2022年數(shù)列教案課件

數(shù)列求和復(fù)習(xí)課

一.教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與能力目標(biāo)：

熟練掌握等差、等比數(shù)列的求和公式及非等差、等比數(shù)列求和的幾種常用

方法

2.過程與方法目標(biāo)：

歸納數(shù)列求和的常用方法，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

3.情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)：

體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，提高觀察能力，分析問題、解決問題的能力以及計(jì)算能力

二.學(xué)情分析

我班學(xué)生根底比擬薄弱，故先從剛學(xué)過的等差等比數(shù)列求和的方法入

手。選題能適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知水平，使學(xué)生在教學(xué)過程中能靈活應(yīng)用，思維

得到提高。

三.教學(xué)重難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列求和方法及其思路獲取.

教學(xué)難點(diǎn)：在具體問題情境中，恰中選擇求和方法，準(zhǔn)確迅速求和

四.教學(xué)過程

（一）.數(shù)列求和的常用方法：

1、分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列中的每一項(xiàng)分成多個(gè)項(xiàng)或把數(shù)列中的項(xiàng)重新組

合，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，然后由等差、等比數(shù)列求和公式求解

師：說出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

—

生：Sn—2，Sn2

師：說出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

(gw】)S廣告WD

生：sn=1-g

師：條件q=l時(shí)一，前n項(xiàng)和怎樣計(jì)算

生：Sn=nai

師:下面請(qǐng)同學(xué)們先看例1。

(x+l)+(xJ+-?5-)+AA+(x*+-^-)(x*0,x*Vxl)

例i⑴求和：yy/

設(shè)計(jì)意圖:將數(shù)列的求和問題化為等差數(shù)列、等比數(shù)列求和問題；

師：上面各個(gè)括號(hào)內(nèi)的式子均由兩項(xiàng)組成，其中各括號(hào)內(nèi)的前一項(xiàng)與后一

項(xiàng)分別組成等比數(shù)列，分別求出這兩個(gè)等比數(shù)列的和，就能得到所求式子

的和。

解：當(dāng)xWO,xWl,yWl時(shí)

(不+x'+AA+x*)+(—+f+AA+—)

原式=yyy

x(l-f)+y尸=XT*"+

1-x1I1-x/**1-x*

y

〔以上化簡過程，實(shí)際上是繁分式的化簡應(yīng)強(qiáng)調(diào)結(jié)果的完整〕

師：題中附加條件去掉，應(yīng)該如何考慮請(qǐng)同學(xué)們課后思考。

2、倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等或等

于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)

列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的

師：出例如2.求證：

C：+34+5C：+…+(2%+l)C：=(%+1)2，

設(shè)計(jì)意圖:對(duì)某些前后具有對(duì)稱性的數(shù)列，可運(yùn)用倒序相加法求其前3項(xiàng)和.

證明：設(shè)松=￥+34+5?+…+(2%+l)C；(1)

把〔1〕式右邊倒轉(zhuǎn)過來，得

=(2?+l)qi+(2?-l)C^1+-+3C^+C^(2)

又C；=

所以(2)式可變?yōu)?/p>

S*=(2〃+l)C：+伽-1?+…+3C；"+C；(3)

由(1)+⑶得

2sx=(2?+2)(C：++…+C；-1+C；)

=2(附+1>2*.

所以S；=5+1)2

3、錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的

對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)

列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的

師:出例如3.求S*=1+3乂+5>+7>+.“+(2”l)xi(xwl)

生思考后師分析：由題可知，｛Q閥-1)/“)的通項(xiàng)是等差數(shù)歹成2〃一4的通

項(xiàng)與等比數(shù)列｛犬〉的通項(xiàng)之積，符合錯(cuò)位相減法的特征，可通過錯(cuò)位相減

轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和來解決。

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)等比數(shù)列與等差數(shù)列組合數(shù)列求和；

解：設(shè)&=1+3=+52+79+…+(2同一1)產(chǎn)自1)(1)

則礙

=x+3/+5/+7x'+…+(2%-l)x*(2)

由Q)-(2),得

(1-x)=1+2X=2X2+2X3+2X++-+2^-1-(2?-1)XS

再利用等比數(shù)列求和公式，得

1_/一1

(1-)S*=l+2x———-(2?-l)xs.

1-X

又因?yàn)閄工1,

斫］(2-1)/1-伽+1)/+(1+力

歷昭一(1-x)2

4、裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和的中間一些項(xiàng)可以相

互抵消，從而求得其和，利用裂項(xiàng)法的前提是數(shù)列中的每一項(xiàng)均能分裂成

一正一負(fù)兩項(xiàng)。裂項(xiàng)相消求和時(shí)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),

也有可能前面剩兩項(xiàng)后面也剩兩項(xiàng)，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需

要調(diào)整前面的系數(shù)，才能使裂開的兩項(xiàng)差與原通項(xiàng)公式相等。

111.1

,+---+，+AA+-----

師出例如4求和：：?二2?:>4心+1)

師：將各項(xiàng)分母通分，顯然是行不通的，能否通過通項(xiàng)的特點(diǎn)，將每一項(xiàng)

拆成兩項(xiàng)的差，使它

們之間能互相抵消許多。

11■_1_

生：⑴”—村上+1)一工上+1令k=l,2,3,???n

八1、,11、+/-1、A/1、

領(lǐng)力［s_p._O--)+(--T)(T7)+A+(-----)

那么原式=221>4n〃+1

=n=n+\

設(shè)計(jì)意圖：用裂項(xiàng)相消法求出前n項(xiàng)和.

