基于撐桿高度的雙向張弦梁找形方法

基于撐桿高度的雙向張弦梁找形方法

1雙向張弦結(jié)構(gòu)2008年，國家體育屋頂結(jié)構(gòu)采用了14.4m長的雙向結(jié)構(gòu)，全長為14.4m。雙排張的形狀也是雙排張的主要結(jié)構(gòu)，雙排張的結(jié)構(gòu)是雙排張的關(guān)鍵。過去建設(shè)的張弦結(jié)構(gòu)多為單向受力,如國內(nèi)已經(jīng)建成的浦東機(jī)場一號航站樓跨度82.6米、廣東會展中心跨度126.6米、哈爾濱會展中心跨度128米,深圳會展中心跨度126米,日本1994年建成的北九州穴生穹頂跨度61.8米,這些結(jié)構(gòu)都采用多榀結(jié)構(gòu)尺寸相同的張弦梁或張弦桁架平行布置形成的屋面結(jié)構(gòu)。單向張弦結(jié)構(gòu)上、下弦多按拋物線布置,可以提供基本均勻向上的平衡荷載,使得上弦的桁架或梁受力均勻,下弦選擇合適的拉力大小和曲線形式可以保證在勻布荷載下平衡掉外部荷載,使上弦結(jié)構(gòu)基本不產(chǎn)生彎曲。雙向張弦梁的下弦位于一個曲面上,上弦也經(jīng)常為曲面屋頂,兩個方向的索均產(chǎn)生向上的平衡荷載,兩個方向索通過撐桿將平衡荷載傳至上弦結(jié)構(gòu);上弦為曲面時,由于存在索提供的水平拉力而產(chǎn)生拱的作用,從而平衡掉一部分豎向荷載。根據(jù)上弦形狀確定下弦索所在的曲面,使得雙向張弦梁上弦彎矩較小,是雙向張弦結(jié)構(gòu)下弦索曲面找形的目標(biāo)。過去張弦梁的找形研究都集中在撐桿高度確定后預(yù)應(yīng)力作用下張弦梁的變形,確定張弦梁的零應(yīng)力狀態(tài),沒有去尋找下弦的最佳形狀;索和膜的找形多采用力密度法或支座位移法,在勻布荷載和勻布拉力下可以采用泊松方程進(jìn)行求解,如果以下弦坐標(biāo)為未知數(shù)進(jìn)行有限元求解,需要先根據(jù)上弦形狀減去上弦拱平衡掉的荷載,計算復(fù)雜。本文根據(jù)外荷載大小、索拉力大小與撐桿高度之間的關(guān)系,建立了以撐桿高度為未知數(shù)的線性有限元方程,通過算例驗(yàn)證了該有限元找形方法確定撐桿高度的正確性,用ADINA計算分析了找形得到的平屋面和曲屋面兩種雙向張弦梁在規(guī)定荷載下的內(nèi)力和變形:上弦彎曲和豎向變形幾乎是0,完全達(dá)到了找形的目標(biāo)。2剛度矩陣、荷載向量的簡化分析本文根據(jù)下弦索網(wǎng)的平面網(wǎng)格布置,以撐桿高度為未知數(shù)推導(dǎo)了有限元分析的剛度矩陣、荷載向量,并用FORTRAN語言編制了有限元程序,計算出較為理想的撐桿高度,根據(jù)上弦曲面形狀找到上弦受彎很小的下弦索曲面形狀。2.1中性關(guān)系中的豎向分力下弦單元都是受拉桿單元,只有軸向拉力。單元e的下弦節(jié)點(diǎn)為id和jd,軸向拉力的水平分量為Hi-j,保持為設(shè)計拉力值不變。由于外荷載為豎向荷載,每根索的水平投影為一直線,因此找形過程中索拉力的水平分量是不變的。初始狀態(tài)下弦節(jié)點(diǎn)id的坐標(biāo)為(xid,yid,zid),節(jié)點(diǎn)jd的坐標(biāo)為(xjd,yjd,zjd),由于節(jié)點(diǎn)的水平投影位置已經(jīng)在設(shè)計時固定,因此只有豎向變形和豎向剛度。下弦ed的水平投影長度為Li-j=√(xj-xi)2+(yj-yi)2(1)Li?j=(xj?xi)2+(yj?yi)2??????????????????√(1)下弦ed在節(jié)點(diǎn)id產(chǎn)生的豎向分力為Fdei=zjd-zidLi-j×Ηi-j(2)Fdei=zjd?zidLi?j×Hi?j(2)同理,上弦eu在節(jié)點(diǎn)iu產(chǎn)生的豎向分力為Fuei=-zju-ziuLi-j×Ηi-j(3)Fuei=?zju?ziuLi?j×Hi?j(3)上弦和下弦在節(jié)點(diǎn)i產(chǎn)生的豎向分力為Fei=Fuei+Fdei=-(zid-ziu)+(zjd-zju)Li-j×Ηi-j=-zi+zjLi-j×Ηi-j(4)Fei=Fuei+Fdei=?(zid?ziu)+(zjd?zju)Li?j×Hi?j=?zi+zjLi?j×Hi?j(4)式中zi=zid-ziu為i節(jié)點(diǎn)撐桿長度負(fù)值,zj=zjd-zju為j節(jié)點(diǎn)撐桿長度負(fù)值,zi和zj負(fù)號表示受拉弦在受壓弦的下面。