遼寧省遼東十一所重點高中聯(lián)合教研體高三第一次摸底考試數(shù)學(xué)答案

遼東十一所重點高中聯(lián)合教研體2024屆高三第一次摸底考試數(shù)學(xué)本試卷共22題.全卷滿分120分.考試用時120分鐘注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效.3．填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.底面半徑為3，表面積為的圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)圓錐的母線長為，進(jìn)而結(jié)合表面積得，進(jìn)而得圓錐的高，再計算體積即可.【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長為，因為圓錐的底面半徑為3，表面積為所以，解得，所以圓錐的高為，所以，圓錐的體積為.故選：A2.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)必要條件、充分條件的概念判斷即可.【詳解】解：由題意，由可得，反之，，即，故，所以“”是“”的充要條件.故選：B3.已知，則（）A. B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得出等式組，由此可解得實數(shù)的值.【詳解】設(shè)，則，所以，，所以，所以，，解得，當(dāng)時，則，可得；當(dāng)時，則，可得.綜上所述，.故選：B.4.非空集合，，，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題知，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)零點存在性定理得，解不等式即可得答案.【詳解】解：由題知，因為，所以，所以，故令函數(shù)，所以，如圖，結(jié)合二次函數(shù)的圖像性質(zhì)與零點的存在性定理得：，即，解得，所以，實數(shù)的取值范圍為.故選：A5.已知是橢圓的長軸上的兩個頂點，點是橢圓上異于長軸頂點的任意一點，點與點關(guān)于軸對稱，則直線與直線的交點所形成的軌跡為（）A.雙曲線 B.拋物線C.橢圓 D.兩條互相垂直的直線【答案】A【解析】【分析】由題意設(shè)出點，坐標(biāo)，然后求出直線與直線的方程，根據(jù)直線方程的特點，兩方程相乘，從而得到點的軌跡方程，進(jìn)而得解.【詳解】由于是橢圓的長軸上的兩個頂點，所以，設(shè)，則，所以直線的方程為①，直線的方程為②，①②得，又因為在橢圓上，所以，即，所以，即，即直線與直線的交點在雙曲線上.故選：A.6.方程的非負(fù)整數(shù)解的組的個數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為：將排成一列的14個完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解.【詳解】依題意，可知為非負(fù)整數(shù)，因為，所以，從而將問題轉(zhuǎn)化為：將排成一列的14個完全相同的小球分成部分，一共有13個間隔，利用4個隔板插入即可，故共有種.故選：A7.已知空間向量兩兩夾角均為，且.若向量滿足，則的最小值是（）A. B. C.0 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，取一個三棱錐，用其棱表示對應(yīng)的向量，結(jié)合題中所給的條件，將相應(yīng)的邊長求出，之后應(yīng)用空間向量運算法則，表示出對應(yīng)的結(jié)果，從而判斷出取最值時對應(yīng)的情況，求值即可.【詳解】取一三棱錐，，且，，所以，，設(shè)，因為，所以，即，所以在以為直徑的球上，球半徑為，設(shè)球心為，又由同理可知在以為直徑的球上，球半徑為，設(shè)球心為，球心距，所以兩球相交，即點與點可以重合，又，所以.故選：C.8.已知，試比較的大小關(guān)系（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三個指數(shù)的底數(shù)的形式，通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷其大小，再根據(jù)三個數(shù)的形式構(gòu)造新函數(shù)，通過取對數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷其單調(diào)性，最后利用單調(diào)性判斷即可.【詳解】設(shè)，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以有，因為，所以，設(shè)，設(shè)，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，因為，所以，因為函數(shù)是正實數(shù)集上的增函數(shù)，故，即，所以，故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)所給指數(shù)的底數(shù)和指數(shù)的形式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，選錯得0分.9.大連市教育局為了解二十四中學(xué)、第八中學(xué)、育明中學(xué)三所學(xué)校學(xué)生文學(xué)經(jīng)典名著的年閱讀量，采用樣本比例分配的分層隨機抽樣抽取了一個容量為120的樣本.其中，從二十四中學(xué)抽取容量為35的樣本，平均數(shù)為4，方差為9；從第八中學(xué)抽取容量為40的樣本，平均數(shù)為7，方差為15；從育明中學(xué)抽取容量為45的樣本，平均數(shù)為8，方差為21，據(jù)此估計，三所學(xué)校的學(xué)生文學(xué)經(jīng)典名著的年閱讀量的（）A.