2安培環(huán)路定理

8.3安培環(huán)路定理一、安培環(huán)路定理靜電場(chǎng)理論中，有“靜電場(chǎng)的環(huán)路定理”：對(duì)于穩(wěn)恒磁場(chǎng)，相應(yīng)的“穩(wěn)恒磁場(chǎng)的環(huán)路定理”?

——考慮到磁力線總是閉合曲線的特點(diǎn)，上式顯然不會(huì)是0。等于穿過以閉合環(huán)路為邊界的所圍曲面的所有電流的代數(shù)和乘以1.安培環(huán)路定理表述在真空中的穩(wěn)恒磁場(chǎng)中，磁感強(qiáng)度沿任一閉合環(huán)路的線積分一.安培環(huán)路定理公式表示證明（略）以長(zhǎng)直電流為例進(jìn)行驗(yàn)證

閉合回路在垂直直電流的平面內(nèi)，且包圍電流做一垂直直電流的平面，垂足為o在該平面上做一包圍電流的任意形狀的閉合曲線L在曲線上任取一點(diǎn)P，距o點(diǎn)距離為r在曲線上點(diǎn)P附近取一有向線元線元對(duì)點(diǎn)所張平面角為PldvrLPrLldv設(shè)P點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度為PrLldv

閉合回路在垂直直電流的平面內(nèi)且不包圍電流●在閉合曲線上任取一線元線元對(duì)o點(diǎn)平面角為此平面角必在閉合曲線上截得另一線元線元對(duì)o點(diǎn)所張平面角也為在垂直直電流的平面，做一不包圍電流的任意形狀的閉合曲線L，●設(shè)與夾角為長(zhǎng)直電流在線元和處的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為，設(shè)與夾角為●●L1L2在垂直長(zhǎng)直電流平面內(nèi)，任取一閉合回路（閉合回路包圍電流）（閉合回路不包圍電流）如果閉合回路不在垂直長(zhǎng)直電流平面內(nèi)，情況又如何？表明：沿閉合環(huán)路的線積分，等于穿過以閉合環(huán)路為邊界的所圍曲面的所有電流的代數(shù)和乘以如圖，閉合曲線L不在垂直直電流的平面內(nèi)沿平行電流方向和垂直電流方向分解此線積分為磁感應(yīng)強(qiáng)度沿閉合曲線L在垂直直電流的平面內(nèi)的投影曲線的線積分在曲線上任取一線元討論

等式右邊只是閉合回路所圍電流，閉合回路外的電流對(duì)環(huán)流無貢獻(xiàn)等式左邊是空間所有電流產(chǎn)生的合磁感應(yīng)強(qiáng)度，

是代數(shù)和，有正負(fù)正負(fù)：選定閉合回路繞行方向，如果所包圍電流的正方向與閉合回路的繞行方向構(gòu)成右手螺旋，則電流為正，反之為負(fù)I1I2LI1I2I3LI3=0<0IL

說明穩(wěn)恒磁場(chǎng)不是保守場(chǎng)穩(wěn)恒電流（閉合回路）產(chǎn)生的磁場(chǎng)。3）適用范圍：>0——磁場(chǎng)是“有旋場(chǎng)”例：如圖，流出紙面的電流為2I，流進(jìn)紙面的電流為I，則下述各式中那一個(gè)是正確的?(B)(A)[D](C)(D)8.4利用安培環(huán)路定理求磁場(chǎng)的分布對(duì)于某些電流分布具有對(duì)稱性的問題，可以通過取合適的環(huán)路L利用磁場(chǎng)的環(huán)路定理比較方便地求解場(chǎng)量。(具體實(shí)施，類似于電場(chǎng)強(qiáng)度的高斯定理的解題。)電流對(duì)稱性磁場(chǎng)對(duì)稱性選取合適回路安培環(huán)路定理求磁感應(yīng)強(qiáng)度例無限長(zhǎng)圓柱面電流的磁場(chǎng)半徑為R的無限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱面，沿軸向通以均勻的面電流，電流強(qiáng)度為I。求電流所產(chǎn)生磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布解：在垂直圓柱面軸線的平面內(nèi)，以軸線上點(diǎn)為圓心做一圓周，在圓周上任取兩點(diǎn)P、Q，●●圓柱面上電流分布對(duì)點(diǎn)P、Q是相同的所以兩點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小相等圓柱面上電流分布具有軸對(duì)稱性在垂直圓柱面軸線的平面內(nèi)，以軸線上點(diǎn)為圓心的圓周上，任意點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小相等考察點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向在圓柱面上任取一平行軸線，寬為的窄條●當(dāng)取得很小時(shí)，窄條可視為長(zhǎng)直電流它在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為○●●●○●●●圓柱面上電流分布具有軸對(duì)稱性在圓柱面上關(guān)于OP

