人教B版數(shù)學(xué)課件3-2函數(shù)與方程不等式之間的關(guān)系

3.2函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系第三章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋1.了解函數(shù)零點(diǎn)的定義,會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的零點(diǎn).(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.掌握判斷一元二次方程根的存在及個(gè)數(shù)的方法.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系,能利用具體函數(shù)的圖像,借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解.(直觀想象)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)【激趣誘思】路邊有一條河,小明從A點(diǎn)走到了B點(diǎn),觀察下列兩組畫(huà)面,并推斷哪一組能說(shuō)明小明的行程一定曾渡過(guò)河?將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型.【知識(shí)點(diǎn)撥】

知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)的零點(diǎn)(1)定義:一般地,如果函數(shù)y=f(x)在實(shí)數(shù)α處的函數(shù)值等于零,即

f(α)=0,則稱(chēng)α為函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).(2)性質(zhì):①當(dāng)函數(shù)的圖像通過(guò)零點(diǎn)且穿過(guò)x軸時(shí),函數(shù)值變號(hào).②兩個(gè)零點(diǎn)把x軸分為三個(gè)區(qū)間,在每個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值保持同號(hào).要點(diǎn)筆記

(1)函數(shù)的零點(diǎn)可以理解為一個(gè)函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).微練習(xí)下列函數(shù)中沒(méi)有零點(diǎn)的是(

)答案

D解析

由函數(shù)零點(diǎn)的定義,看是否存在實(shí)數(shù)x,使f(x)=0,若存在,則f(x)有零點(diǎn),若不存在,則f(x)無(wú)零點(diǎn).由于函數(shù)f(x)=中,對(duì)任意自變量x的值,均有

≠0,故函數(shù)不存在零點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)二、二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式之間的聯(lián)系設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a>0)Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=f(x)的圖像

f(x)的零點(diǎn)x1,x2x1(或x2)無(wú)零點(diǎn)Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0f(x)=0的根有兩個(gè)不等的實(shí)根x1,x2,且x1<x2有兩個(gè)相等的實(shí)根x1,x2,且x1=x2沒(méi)有實(shí)數(shù)根f(x)>0的解集{x|x<x1或x>x2}

Rf(x)<0的解集{x|x1<x<x2}??微思考

(1)二次函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)的等價(jià)說(shuō)法是什么?提示

二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),當(dāng)Δ=b2-4ac<0時(shí),函數(shù)y=f(x)沒(méi)有零點(diǎn),則函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn).(2)如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集為R,你能得出什么結(jié)論?如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集為?,結(jié)論又如何?提示

①如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集為R,知識(shí)點(diǎn)三、零點(diǎn)存在定理及分類(lèi)(1)函數(shù)零點(diǎn)存在定理:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的,并且

f(a)f(b)<0(即在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)),則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)中至少有一個(gè)零點(diǎn),即?x0∈(a,b),f(x0)=0.(2)分類(lèi):名師點(diǎn)析

(1)一個(gè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)必須同時(shí)滿足:①函數(shù)f(x)在[a,b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線;②f(a)f(b)<0.這兩個(gè)條件缺一不可.(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理只能判斷出零點(diǎn)是否存在,而不能確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).微思考

對(duì)于函數(shù)f(x),若滿足f(a)·f(b)<0,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定有零點(diǎn)嗎?若f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),則f(a)f(b)<0一定成立嗎?提示

對(duì)于函數(shù)f(x),若滿足f(a)f(b)<0,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)不一定有零點(diǎn),如圖1所示;若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),則不一定有f(a)f(b)<0,如圖2所示.知識(shí)點(diǎn)四、求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的一種計(jì)算方法——二分法(1)二分法的定義:對(duì)于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.(2)“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟:在函數(shù)零點(diǎn)存在定理的條件滿足時(shí)(即f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的,且f(a)f(b)<0),給定近似的精度ε,用二分法求零點(diǎn)x0的近似值x1,使得|x1-x0|<ε的一般步驟如下:這些步驟可用如圖所示的框圖表示.微練習(xí)

答案

B微思考

用二分法能求函數(shù)f(x)=(x-3)2的零點(diǎn)的近似值嗎?提示

不能.二分法是用來(lái)解決在閉區(qū)間上連續(xù),且兩端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)的函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法.函數(shù)f(x)=(x-3)2雖是連續(xù)的,但在它的定義域上的任何一個(gè)閉區(qū)間[a,b]內(nèi),都不滿足f(a)f(b)<0,所以無(wú)法判定零點(diǎn)的大致區(qū)間,即不能用二分法求其零點(diǎn)近似值.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一求函數(shù)的零點(diǎn)例1求下列函數(shù)的零點(diǎn):(1)f(x)=-x2-2x+3;(2)f(x)=x4-1.分析解對(duì)應(yīng)的方程的根,即為函數(shù)的零點(diǎn).解

