保定市定興三中高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016—2017學(xué)年河北省保定市定興三中高一(下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知△ABC中，A=,B=，a=1，則b等于（）A．2 B．1 C． D．2．在等差數(shù)列｛an｝，若a3=16，a9=80，則a6等于（）A．13 B．15 C．17 D．483．在△ABC中,∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c,且a=1，b=2，c=，則∠C=()A．120° B．60° C．45° D．30°4．等差數(shù)列{an}中，a1=﹣5，從第10項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知△ABC中，A：B:C=1：1：4,則a：b：c等于（）A．1：1： B．2：2： C．1：1：2 D．1:1:46．設(shè)Sn是等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，S4=5S2，則的值為（）A．﹣2或﹣1 B．1或2 C．±2或﹣1 D．±1或27．在△ABC中，角A,B，C的對(duì)邊分別是a,b,c，其中b為最大邊，若sin2（A+C）＜sin2A+sin2C，則角B的取值范圍是(）A． B． C． D．8．在△ABC中，角A，B,C所對(duì)的邊分別為a，b,c,若C=60°,c=a，則(）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)=b D．a(chǎn)與b的大中關(guān)系不能確定9．已知等差數(shù)列數(shù)列{an}滿足an+1+an=4n，則a1=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．310．設(shè){an}是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（）A．若a1a2＞0,則a2a3＞0 B．若a1a3＜0,則a1a2＜0C．若a1＜a2,則a22＜a1a3 D．若a1≥a2，則a22≥a1a311．設(shè){an｝是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和等于()A．﹣10 B．﹣5 C．0 D．512．在△ABC中,有正弦定理:=定值，這個(gè)定值就是△ABC的外接圓的直徑．如圖2所示,△DEF中，已知DE=DF,點(diǎn)M在直線EF上從左到右運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M不與E、F重合）,對(duì)于M的每一個(gè)位置，記△DEM的外接圓面積與△DMF的外接圓面積的比值為λ，那么（）A．λ先變小再變大B．僅當(dāng)M為線段EF的中點(diǎn)時(shí)，λ取得最大值C．λ先變大再變小D．λ是一個(gè)定值二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的位置上．13．△ABC中,B=，且AB=1，BC=4，則BC邊上的中線AD的長(zhǎng)為．14．在△ABC中，角A，B，C的所對(duì)邊分別為a，b，c,若a2﹣b2=c2，則的值為．15．?dāng)?shù)列｛an}的前n項(xiàng)的和，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an=．16．在數(shù)列｛an｝中，a1=1，an+2+（﹣1）nan=2，記Sn是數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和,則S60=．三、解答題：本大題共6小題，共70分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟．17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b,c，若bsinB﹣asinC=0（1）求證：a，b,c成等比數(shù)列；（2）若a=1，c=2，求△ABC的面積S．18．已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列{an｝滿足:a1=1，且2a1，a3﹣1，a4+1成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若a2，a5分別是等比數(shù)列｛bn｝的第1項(xiàng)和第2項(xiàng),求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．19．如圖，有一段河流,河的一側(cè)是以O(shè)為圓心,半徑為10米的扇形區(qū)域OCD，河的另一側(cè)是一段筆直的河岸l，岸邊有一煙囪AB(不計(jì)B離河岸的距離），且OB的連線恰好與河岸l垂直，設(shè)OB與圓弧的交點(diǎn)為E．經(jīng)測(cè)量，扇形區(qū)域和河岸處于同一水平面，在點(diǎn)C，點(diǎn)O和點(diǎn)E處測(cè)得煙囪AB的仰角分別為45°,30°和60°．（1）求煙囪AB的高度；（2）如果要在CE間修一條直路，求CE的長(zhǎng)．20．已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an｝滿足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2,a4的等差中項(xiàng)．(Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)bn=anlogan，求數(shù)列{bn｝的前n項(xiàng)和Sn．21．在△ABC中,角A,B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c,2（a2﹣b2)=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ)D為邊BC上一點(diǎn)，BD=3DC，∠DAB=,求tanC．22．已知數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn=an+n2﹣1（n∈N*）．(1)求{an｝的通項(xiàng)公式；（2）求證：．四、附加題23．已知數(shù)列{an｝中，a1=1,a2=，且an+1=（n=2，3，4…)．(1）求數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式；（2）求證：對(duì)一切n∈N*,有ak2＜．