對(duì)稱的位置處，總能找到與大小相同的窄條在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為由圖不難看出合磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向沿圓周的切線，并與電流方向構(gòu)成右手螺旋在垂直圓柱面軸線的平面內(nèi)，以軸線上點(diǎn)為圓心的圓周上，任意點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小相等方向沿圓周的切線，并與電流方向構(gòu)成右手螺旋選取在垂直圓柱面軸線的平面內(nèi)以軸線上點(diǎn)為圓心的圓周為閉合回路L設(shè)圓周半徑為r，選取回路的繞行方向如圖●根據(jù)安培環(huán)路定理●●思考題？求無限長(zhǎng)載流圓柱體內(nèi)外的磁場(chǎng)。求通電螺繞環(huán)的磁場(chǎng)分布。已知環(huán)管軸線的半徑為R，環(huán)上均勻密繞N匝線圈，

設(shè)通有電流I。解：由于電流對(duì)稱分布，與環(huán)共圓心的圓周上，各點(diǎn)B大小相等，方向沿圓周切線方向。取以o為中心，半徑為r的圓周為L(zhǎng)當(dāng)R1<r<R2IR...........................×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××.or例當(dāng)R1<r<R2若r<R1若r>R2IR當(dāng)R管截面<<R即r

R...........................×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××.or解：例無限大載流平面兩側(cè)的磁場(chǎng)分布已知電流線密度做一平行載流平面的平面在平面上任取兩點(diǎn)P、Q，考察平面上任意點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向電流分布具有面對(duì)稱性●●載流平面上電流分布對(duì)點(diǎn)P、Q是相同的所以兩點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小相等過P點(diǎn)做載流平面的垂線，垂足為O當(dāng)取得很小時(shí)，窄條可視為長(zhǎng)直電流它在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為電流分布具有面對(duì)稱性●在平面上任取一平行電流方向，寬為的窄條在載流平面上關(guān)于OP

對(duì)稱的位置處，總能找到與大小相同的窄條看下圖●●●●●●●●●●●●●●●在平面上關(guān)于OP

對(duì)稱的位置處，總能找到與大小相同的窄條在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為由圖不難看出合磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向平行載流平面，并與電流方向構(gòu)成右手螺旋選取一矩形閉合回路abcd，矩形回路所在平面垂直載流平面平行載流平面的平面上任意點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小都相等，其方向平行載流平面，并與電流方向構(gòu)成右手螺旋ab，cd

垂直載流平面bc，ad平行載流平面選取回路的繞行方向如圖abcd●●●●●●●●●●●●●●●選取回路的繞行方向如圖●●●●●●●●●●●●●abcd段段●●●●●●●●●●●●●abcd根據(jù)安培環(huán)路定理已知電流線密度無限大載流平面兩側(cè)的磁場(chǎng)為勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向例計(jì)算無限長(zhǎng)均勻密繞螺線管的磁場(chǎng)分布（通電流為I）。由對(duì)稱性分析：解：螺線管內(nèi)外的磁感應(yīng)線必為沿x方向的一系列平行直線。且同一條磁感應(yīng)線上的磁場(chǎng)處處相等。對(duì)管內(nèi)的場(chǎng)點(diǎn)P：——螺線管內(nèi)為勻強(qiáng)磁場(chǎng)。可作矩形的閉合回路。ab由畢奧-薩伐爾定律可求得：其中：n為單位長(zhǎng)度的導(dǎo)線匝數(shù)（匝密度）對(duì)管外的場(chǎng)點(diǎn)Q：亦可作矩形回路。cab（螺線管內(nèi)）（螺線管外）管內(nèi)：可證：對(duì)于任意形狀橫截面的無限長(zhǎng)直螺線管，此式都適用。作業(yè)：8.138.148.178.19I0：被回路L包圍（與L套連）的傳導(dǎo)電流的代數(shù)和。安培環(huán)路定理?xiàng)l件：——適用于穩(wěn)恒電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)L對(duì)曲面S1：對(duì)曲面S2：8.5與變化電場(chǎng)相聯(lián)系的磁場(chǎng)（穩(wěn)恒磁場(chǎng)）電流必須是閉合、穩(wěn)恒不變的。以電容器的充電過程為例。在非穩(wěn)恒電流情況下的困難一、——電流是不連續(xù)的，上述安培環(huán)路定理無法適用。對(duì)曲面S1對(duì)曲面S2L非穩(wěn)恒情況下代替安培環(huán)路定理的普遍規(guī)律是什么呢在非穩(wěn)恒情況下L根據(jù)電荷守恒定律是積累在閉合曲面S內(nèi)的自由電荷（就是分布在電容器極板表面的電荷）另一方面，按電場(chǎng)高斯定理有在非穩(wěn)恒情況下LL也就是說：只要邊界L相同，它在不同的曲面S1和