(1)由于f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),所以方程-x2-2x+3=0的兩根是-3,1.故函數(shù)的零點(diǎn)是-3,1.(2)由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1),所以方程x4-1=0的實(shí)數(shù)根是-1,1.故函數(shù)的零點(diǎn)是-1,1.反思感悟

求函數(shù)零點(diǎn)的方法1.函數(shù)零點(diǎn)的求法:解方程f(x)=0,所得實(shí)數(shù)解就是f(x)的零點(diǎn).解三次以上的高次方程時(shí),一般需要因式分解.2.對(duì)于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以將它與函數(shù)y=f(x)的圖像聯(lián)系起來(lái),圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn).變式訓(xùn)練

1求f(x)=x3-4x的零點(diǎn).解

令f(x)=0,即x3-4x=0,所以x(x2-4)=0,即x(x+2)(x-2)=0,解得x1=0,x2=-2,x3=2.所以函數(shù)f(x)=x3-4x有3個(gè)零點(diǎn),分別是-2,0,2.探究二函數(shù)法(圖像法)解一元二次不等式例2解下列不等式:(1)2x2-3x-2>0;(2)x2-4x+4>0;(3)-x2+2x-3<0;(4)-3x2+5x-2>0.分析根據(jù)一元二次不等式與對(duì)應(yīng)二次方程和二次函數(shù)的關(guān)系及基本方法求解.(2)∵Δ=0,方程x2-4x+4=0的根是x1=x2=2,∴不等式x2-4x+4>0的解集為{x|x≠2}.(3)原不等式可化為x2-2x+3>0,由于Δ<0,方程x2-2x+3=0無(wú)解,∴不等式-x2+2x-3<0的解集為R.反思感悟

函數(shù)法解一元二次不等式的一般步驟(1)化標(biāo)準(zhǔn).通過(guò)對(duì)不等式的變形,使不等式右側(cè)為0,使二次項(xiàng)系數(shù)為正.(2)判別式.對(duì)不等式左側(cè)因式分解,若不易分解,則計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式.(3)求實(shí)根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有無(wú)實(shí)根.(4)畫(huà)草圖.根據(jù)一元二次方程根的情況畫(huà)出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的草圖.(5)寫(xiě)解集.根據(jù)函數(shù)圖像寫(xiě)出不等式的解集.變式訓(xùn)練

2解下列不等式:(1)2x2+7x+3>0;(2)-4x2+18x-≥0.探究三判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)例3(1)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足ac<0,則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)A.0 B.1 C.2 D.不確定(2)判斷下列函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù):①f(x)=x2-7x+12;

②f(x)=x2-.(1)答案

C解析

二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的零點(diǎn)即方程ax2+bx+c=0的根,因?yàn)棣?b2-4ac>0(因ac<0),所以函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).(2)解

①因?yàn)橛蒮(x)=0,即x2-7x+12=0,得Δ=49-4×12=1>0,所以方程x2-7x+12=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根3,4.所以函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).方法二:令f(x)=0,即x2-=0,因?yàn)閤≠0,所以x3-1=0.所以(x-1)(x2+x+1)=0.所以x=1或x2+x+1=0.因?yàn)榉匠蘹2+x+1=0的根的判別式Δ=12-4=-3<0,所以方程x2+x+1=0無(wú)實(shí)數(shù)根.所以函數(shù)f(x)只有1個(gè)零點(diǎn).反思感悟

函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法1.對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的判斷通常的做法有:(1)直接求出零點(diǎn);(2)結(jié)合函數(shù)圖像分析;(3)對(duì)函數(shù)解析式確定的二次函數(shù),用判別式Δ即可,若Δ表達(dá)式中含有字母,需對(duì)字母進(jìn)行討論.2.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?拋物線f(x)=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)?方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的個(gè)數(shù).解

當(dāng)x≤0時(shí),令x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍);當(dāng)x>0時(shí),令-2+x=0,解得x=2.探究四零點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)用例4當(dāng)a取何值時(shí),方程ax2-2x+1=0的一個(gè)根在區(qū)間(0,1)內(nèi),另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)內(nèi)?分析對(duì)a分a=0,a>0,a<0三種情況討論,并利用零點(diǎn)的特征性質(zhì)來(lái)解決.解

當(dāng)a=0時(shí),方程即為-2x+1=0,只有一根,不符合題意.當(dāng)a>0時(shí),設(shè)f(x)=ax2-2x+1,∵方程ax2-2x+1=0的根,即函數(shù)f(x)的零點(diǎn)分別在區(qū)間(0,1),(1,2)內(nèi),反思感悟

