北師大版九年級數(shù)學上冊 （矩形的性質(zhì)與判定）特殊平行四邊形課件(第3課時)

矩形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形

第3課時知識點

矩形的性質(zhì)與判定的綜合應用1.在下列命題中:①矩形是軸對稱圖形,且有兩條對稱軸;②兩條對角線相等的四邊形是矩形;③有兩個角相等的平行四邊形是矩形;④兩條對角線相等且互相平分的四邊形是矩形.其中正確命題的個數(shù)是(C)A.4 B.3 C.2 D.12.(原創(chuàng))如圖,A,B,C分別表示三個村莊,AB=1000m,BC=600m,AC=800m,在社會主義新農(nóng)村建設中,為了豐富群眾生活,擬建一個文化活動中心,要求這三個村莊到活動中心的距離相等,則活動中心P應建在(A)

A.AB的中點處B.BC的中點處C.AC的中點處D.∠

C的平分線與

AB的交點處3.如圖,四邊形

ABCD和四邊形

AEFC是兩個矩形,點

B在EF邊上.若矩形

ABCD和矩形

AEFC的面積分別是S1,S2,則S1,S2的大小關系是(B)A.S1>S2 B.S1=S2C.S1<S2 D.3S1=2S24.如圖,在四邊形

ABCD中,∠

A=∠

BCD=90°,BC=CD,CE⊥

AD,垂足為E.求證:AE=CE.證明:過點

B作

BF⊥

CE于點F.∵

CE⊥

AD,∴∠

D+∠

DCE=90°.∵∠

BCD=90°,∴∠

BCF+∠

DCE=90°,∴∠

BCF=∠

D.又∠

CED=∠

BFC=90°,BC=CD,∴△BCF≌△CDE,∴

BF=CE.∵∠

A=90°,CE⊥

AD,BF⊥

CE,∴四邊形

AEFB是矩形,∴

AE=BF,∴

AE=CE.5.九年級(2)班同學要在廣場上布置一個矩形的花壇,計劃用紅花擺成兩條對角線(如圖).如果一條對角線用了49盆紅花,還需要從花房運來紅花(A)

A.48盆 B.49盆C.50盆 D.51盆6.如圖所示,四邊形

ABCD為平行四邊形,延長

AD到點E,使

DE=AD,連接EB,EC,DB,添加一個條件,不能使四邊形

DBCE成為矩形的是(B)

A.AB=BE B.BE⊥

DCC.∠

ADB=90° D.CE⊥

DE7.如圖所示,在矩形

ABCD中,AE=AF,過點E作EH⊥EF交

DC于點H,過點F作FG⊥EF交

BC于點G,當

AD,AB滿足

AB=AD

(關系)時,四邊形EFGH為矩形.

8.(原創(chuàng))如圖,在Rt△ABC中,∠

C=90°,AC=6,BC=8,P為

AB上不與

A,B重合的動點,過點P分別作PE⊥

AC于點E,PF⊥

BC于點F,則線段EF的最小值是

5

.

9.如圖,在四邊形

ABCD中,對角線

AC,BD相交于點O,AO=CO,BO=DO,且∠

ABC+∠

ADC=180°.(1)求證:四邊形

ABCD是矩形;(2)若∠

ADF∶∠FDC=3∶2,DF⊥

AC,則∠

BDF的度數(shù)是多少?解:(1)∵

AO=CO,BO=DO,∴四邊形

ABCD是平行四邊形,∴∠

ABC=∠

ADC,∵∠

ABC+∠

ADC=180°,∴∠

ABC=∠

ADC=90°,∴四邊形

ABCD是矩形.(2)∵∠

ADC=90°,∠

ADF∶∠FDC=3∶2,∴∠FDC=36°,∵

DF⊥

AC,∴∠

DCO=90°-36°=54°,∵四邊形

ABCD是矩形,∴OC=OD,∴∠ODC=∠

DCO=54°,∴∠

BDF=∠ODC-∠FDC=18°.10.(鄂州中考)如圖,將矩形

ABCD沿對角線

AC翻折,點

B落在點F處,FC交

AD于點E.(1)求證:△AFE≌△CDE;(2)若

AB=4,BC=8,求圖中陰影部分的面積.11.(玉林中考)如圖,在?ABCD中,DC>AD,四個角的平分線

AE,DE,BF,CF的交點分別是E,F,過點E,F分別作

DC與

AB間的垂線MM'與NN',在

DC與

AB上的垂足分別是M,N與M',N',連接EF.(1)求證:四邊形EFNM是矩形;(2)已知

AE=4,DE=3,DC=9,求EF的長.解:(1)過點E,F分別作

AD,BC的垂線,垂足分別是G,H.由(1)知GE=NF.在Rt△GEA和Rt△CNF中,∵∠2=∠5,∠EGA=∠FNC=90°,GE=NF,∴△GEA≌△NFC,∴

AG=CN.在Rt△DME和Rt△DGE中,∵

DE=DE,ME=GE,∴△DME≌△DGE,∴

DG=DM,∴

DM+CN=DG+AG=AD=5,∴MN=CD-DM-CN=9-5=4.∵四邊形EFNM是矩形,∴EF=MN=4.矩形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形導入新課講授新課當堂練習課堂小結第1課時

1.了解矩形的概念及其與平行四邊形的關系；2.探索并證明矩形的性質(zhì)定理.（重點）3.應用矩形的性質(zhì)定理解決相關問題.（難點）學習目標問題1:觀察下面的圖形,它們都是一種特殊的平行四邊形,請你說一說他們的特殊之處.問題2：你能舉出生活中的一些此種圖形的實例嗎？導入新課矩形的定義一活動：利用一個活動的平行四邊形教具演示,使平行四邊形的一個內(nèi)角變化,請同學們注意觀察.矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.矩形講授新課

矩形是特殊的平行四邊形,它具有平行四邊形的所有性質(zhì),但平行四邊形不一定是矩形.歸納平行四邊形菱形集合平行四邊形集合矩形集合做一做：請同學們拿出準備好的矩形紙片,折一折,觀察并思考.