2016—2017學(xué)年河北省保定市定興三中高一（下)第一次月考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知△ABC中,A=，B=，a=1，則b等于（）A．2 B．1 C． D．【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理即可計(jì)算得解．【解答】解：∵A=，B=，a=1,∴由正弦定理，可得：b===．故選：D．2．在等差數(shù)列{an}，若a3=16，a9=80,則a6等于（）A．13 B．15 C．17 D．48【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】直接由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得答案．【解答】解：在等差數(shù)列{an｝中，由a3=16，a9=80，得2a6=a3+a9=16+80=96,∴a6=48．故選：D．3．在△ABC中，∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=1，b=2，c=,則∠C=（）A．120° B．60° C．45° D．30°【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求cosC,結(jié)合C的范圍即可得解．【解答】解：在△ABC中,∵a=1，b=2，c=，∴cosC===﹣．∵C∈(0，180°），∴C=120°．故選：A．4．等差數(shù)列{an}中，a1=﹣5，從第10項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由已知條件得,由此能求出公差d的取值范圍．【解答】解：∵等差數(shù)列｛an}中，a1=﹣5，從第10項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù),∴，解得．∴公差d的取值范圍是（,］．故選：C．5．已知△ABC中，A：B：C=1:1：4,則a：b:c等于（）A．1：1： B．2：2： C．1：1：2 D．1：1:4【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】利用三角形內(nèi)角和公式求得三個(gè)內(nèi)角的值，再利用正弦定理求得a：b：c的值．【解答】解:△ABC中,∵A:B：C=1：1：4，故三個(gè)內(nèi)角分別為30°、30°、120°,則a:b：c=sin30°：sin30°：sin120°=1:1：，故選:A．6．設(shè)Sn是等比數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和，S4=5S2，則的值為(）A．﹣2或﹣1 B．1或2 C．±2或﹣1 D．±1或2【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】設(shè)出等比數(shù)列的首項(xiàng)a1，通過(guò)公比是否為1,根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式以及S4=5S2,求出q的值，利用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，求解即可．【解答】解：由題設(shè)知a1≠0,當(dāng)q=1時(shí),S4=4a1≠10a1=5S2；q=1不成立．當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=，由S4=5S2得1﹣q4=5(1﹣q2),（q2﹣4）（q2﹣1）=0，(q﹣2）（q+2）（q﹣1）(q+1）=0，解得q=﹣1或q=﹣2,或q=2．==q，∴=﹣1或=±2．故選:C．7．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，其中b為最大邊，若sin2（A+C）＜sin2A+sin2C，則角B的取值范圍是()A． B． C． D．【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】根據(jù)正弦定理把不等式化為b2＜a2+c2，再根據(jù)余弦定理和b為三角形的最大邊，即可求出B的取值范圍．【解答】解：△ABC中,sin2（A+C）＜sin2A+sin2C，由正弦定理得：b2＜a2+c2，即a2+c2﹣b2＞0;由余弦定理得:cosB=＞0，∴B＜；又b為最大邊，∴B＞；∴B的取值范圍是(，)．故選：D．8．在△ABC中，角A，B,C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若C=60°,c=a,則（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)=b D．a(chǎn)與b的大中關(guān)系不能確定【考點(diǎn)】解三角形．【分析】由正弦定理求得sinA=，再由大邊對(duì)大角可得A=30°，由三角形內(nèi)角和公式可得B=90°，再由大角對(duì)大邊可得a、b的關(guān)系．【解答】解:在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b,c，若C=60°，c=a，則由正弦定理可得，解得sinA=．再由題意可得，a不是最大邊，故A為銳角，故A=30°．再由三角形內(nèi)角和公式可得B=90°，再由大角對(duì)大邊可得a＜b，故選B．9．已知等差數(shù)列數(shù)列｛an}滿足an+1+an=4n，則a1=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】根據(jù)an+1+an=4n,寫(xiě)出a2+a1，a3+a2的值，兩式作差可求出公差，從而可求出首項(xiàng)．【解答】解：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且an+1+an=4n，∴a2+a1=4，a3+a2=8，兩式相減得a3﹣a1=8﹣4=4，∵數(shù)列｛an}是等差數(shù)列∴2d=4,即d=2，則a2+a1=2a1+d=4=2a1+2即a1=1．