均值為 B.均值為C.方差為 D.方差為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)樣本的均值公式和方差公式列式計算即可.【詳解】設(shè)二十四中學(xué)、第八中學(xué)、育明中學(xué)三組數(shù)據(jù)中每個人的數(shù)據(jù)分別為,,，均值，方差，故選：BD10.已知數(shù)列滿足.給出以下兩個命題：命題對任意，都有；命題，使得對成立.（）A.真 B.假 C.真 D.假【答案】AD【解析】【分析】對于命題，利用數(shù)學(xué)歸納法和作差法可判斷，對于命題，利用反證法進(jìn)行分析判斷.【詳解】對于命題，先利用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時，，不等式成立，假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即，則，所以當(dāng)時，不等式也成立，綜上，，因為，所以，因為，所以，所以命題為真命題，對于命題，假設(shè)存在，使得對，由已知可得，得，所以，所以，所以，所以，由基本不等式推廣可得，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，這與相矛盾，所以命題為假命題，故選：AD11.下列不等式中，正確的有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增，再由可判斷A；舉反例可判斷B；當(dāng)是第三象限角時由可判斷C；當(dāng)時利用為單調(diào)遞增函數(shù)，對兩邊取對數(shù)對稱矛盾可判斷D.【詳解】對于A，令，則，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，即，故A正確；對于B，當(dāng)時顯然不成立，故B錯誤；對于C，當(dāng)是第三象限角時，則，所以，可得，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，為單調(diào)遞增函數(shù)，若，則，這與矛盾，故D錯誤.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于A選項，關(guān)鍵點是構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性解題，考查了學(xué)生的思維能力、運算能力.12.直角中是斜邊上的一動點，沿將翻折到，使二面角為直二面角，當(dāng)線段的長度最小時（）A.B.C.直線與的夾角余弦值為D.四面體的外接球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)直二面角的性質(zhì)，得到垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，利用三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)、平面向量加法的幾何意義、空間兩點距離公式、夾角公式，球的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】如圖所示：過點作，交于延長線于點，過點交于于點，作，使得，由二面角直二面角，可知，設(shè)，則有，，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，，當(dāng)且僅當(dāng)，此時，，在圖1中，，所以為的平分線，于是有，所以，，由上可知：兩兩互相垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，因為，所以選項A正確；因為，所以選項B正確；，因為，所以直線與的夾角余弦值為，因此選項C不正確；設(shè)四面體的外接球的球心為，顯然有，所以有，，，由，解得，四面體的外接球的半徑為，四面體的外接球的表面積為，因此選項D正確，故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)二面角的性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，運用球的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.(1＋tan15°)(1＋tan30°)＝________.【答案】2【解析】【分析】由條件利用兩角和的正切公式求得要求式子的值．【詳解】(1＋tan15°)(1＋tan30°)＝tan30°==2故答案為2【點睛】本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14.已知，則的取值范圍是______（精確）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的換底公式和運算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，，所以，故答案為：15.的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】【分析】，然后兩次利用通項公式求解即可；【詳解】因為，設(shè)其展開式的通項公式為：，令，得的通項公式為，令，所以的展開式中，的系數(shù)為，故答案為：16.