（1）矩形是不是中心對稱圖形?如果是,那么對稱中心是什么？（2）矩形是不是軸對稱圖形?如果是,那么對稱軸有幾條?矩形的性質(zhì)：對稱性：

.對稱軸：

.軸對稱圖形2條矩形的性質(zhì)二活動探究：準備素材：直尺、量角器、橡皮擦、課本、鉛筆盒等.（1）請同學們以小組為單位,測量身邊的矩形（如書本,課桌,鉛筆盒等）的四條邊長度、四個角度數(shù)和對角線的長度及夾角度數(shù),并記錄測量結果.（2）根據(jù)測量的結果,猜想結論.當矩形的大小不斷變化時,

發(fā)現(xiàn)的結論是否仍然成立？（3）通過測量、觀察和討論,你能得到矩形的特殊性質(zhì)嗎？ABCDOABADACBD∠BAD∠ADC∠AOD∠AOB橡皮擦課本桌子物體測量（實物）（形象圖）填一填根據(jù)上面探究，猜想矩形的特殊性質(zhì)，并把結果填在下面橫線上.角：

.對角線：

.ABCD四個角為90°相等O證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形.

∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的對角線)

AB∥DC(矩形的對邊平行).∴∠ABC+∠BCD=180°.

又∵∠ABC=90°,∴∠BCD=90°.求證:矩形的四個角都是直角，且對角線相等.已知：如圖,四邊形ABCD是矩形,∠ABC=90°,對角線 AC與DB相較于點O.求證：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°; （2）AC=DB.ABCDO∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.證明猜想(2)∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=DC(矩形的對邊相等).在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB.

1.矩形的四個角都是直角.2.矩形的對角線相等.定理ABCDO歸納結論

矩形是特殊的平行四邊形,它除具有平行四邊形的所有性質(zhì)外,還有平行四邊形所沒有的特殊性質(zhì).對稱性：是軸對稱圖形.角：四條角都是90°.對角線：相等.

角：對角相等.邊：對邊平行且相等.對角線：相交并相互平分.矩形的特殊性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)例1：如圖,在矩形ABCD中,兩條對角線相交于點O,∠AOD=120°,AB=2.5

,求矩形對角線的長.解：∵四邊形ABCD是矩形.∴AC=

BD(矩形的對角線相等).

OA=

OC=

AC,OB=OD=

BD, (矩形對角線相互平分) ∴OA=OD.ABCDO典例精析ABCDO∵∠AOD=120°,∴∠ODA=∠OAD=

(180°-120°)=30°.又∵∠DAB=90°,（矩形的四個角都是直角）∴BD

=2AB

=

2×2.5=5.提示：∠AOD=120°→

∠AOB=60°→OA=OB=AB

→

AC=2OA=2×2.5=5.你還有其他解法嗎？例2：如圖,在矩形ABCD中,E是BC上一點,AE=AD,DF⊥AE

,垂足為F.求證：DF=DC.ABCDEF證明：連接DE.∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.∴∠ADE=∠DEC,∴∠DEC=∠AED.又∵DF⊥AE,∴∠DFE=∠C=90°.又∵DE=

DE,∴△DFE≌△DCE,∴DF=DC.已知：如右圖,四邊形ABCD是矩形,對角線AC與BD交于點E.證明：在Rt△ABC中,BE=AC.ABCDE證明：∵四邊形ABCD是矩形. ∴AC=BD(矩形的對角線相等).

BE=

DE=

BD,AE=CE=

AC(矩形對角線相互平分), ∴BE=

AC.直角三角形斜邊上的中線上的性質(zhì)三直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.定理例3：如圖，已知BD，CE是△ABC不同邊上的高，點G，F(xiàn)分別是BC，DE的中點，試說明GF⊥DE.解：連接EG，DG.∵BD，CE是△ABC的高，∴∠BDC＝∠BEC＝90°.∵點G是BC的中點，∴EG＝2(1)BC，DG＝2(1)BC.∴EG＝DG.又∵點F是DE的中點，∴GF⊥DE.解析：本題的已知條件中已經(jīng)有直角三角形，有斜邊上的中點，由此可聯(lián)想到應用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一定理．練一練：根據(jù)右圖填空已知△ABC中,∠ABC

=

90°,BD是斜邊AC上的中線.(1)若BD=3cm,則AC

=_____cm;(2)若∠C

=

30°,AB=5cm,則AC

=_____cm,

BD

=_____cm.ABCD6105歸納總結直角三角形斜邊上的中線上的性質(zhì)常見類型1.