由外荷載與單元產(chǎn)生的力相平衡,因此單元e在i節(jié)點(diǎn)的剛度:kii=-?Fei?zi=Ηi-jLi-j(5)同理得到:kij=kji=-?Fei?zj=-Ηi-jLi-j(6)kjj=kii=Ηi-jLi-j(7)單元剛度矩陣為[ke]=[kiikijkjikjj]=[Ηi-jLi-j-Ηi-jLi-j-Ηi-jLi-jΗi-jLi-j](8)式中Hi-j是單元e拉力的水平分量,Li-j是單元e的水平面投影長度。式(8)表明單元剛度[ke]與索拉力的水平分力Hi-j是成正比的,索拉力越大,單元剛度越大。2.2點(diǎn)i豎向外荷載假設(shè)外荷載只作用在撐桿所在節(jié)點(diǎn)上,節(jié)點(diǎn)i豎向外荷載為Pi,荷載列陣為{F}={Pi}(9)豎向荷載Pi的正方向與z正方向相同。2.3剛度有限大的情況雙向張弦梁在邊界上的節(jié)點(diǎn)位置是確定的,撐桿高度為0,不再有變形,因此可以將邊界節(jié)點(diǎn)用很大的數(shù)來模擬剛度無限大以達(dá)到撐桿高度z=0。假設(shè)節(jié)點(diǎn)i是索邊界固定點(diǎn),程序中取:kii=1×1019(N/mm)(10)2.4單元剛度計算方法對于雙向張弦梁,如果上弦和下弦在撐桿處產(chǎn)生向上的節(jié)點(diǎn)力與外荷載節(jié)點(diǎn)力相平衡,上弦梁將只承受軸向力,理論上不產(chǎn)生彎矩,這時的形狀就是理想的雙向張弦梁形狀,后面算例也驗(yàn)證了這一觀點(diǎn)的正確性。根據(jù)單元剛度式(8)、外荷載式(9)和邊界條件(10),可以得到有限元方程:[K]{z}={F}(11)式(11)中總剛[K]由式(8)[ke]組成,剛度與下弦索拉力的水平分力成正比。由于單元剛度[ke]中采用的是成形狀態(tài)索的水平拉力,所得[K]是成形狀態(tài)的剛度,外荷載{F}也是成形狀態(tài)的外荷載,因此,計算出的撐桿高度{z}是成形狀態(tài)的數(shù)值,可以根據(jù)預(yù)定索拉力通過線性有限元方程(11)一次求解出{z}。一般的索結(jié)構(gòu)計算是由初始狀態(tài)根據(jù)變形調(diào)整結(jié)構(gòu)剛度同時考慮大變形產(chǎn)生的幾何非線性展開,而本文方法用成形狀態(tài)拉力建立剛度矩陣,回避了索結(jié)構(gòu)的幾何非線性,使計算簡單明了。當(dāng)撐桿高度不滿足建筑要求時,可以根據(jù)式(11)所體現(xiàn)的撐桿高度{z}與下弦索拉力的水平分力成反比,通過調(diào)整索拉力滿足撐桿高度的建筑要求。2.5索水平拉力及撐桿高度在已知外荷載條件下,先初步選定索水平拉力Hi-j,0,根據(jù)式(11)可以很容易的求解出各節(jié)點(diǎn)處撐桿高度{z0}。由于是初步選定的索拉力,因此計算得到的控制點(diǎn)撐桿高度為zcon,0不能與建筑設(shè)計要求值zcon,1吻合,可以取k=zcon,0/zcon,1,調(diào)整初選的索水平拉力Hi-j,0為kHi-j,0,再進(jìn)行有限元計算就可以得到滿足設(shè)計要求控制點(diǎn)撐桿高度zcon,1的各點(diǎn)撐桿高度{z1}。其實(shí)新的撐桿高度就是初選拉力下?lián)螚U高度{z0}的1/k,即{z1}=1k{z0}。計算出了滿足建筑要求的撐桿高度{z1}進(jìn)而計算出找形完成后下弦節(jié)點(diǎn)坐標(biāo):{zd}={zu}+{z1}(12)式中{zu}為根據(jù)建筑要求確定的上弦曲面形狀。3初始應(yīng)變的修正前面用成形狀態(tài)索拉力形成剛度矩陣建立線性有限元方程計算出了撐桿高度,如何使索成形后能達(dá)到預(yù)設(shè)的拉力值是本文要解決的另一問題。下弦拉索初應(yīng)變確定方法:下弦拉索面積為Ad,彈性模量Ed,每根索的拉力的水平分量為H,對應(yīng)的初應(yīng)變?yōu)棣?=H/AdEd。由于下弦拉索是曲線布置,每段索只在撐桿位置受豎向荷載,所以,一根索上每一段的水平分力是不變的,軸向拉力隨豎向角度不同,因此,張拉和驗(yàn)算時的初始應(yīng)變應(yīng)該每段與拉力成正比。這樣張拉控制和計算較為麻煩,為了簡化計算,可以將一根索按同一初應(yīng)變考慮,這樣會有足夠的精度,且計算方便。