解決根的分布問(wèn)題的一般步驟1.首先畫(huà)出符合題意的草圖,轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題.2.結(jié)合草圖考慮三個(gè)方面:(1)Δ與零的大小關(guān)系;(2)對(duì)稱(chēng)軸與所給端點(diǎn)值的關(guān)系;(3)端點(diǎn)的函數(shù)值與零的關(guān)系.3.寫(xiě)出由題意得到的不等式(組).4.由得到的不等式(組)去驗(yàn)證圖像是否符合題意.延伸探究求證:方程5x2-7x-1=0的根一個(gè)在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一個(gè)在區(qū)間(1,2)內(nèi).解

設(shè)f(x)=5x2-7x-1,則f(-1)·f(0)=11×(-1)=-11<0,f(1)·f(2)=(-3)×5=-15<0.又二次函數(shù)f(x)=5x2-7x-1的圖像是連續(xù)的,故f(x)在(-1,0)和(1,2)內(nèi)分別有零點(diǎn),即方程5x2-7x-1=0的根一個(gè)在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一個(gè)在區(qū)間(1,2)內(nèi).探究五利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值例5求函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+1的一個(gè)負(fù)零點(diǎn)(精確度0.01).解

確定一個(gè)包含負(fù)數(shù)零點(diǎn)的區(qū)間(m,n),且f(m)·f(n)<0.因?yàn)閒(-1)>0,f(-2)<0,所以可以取區(qū)間(-2,-1)作為計(jì)算的初始區(qū)間,當(dāng)然選取在較大的區(qū)間也可以.用二分法逐步計(jì)算,列表如下:由于|-1.929

687

5+1.937

5|=0.007

812

5<0.01,所以函數(shù)的一個(gè)負(fù)零點(diǎn)近似值可取為-1.929

687

5.反思感悟

1.二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的一般步驟

2.二分法應(yīng)用時(shí)的注意事項(xiàng)(1)要選好計(jì)算的初始區(qū)間,這個(gè)區(qū)間既要包含函數(shù)的零點(diǎn),又要使其長(zhǎng)度盡量小.(2)在求解過(guò)程中,可借助表格或數(shù)軸清楚地描寫(xiě)逐步縮小零點(diǎn)所在區(qū)間的長(zhǎng)度.(3)根據(jù)給定的精確度,及時(shí)檢驗(yàn)所取區(qū)間長(zhǎng)度是否達(dá)到要求,以及時(shí)終止計(jì)算.延伸探究求本例函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,-1]上精確度為0.1的一個(gè)零點(diǎn)近似值.解

因?yàn)閒(-1)>0,f(-2)<0,且函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+1的圖像是連續(xù)的曲線,根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可知,它在區(qū)間[-2,-1]內(nèi)有零點(diǎn),用二分法逐步計(jì)算,列表如下:由于|-1.875+1.937

5|=0.062

5<0.1,所以函數(shù)在區(qū)間[-2,-1]內(nèi)的一個(gè)近似零點(diǎn)可取為-1.937

5.

素養(yǎng)形成二次函數(shù)的零點(diǎn)綜合問(wèn)題典例

已知二次函數(shù)f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5.(1)當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)時(shí),求k的取值范圍;(2)若-1和-3是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),求k的值;(3)若函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)是α,β,求α2+β2關(guān)于k的關(guān)系式h(k).分析本題考查對(duì)二次函數(shù)零點(diǎn)的理解及零點(diǎn)的性質(zhì).本題中的函數(shù)f(x)是二次函數(shù),因此其零點(diǎn)的判斷和零點(diǎn)的性質(zhì)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為二次方程根的判斷或根的性質(zhì).(3)∵α,β是函數(shù)f(x)的兩個(gè)不同零點(diǎn),∴α,β是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的兩根,∴α+β=k-2,αβ=k2+3k+5.∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6.方法點(diǎn)睛

1.若二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根是x1,x2,也可以說(shuō)x1,x2是f(x)=ax2+bx+c的兩個(gè)零點(diǎn),則有x1+x2=2.本題中如果忽視Δ的利用,將會(huì)影響α2+β2的范圍而導(dǎo)致出錯(cuò).變式訓(xùn)練

設(shè)函數(shù)f(x)=ax+2a+1(a≠0)在[-1,1]上存在一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

∵一次函數(shù)f(x)在[-1,1]上存在零點(diǎn),∴f(-1)·f(1)≤0.∴(-a+2a+1)(a+2a+1)≤0,即(3a+1)(a+1)≤0.令g(a)=(3a+1)(a+1)=0,得函數(shù)g(a)的兩個(gè)零點(diǎn)是a1=-1,a2=-,作出g(a)的圖像如圖所示,

當(dāng)堂檢測(cè)1.(多選題)下列函數(shù)圖像與x軸均有交點(diǎn),其中能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的圖像是(

)答案

ACD2.若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)根1,2,則實(shí)數(shù)f(x)=cx2+bx+a的零點(diǎn)為(

)A.1,2