LUj+」

變式(1)求和：1"2-43?5雙月+2)

11A1

(2)：求數(shù)列：1,1+2,1+2+3,1+2+3+A+力的前n項(xiàng)和。

(啟發(fā)學(xué)生，根據(jù)上面的方法解決)

5、并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可以兩兩結(jié)合求解稱之為并

項(xiàng)法。

1二)、課堂小結(jié)：

常用數(shù)列求和方法有：

(1)公式法:直接運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式；

(2)分組轉(zhuǎn)化法：將數(shù)列的求和問題化為等差數(shù)列、等比數(shù)列求和問

題;

倒序相加法：對(duì)前后項(xiàng)有對(duì)稱性的數(shù)列求和;

(4)錯(cuò)位相減法:對(duì)等比數(shù)列與等差數(shù)列組合數(shù)列求和；(乘以公比，

錯(cuò)位相減)

(5)裂項(xiàng)相消法:將數(shù)列的通項(xiàng)分解成兩項(xiàng)之差，從而在求和時(shí)產(chǎn)生相

消為零的項(xiàng)的求和方法.

(6)并項(xiàng)求和法:將相鄰n項(xiàng)合并為一項(xiàng)求和；

(三)、作業(yè)布置。

四、教學(xué)資源：

1、命題走向：

數(shù)列求和和數(shù)列綜合及實(shí)際問題在高考中占有重要的地位，一般情況下

都是出一道解答題，解答題大多以數(shù)列為工具，綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不

等式等知識(shí)，通過運(yùn)用逆推思想、函數(shù)與方程、歸納與猜測、等價(jià)轉(zhuǎn)化、

分類討論等各種數(shù)學(xué)思想方法，這些題目都考察考生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分

析問題和解決問題的能力，它們都屬于中、高檔題目。

2^有關(guān)命題趨勢(shì)：

(1〕.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，而不等式那么是深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)和數(shù)列

的有效工具，三者的綜合題是對(duì)根底和能力的雙重檢驗(yàn)，在三者交匯處設(shè)

計(jì)試題，特別是代數(shù)推理題是高考的重點(diǎn)；

〔2〕.數(shù)列推理題是將繼續(xù)成為數(shù)列命題的一個(gè)亮點(diǎn)，這是由于此類

題目能突出考察學(xué)生的邏輯思維能力，能區(qū)分學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈敏程

度、靈活程度；

(3).數(shù)列與新的章節(jié)知識(shí)結(jié)合的特點(diǎn)有可能加強(qiáng)，如與解析幾何的

結(jié)合等；

(4).有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問題也一直備受關(guān)注。

3、預(yù)測高考：

1.可能為一道考察關(guān)于數(shù)列的推導(dǎo)能力的解答題；

2.也可能為一道知識(shí)交匯題是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用

問題上等聯(lián)系的綜合題，以及數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法等有機(jī)結(jié)合。

五、教學(xué)反思及總結(jié)：

1.我從兩個(gè)方面設(shè)計(jì)變式題。其一，橫向變化，其二是縱向變化。橫向

變化是：從公式一例題各個(gè)側(cè)面來看求和，讓學(xué)生開拓了視野，展開豐富

的聯(lián)想：分組求和可分兩組，是否還有分三組來解的題裂項(xiàng)相消法求和有

分母裂項(xiàng)求和，是否還有分母有理化進(jìn)行求和等?？v向變化：條件削弱，

問題復(fù)雜，難度提升。從具體到抽象，從特殊到一般螺旋式的上升。橫向

變化，可看出思維變異的多樣性。這種思維變異的多樣性在今后的學(xué)習(xí)過

程中將要面臨的。如何理解這種數(shù)學(xué)的合理性呢學(xué)生的學(xué)習(xí)的本質(zhì)是繼承、

借鑒、開展、創(chuàng)新，而問題變式教學(xué)恰是在有實(shí)例的支持下，繼承了思維

變異的常用技巧，借鑒此技巧、尋求更多的變異，如分組成三個(gè)或更多個(gè)

的式子求和，使學(xué)的思維得到充分的開展，從而取得創(chuàng)新的目的，這就是

教學(xué)中所要取得的效果。從縱向變化，可看出思維變異的深入性。問題的

層層深入，使問題的一般規(guī)律掀起蓋頭，讓學(xué)生體驗(yàn)了思維向縱深開展的

規(guī)律。

2.反思求和公式方法的總結(jié)，我也發(fā)現(xiàn)了種種遺憾.如學(xué)生的解法均缺

乏根據(jù)，但教師贊賞學(xué)生這種善于通過類比聯(lián)想而發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性解法，為

了保護(hù)學(xué)生的積極性和創(chuàng)造性，沒有進(jìn)行否認(rèn)，而是讓學(xué)生課下思考，是

否妥當(dāng)需要研究.又如裂項(xiàng)相消法等，都是由教師提出來的，假設(shè)是能由

學(xué)生主動(dòng)提出就更好了.為此急需加強(qiáng)對(duì)學(xué)生提出問題的能力的訓(xùn)練和培

養(yǎng)