S2上的面積分相等L但是永遠(yuǎn)是連續(xù)的，這就是說，在非穩(wěn)恒情況下雖然傳導(dǎo)電流是不連續(xù)L因此認(rèn)為變化的電場(chǎng)等效地也是一種“電流”

——稱作位移電流麥克斯韋分析了上述情況后指出：對(duì)于非穩(wěn)恒電路，在傳導(dǎo)電流中斷處必然發(fā)生電荷分布的改變，從而引起電場(chǎng)變化這變化的電場(chǎng)像傳導(dǎo)電流一樣能產(chǎn)生磁場(chǎng)L一.位移電流假說

麥克斯韋把稱作位移電流密度，記作麥克斯韋認(rèn)為變化的電場(chǎng)等效地也是一種“電流”

——稱作位移電流電場(chǎng)中某一點(diǎn)的位移電流密度等于該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)時(shí)間的變化率的倍若有電介質(zhì)代表通過某曲面的電通量通過某個(gè)面積的位移電流就是通過該面積的電通量對(duì)時(shí)間的變化率的倍通過任意曲面S

的位移電流記作若有電介質(zhì)有了位移電流的假設(shè)上式可以寫為傳導(dǎo)電流和位移電流之和回到電容器充放電的問題L或者穿過以同一曲線L為邊界的不同曲面S1和

S2

的傳導(dǎo)電流和位移電流之和是相等的。表明：穿過以同一曲線L為邊界的不同曲面的

傳導(dǎo)電流和位移電流之和是連續(xù)的。全電流L也就是說穿過以同一曲線L為邊界的不同曲面的全電流是相同的表明：全電流在任何情況下都是連續(xù)的二.全電流定律麥克斯韋把傳導(dǎo)電流與位移電流代數(shù)和稱作全電流全電流現(xiàn)在回到如何將安培環(huán)路定理推廣到非穩(wěn)恒情況的問題由于全電流具有連續(xù)性，所以很自然地可以想到，在非穩(wěn)恒情況下應(yīng)該用它來代替式右端的傳導(dǎo)電流麥克斯韋假設(shè)：在非穩(wěn)恒情況下，安培環(huán)路定理為或一般地，磁感應(yīng)強(qiáng)度沿閉合回路L的線積分等于穿過以曲線L為邊界的任意曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流的代數(shù)和——全電流定律傳導(dǎo)電流位移電流全電流定律討論

位移電流、全電流定律是作為假設(shè)提出來的它解決了安培環(huán)路定理在非穩(wěn)恒情況下失效問題只有傳導(dǎo)電流只有位移電流L雖然傳導(dǎo)電流是不連續(xù)的，但全電流連續(xù)這樣在電容器充放電過程中，在電容器極板表面上中斷了的傳導(dǎo)電流，被極板間隙中的位移電流接替下去，二者合在一起保持連續(xù)性L

如果，這時(shí)全電流定律為表示變化的電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)——電場(chǎng)的時(shí)間變化率的方向與其所激發(fā)的磁場(chǎng)之間滿足右手螺旋關(guān)系位移電流的磁場(chǎng)仍應(yīng)滿足磁場(chǎng)的高斯定理：LSLS

傳導(dǎo)電流和位移電流1）傳導(dǎo)電流載流子定向運(yùn)動(dòng)2）位移電流電場(chǎng)的變化

其它方面均表現(xiàn)出不同位移電流不伴有電荷的任何運(yùn)動(dòng)所以談不上產(chǎn)生焦耳熱二者區(qū)別與聯(lián)系：

僅僅是產(chǎn)生磁場(chǎng)這一效果相同而已例一圓形平行板電容器，兩極板的半徑為R=0.2m。設(shè)其正在充電I0=10A，忽略邊緣效應(yīng)。求：兩極板間距軸線r=0.1m處和r=0.3m處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：平行板之間的電場(chǎng)：E=/磁力線與dE/dt

成右手螺旋關(guān)系在極板間取半徑為r的同心圓環(huán)為積分回路r<R時(shí)：RRr>R

時(shí)：r<R時(shí)：例加平行板電容器板上的電壓變化率1.0106V，電容器內(nèi)產(chǎn)生1.0A的位移電流，求電容器的電容。解：兩板的距離位移電流電容器的電容8.6兩平行電流間的相互作用力12d考慮電流1在電流2處產(chǎn)生磁場(chǎng)電流

I2

的單位長(zhǎng)度導(dǎo)線受力同理電流

I1

的單位長(zhǎng)度導(dǎo)線受力電流2在電流1處產(chǎn)生磁場(chǎng)電流單位“A”的定義：令：I1=I2=I在國(guó)際單位制