根據(jù)索長L和水平投影長度L0修正初應(yīng)變?yōu)棣?LL0ε0=FL/AdEdL0;另外,在張拉過程中,下弦有水平拉力H,同時上弦要受到軸向水平壓力H,產(chǎn)生壓縮,因此拉索的應(yīng)變還要再做修正為Δε?HL0/AuEu,其中Au和Eu分別為上弦截面積和彈性模量,因此,計算和張拉控制應(yīng)變?yōu)棣?ΗLAdEdL0+ΗL0AuEu(13)4前索和下弦彎矩計算雙向張弦梁三維圖見圖1,平面投影如圖3所示,上弦為200mm×400mm×14mm的方鋼管,索布置在上弦梁下,交叉點(diǎn)設(shè)撐桿,屋面所有荷載為1.5kN/m2,荷載以節(jié)點(diǎn)力作用在交叉節(jié)點(diǎn)上,因此有Pi=1.5×6×6=48kN。建筑要求下弦與上弦最大距離為4000mm,即最中間撐桿高為4000mm。屋面有兩種形式:第一種為平屋面,第二種為屋面沿y向按拋物線彎曲,屋面坐標(biāo)見表1。下弦選用同一規(guī)格,具有相同水平拉力,確定兩種屋面形式雙向張弦梁下弦拉索的曲面形狀并驗(yàn)證。坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在屋面結(jié)構(gòu)的中心,先假設(shè)下弦拉索的水平分量均為H=500000N,拉索在周邊固定,邊界節(jié)點(diǎn)撐桿高度zi=0,這樣式(8,9)中的所有參數(shù)都已經(jīng)確定,可以計算并形成有限元方程(11)。根據(jù)前面分析,撐桿高度與屋面形狀無關(guān),程序計算結(jié)果列入表2。中間點(diǎn)最大為2683.06mm,說明H=500000N偏大了,k=2683.06/4000=0.670765,調(diào)整索拉力水平分量為H=k×500000=335382N,重新進(jìn)行有限元找形計算結(jié)果列入表3,也可以由表2線性放大得到。索拉力水平分量為335382N,最大拉力為Τ=335382×√60002+18972/6000=351745Ν,常規(guī)索的設(shè)計取安全系數(shù)最小為K=2.5,因此索的破斷力為Fptk≥351745×2.5=879362N,拉索選用37?5,面積Ad=727mm2,彈性模量Ed=1.8×105MPa,強(qiáng)度級別1670MPa,相應(yīng)破斷力Fptk=1214kN。假設(shè)屋面為平屋面,上弦各點(diǎn)坐標(biāo)zu=0,表3數(shù)值就是下弦節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo),從邊索到中間索長分別為L1=48913mm,L2=48824mm,L3=48571mm,L4=48223mm,水平投影長度L0=48000mm,根據(jù)式(13)計算出張拉控制的初應(yīng)變分別為ε1=FLAdEdL0+FAuEu=0.002717ε2=0.002607+0.000105=0.002712ε3=0.002591+0.000105=0.002696ε4=0.002575+0.000105=0.002680用ADINA有限元軟件對找形后平屋面雙向張弦梁進(jìn)行內(nèi)力和變形計算分析,按上面找形確定的下弦形狀、節(jié)點(diǎn)荷載取Pi=1.5kN×6×6=48kN,水平拉力H=335382N,通過初始應(yīng)變ε1=0.002717,ε2=0.002712,ε3=0.002696和ε4=0.002680來實(shí)現(xiàn),上弦采用梁單元,撐桿采用桿單元,下弦采用索單元。上弦彎矩計算結(jié)果見表4,數(shù)值在-0.044kN·m~+0.021kN·m之間,幾乎為0,找形達(dá)到了理想的效果;上弦各節(jié)點(diǎn)撓度列入表5,豎向最大位移為0.104mm,也幾乎為0。曲屋面形式:根據(jù)表3的{z}和表1屋面高度可以得到下弦節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)列入表6,根據(jù)表1和表6確定雙向張弦梁形狀,節(jié)點(diǎn)力為Pi=48kN,用式(13)計算出各索初應(yīng)變,進(jìn)行有限元計算分析得到上弦彎矩見表7,數(shù)值在-0.016kN·m~+0.021kN·m之間,幾乎為0;上弦各節(jié)點(diǎn)撓度列入表8,豎向最大位移為0.047mm,找形同樣達(dá)到了理想的效果。兩個算例驗(yàn)證了本文有限元找形方法計算撐