故選：B．10．設(shè){an｝是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（）A．若a1a2＞0，則a2a3＞0 B．若a1a3＜0，則a1a2＜0C．若a1＜a2，則a22＜a1a3 D．若a1≥a2，則a22≥a1a3【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】取等差數(shù)列﹣3,﹣1，2,即可判斷出結(jié)論．【解答】解：取等差數(shù)列﹣3，﹣1，2，可知：A，B，C都不成立．D必然成立．故選:D．11．設(shè)｛an}是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和等于（）A．﹣10 B．﹣5 C．0 D．5【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，把已知等式用首項(xiàng)和公差表示，得到a1+a10=0，則可求得數(shù)列的前10項(xiàng)和等于0．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an｝的首項(xiàng)為a1，公差為d(d≠0），由，得，整理得：2a1+9d=0，即a1+a10=0,∴．故選：C．12．在△ABC中，有正弦定理：=定值，這個(gè)定值就是△ABC的外接圓的直徑．如圖2所示，△DEF中，已知DE=DF，點(diǎn)M在直線EF上從左到右運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M不與E、F重合），對(duì)于M的每一個(gè)位置，記△DEM的外接圓面積與△DMF的外接圓面積的比值為λ，那么(）A．λ先變小再變大B．僅當(dāng)M為線段EF的中點(diǎn)時(shí)，λ取得最大值C．λ先變大再變小D．λ是一個(gè)定值【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】設(shè)△DEM的外接圓半徑為R1，△DMF的外接圓半徑為R2，則由題意，=λ，由正弦定理可得：R1=，R2=，結(jié)合DE=DF，sin∠DME=sin∠DMF,可得λ=1，即可得解．【解答】解：設(shè)△DEM的外接圓半徑為R1，△DMF的外接圓半徑為R2，則由題意，=λ，點(diǎn)M在直線EF上從左到右運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M不與E、F重合），對(duì)于M的每一個(gè)位置,由正弦定理可得：R1=，R2=,又DE=DF,sin∠DME=sin∠DMF，可得：R1=R2，可得：λ=1．故選:D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分,共20分,把答案填寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的位置上．13．△ABC中,B=，且AB=1，BC=4,則BC邊上的中線AD的長(zhǎng)為．【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算．【分析】根據(jù)余弦定理進(jìn)行求解即可．【解答】解：△ABC中，B=，且AB=1，BC=4，∴BD=2，∴由余弦定理得AD2=AB2+BD2﹣2AB?BDcosB=1+4﹣2×1×2×=3,則AD=．故答案為：．14．在△ABC中,角A，B,C的所對(duì)邊分別為a,b,c，若a2﹣b2=c2，則的值為．【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】利用余弦定理化簡(jiǎn)即可得出．【解答】解:∵a2﹣b2=c2，∴===．故答案為：．15．?dāng)?shù)列｛an}的前n項(xiàng)的和，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an=．．【考點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性．【分析】利用當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1即可得出．【解答】解：當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2﹣3=﹣1．當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=(2n﹣3）﹣（2n﹣1﹣3）=2n﹣1．綜上可得:．故答案為：an=．16．在數(shù)列{an}中，a1=1，an+2+（﹣1）nan=2，記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S60=930．【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式;數(shù)列的求和．【分析】由an+2+（﹣1）nan=2得，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+2﹣an=2，可判斷數(shù)列｛an｝的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an+2+an=2，即a2+a4=a4+a6=…=2，然后利用分組求和可求得答案．【解答】解：由an+2+（﹣1）nan=2得,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+2﹣an=2，即數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為1,公差為2，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an+2+an=2,即a2+a4=a4+a6=…=2，∴S60=（a1+a3+…+a59)+(a2+a4+…+a60）=（1+3+…）+(2+2+…）=30×1++2×15=930，故答案為:930．三、解答題:本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟．17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b,c,若bsinB﹣asinC=0(1）求證:a，b,c成等比數(shù)列；（2)若a=1，c=2,求△ABC的面積S．