知識(shí)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）直線的斜率為,所以直線的斜率為.而線段的中點(diǎn)為(6,2),所以直線的方程為,即.（2）由(1)得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),所以直線與直線的交點(diǎn)即為最小的點(diǎn).由，得直線的方程為,即.聯(lián)立方程，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．原點(diǎn)到直線的距離為（）A．1 B．C．2 D．3【答案】B【分析】直接利用點(diǎn)到直線的距離公式可得答案.【詳解】直線，即，故原點(diǎn)到直線的距離為.故選：B.2．已知直線與的距離為，則c的值為（

）A．9 B．11或 C． D．9或【答案】B【分析】化簡(jiǎn)直線方程，再利用平行間距離公式求解作答.【詳解】直線，即，因?yàn)樗c直線的距離為，所以，解得或，所以或.故選：B3．著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，則的最小值為（

）．A．3 B． C． D．【答案】D【分析】把目標(biāo)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，看作動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離和的最值，利用對(duì)稱性可得答案.【詳解】,可以看作點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，最小值為間的距離.故選：D.4．（多選）若直線與直線的交點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)的值可為（

）A．0 B．1C．2 D．3【答案】AB【分析】聯(lián)立直線方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到關(guān)于的不等式組，解之即可.【詳解】依題意，聯(lián)立，解得，則兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為，又因?yàn)榻稽c(diǎn)在第四象限，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，AB滿足要求，CD不滿足要求.故選：AB.5．（多選）已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則的值可能為（

）A． B． C． D．1【答案】AD【分析】直接利用兩點(diǎn)距離公式列方程計(jì)算即可.【詳解】?jī)牲c(diǎn)到直線的距離相等，，解得或.故選：AD.6．（多選）已知點(diǎn)和直線，則點(diǎn)到直線的距離的可能值為（

）A．2 B． C．3 D．5【答案】ABC【分析】根據(jù)直線的方程先確定直線所過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判斷出點(diǎn)到直線的距離的最大值為，最小值為，即可逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】直線，化為，令解得，因此直線過(guò)定點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離有最大值，，將點(diǎn)代入解得，即當(dāng)時(shí)點(diǎn)在直線上，即，所以，ABC滿足題意，故選：ABC7．已知直線l經(jīng)過(guò)直線和的交點(diǎn)P，且垂直于直線，則直線l的方程為．【答案】【分析】可以求出已知兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合條件求出直線l的斜率，由點(diǎn)斜式寫出直線l的方程；也可以設(shè)出與直線垂直的直線系方程，把交點(diǎn)坐標(biāo)代入求解；還可以設(shè)出過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程，求出參數(shù)即可．【詳解】解法1、由，解得，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率為1，由點(diǎn)斜式得的方程為，即．解法2、由由，解得，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€與直線垂直，可設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得，解得，故直線的方程為．解法3、直線的方程可設(shè)為（其中為常數(shù)），即，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，解得，故直線的方程為．故答案為：.8．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】設(shè)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，然后由斜率乘積等于，和的中點(diǎn)在直線上，列方程組可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，即所求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是．故答案為：9．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)和函數(shù)的圖象分別交于兩點(diǎn)，若，則．【答案】4【分析】設(shè)，，則，，根據(jù)距離公式及兩點(diǎn)的斜率公式求出，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，再代入計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象恒在函數(shù)上方，設(shè)，，則，，由可得，又因?yàn)樗谥本€的斜率為，所以，因?yàn)椋?，即，解得，因?yàn)?，所以，代入函?shù)，可得．故答案為：10．求過(guò)點(diǎn)，且與原點(diǎn)的距離等于的直線方程．【答案】或．【分析】利用待定系數(shù)列與點(diǎn)線距離公式即可得解.【詳解】依題意，所求直線過(guò)點(diǎn)，且斜率存在，所以設(shè)直線方程為，即，又原點(diǎn)到直線的距離等于，所以，解得或．故直線方程為或．11．已知直線的方程為.(1)若直線和直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求直線的方程；(2)若直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)在直線上，列出方程即可得到結(jié)果；（2）由題意可得直線與直線的交點(diǎn)，求出關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，即可得到直線方程.【詳解】（1）因?yàn)橹本€和直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，在直線上任取一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)在直線上，將點(diǎn)代入直線可得，所以直線的方程為.（2）設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，所以，解得，則，在直線上取點(diǎn)，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則①，因?yàn)榕c的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以②，由①②可得，所以，因?yàn)橹本€和直線關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，所以直線的兩點(diǎn)式方程為，整理得直線的一般式方程為.12．已知A，B兩個(gè)城市在一條河同側(cè)且分別距這條河400m和100m，A，B兩城市之間的距離為500m，把這條河看作一條直線，今在這條河邊上建一座提水站，供A，B兩城市用水，要使提水站到A，B兩城市鋪設(shè)的水管長(zhǎng)度之和最小，則提水站應(yīng)建在什么地方？【答案】將提水站（點(diǎn)P）建在距O點(diǎn)320m處【分析】建立直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題放在坐標(biāo)系中研究，再根據(jù)兩點(diǎn)之間直線距離最短的原理求解.【詳解】如圖，以河所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)A作AO垂直x軸于點(diǎn)O，以O(shè)A所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)C，在中，，，由勾股定理，得，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連結(jié)交x軸于點(diǎn)P，連接AP，則，，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，水管長(zhǎng)度之和最小，易得直線的方程為，令，得，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為；故將提水站（點(diǎn)P）建在O點(diǎn)右側(cè)并距O點(diǎn)320m處時(shí)，其到A，B兩城市鋪設(shè)的水管長(zhǎng)度之和最小．能力提升練1．的最小值所屬區(qū)間為（

）A． B．C． D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】C【分析】利用代數(shù)式的幾何意義可求最小值.【詳解】如圖，設(shè)．根據(jù)題意，設(shè)題中代數(shù)式為M，則，等號(hào)當(dāng)P，Q分別為直線與x軸，y軸交點(diǎn)時(shí)取得．因此所求最小值為13．故選：C.2．已知直線的傾斜角為，在軸上的截距與另一條直線在軸上的截距相同，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合直線截距的定義，求得直線在軸上的截距，根據(jù)傾斜角與斜率的定義，利用點(diǎn)斜式方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，可得答案.【詳解】由直線方程，令，解得，則直線過(guò)，由直線的傾斜角為，則該直線的斜率，故直線方程為：，化簡(jiǎn)可得：，則點(diǎn)到直線的距離.故選：C.3．已知點(diǎn)，與直