【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】(1）由已知及正弦定理可得：b2=ac，從而證明得解．(2)由已知及余弦定理可求cosB,進(jìn)而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB的值，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．【解答】（本題滿分為12分）解：（1）證明:∵bsinB﹣asinC=0，∴bsinB=asinC,由正弦定理可得：b2=ac，∴a，b，c成等比數(shù)列…6分（2)∵a=1，c=2，則b2=ac=2,∴cosB==,…8分∴sinB==，…10分∴S△ABC=acsinB==…12分18．已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列｛an｝滿足：a1=1，且2a1，a3﹣1,a4+1成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)若a2，a5分別是等比數(shù)列{bn}的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】(Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d（d＞0)，運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可得到所求;(Ⅱ）求得b1=a2=3，b2=a5=9，進(jìn)而得到公比q=3,即可得到是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的求和公式即可得到所求．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列｛an}的公差為d（d＞0),由2a1,a3﹣1,a4+1成等比數(shù)列，可得,則2（1+3d+1)=(1+2d﹣1）2，解得（舍去）或d=2,所以{an｝的通項(xiàng)公式為an=2n﹣1；(Ⅱ）由（Ⅰ)可得，b1=a2=3，b2=a5=9,則等比數(shù)列｛bn｝的公比q=3，于是是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列．所以Tn=．19．如圖，有一段河流，河的一側(cè)是以O(shè)為圓心，半徑為10米的扇形區(qū)域OCD，河的另一側(cè)是一段筆直的河岸l，岸邊有一煙囪AB（不計(jì)B離河岸的距離），且OB的連線恰好與河岸l垂直，設(shè)OB與圓弧的交點(diǎn)為E．經(jīng)測(cè)量，扇形區(qū)域和河岸處于同一水平面，在點(diǎn)C，點(diǎn)O和點(diǎn)E處測(cè)得煙囪AB的仰角分別為45°，30°和60°．（1)求煙囪AB的高度；（2）如果要在CE間修一條直路,求CE的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【分析】（1）求出OB=h，EB=h,可得h﹣h=10，即可求煙囪AB的高度；（2)求出cos∠COB，利用余弦定理求CE的長(zhǎng)．【解答】解：（1)設(shè)AB的高為h,則在△CAB中，∵∠ACB=45°，∴CB=h,在△OAB中,∵∠AOB=30°，∠AEB=60°,∴OB=h，EB=h，∴h﹣h=10,∴h=15m;（2）在△OBC中,cos∠COB==,所以在△OCE中,=10m．20．已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列｛an}滿足：a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中項(xiàng)．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;（Ⅱ）設(shè)bn=anlogan,求數(shù)列{bn｝的前n項(xiàng)和Sn．【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)列的求和．【分析】（I）根據(jù)a3+2是a2,a4的等差中項(xiàng)和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，進(jìn)而得出首項(xiàng)和a1，即可求得通項(xiàng)公式；(II）先求出數(shù)列｛bn}的通項(xiàng)公式，然后求出﹣Sn﹣（﹣2Sn），即可求得的前n項(xiàng)和Sn．【解答】解：(I)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q∵a3+2是a2，a4的等差中項(xiàng)∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20∴∴或∵數(shù)列｛an｝單調(diào)遞增∴an=2n(II）∵an=2n∴bn==﹣n?2n∴﹣sn=1×2+2×22+…+n×2n①∴﹣2sn=1×22+2×23+…+(n﹣1）×2n+n2n+1②∴①﹣②得，sn=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1=2n+1﹣n?2n+1﹣221．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b,c，2(a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D為邊BC上一點(diǎn)，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ)由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ)由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=,又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化簡(jiǎn)即可得解．【解答】解：(Ⅰ）因?yàn)?accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2)=a2+c2﹣b2+bc．…整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（Ⅱ）因?yàn)椤螪AB=，所以AD=