已知在橢圓上運動，且，延長至，使得為與橢圓的交點，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三點共線的性質(zhì)，結(jié)合點到橢圓上、直線的斜率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，因為延長至，使得，所以，設(shè)，因為為與橢圓的交點，所以設(shè)，因此有，即，因為在橢圓上，所以，化簡，得，因為在橢圓上運動，所以，因為，所以，于是有，即，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：利用三點共線的性質(zhì)得到的坐標(biāo)，根據(jù)點在橢圓上的性質(zhì)，結(jié)合代入法進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，關(guān)于x的方程有三個不等的實根，求a的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）當(dāng)時，令，則，得出函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，三種情況討論，即可求解.【小問1詳解】解：當(dāng)時，函數(shù)，由，可得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】解：當(dāng)時，可得，令，則，令，其圖象恒過和兩點，①當(dāng)時，由（1）知有唯一根，不合題意；②當(dāng)時，可得的圖象開口向上，，方程存在兩根，且，此時有（舍），故，則方程只有一個根，不合題意；③當(dāng)時，可得的圖象開口向下，，方程存在兩根，且，若要滿足題意，則，，此時方程有一個根，有兩個不相等的根，則有，解得，綜上所述，a的取值范圍為．【點睛】方法點睛：利用函數(shù)的圖象求解方程的根的個數(shù)或研究不等式問題的策略：1、利用函數(shù)的圖象研究方程的根的個數(shù)：當(dāng)方程與基本性質(zhì)有關(guān)時，可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根，方程的根就是函數(shù)與軸的交點的橫坐標(biāo)，方程的根據(jù)就是函數(shù)和圖象的交點的橫坐標(biāo)；2、利用函數(shù)研究不等式：當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.3、本題中合理利用三角函數(shù)的基本關(guān)系，進(jìn)行換元構(gòu)造二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)和正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.18.三棱柱中，．（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）通過證明平面，即得，從而得到.（2）根據(jù)求兩平面法向量即可求得二面角余弦值.【小問1詳解】如圖所示：作中點，連接，，是等邊三角形，又，滿足，即有，而，所以，，平面，平面，而平面，所以，又因為中點，所以.【小問2詳解】若，則，易知，以點為原點，分別以方向為軸，以過點豎直向上的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：過點作，垂足為，在中，，所以，，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，則，，所以，同理可得：平面的法向量，則.因為所求二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.19.在數(shù)列中，，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）令，數(shù)列的前n項和為，求證：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）將數(shù)列的遞推公式變形，再結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可證明；（2）由（1）得到數(shù)列的通項公式，再利用變形，放縮法，結(jié)合裂項相消法求和，即可證明.【小問1詳解】由，得，由，得，則，所以，得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列【小問2詳解】由（1）得，則，所以，所以．所以20.大連市是國內(nèi)知名足球城市，足球氛圍濃厚.在2022年第22屆卡塔爾足球世界杯階段，大連二十四中的同學(xué)們對世界杯某一分組內(nèi)的四支球隊進(jìn)行出線情況分析.已知世界杯小組賽規(guī)則如下：小組內(nèi)四支球隊之間進(jìn)行單循環(huán)（每只球隊均與另外三只球隊進(jìn)行一場比賽）；每場比賽勝者積3分，負(fù)者0分；若出現(xiàn)平局，則比賽雙方各積1分.現(xiàn)假設(shè)組內(nèi)四支球隊?wèi)?zhàn)勝或者負(fù)于對手的概率均為，出現(xiàn)平局的概率為．（1）求某一只球隊在參加兩場比賽后積分的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）小組賽結(jié)束后，求四支球隊積分相同的概率．【答案】（1）分布列見解析，（2）【解析】【分析】（1）球隊參加兩場比賽后積分的取值為0，1，2，3，4，6，分別求出隨機變量對應(yīng)的概率，可得分布列，進(jìn)而可得數(shù)學(xué)期望；（2）求出6場比賽都出現(xiàn)平局的概率以及每支球隊3場比賽結(jié)果均為1勝1平1負(fù)的概率，再求和即可.【小問1詳解】球隊參加兩場比賽后積分的取值為0，1，2，3，4，6，則，，，，，，所以隨機變量X的分布列為：012346隨機變量的數(shù)學(xué)期望：.【小問2詳解】由于小組賽共打6場比賽，每場比賽兩個球隊共積2分或者3分；6場比賽總積分的所有情況為12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分共7種情況，要使四支球隊積分相同，則總積分被4整除，所以每只球隊總積分為3分或者4分.若每支球隊得3分：則6場比賽都出現(xiàn)平局，其概率為：；若每支球隊得4分：則每支球隊3場比賽結(jié)果均為1勝1平1負(fù)，其概率為：﹒所以四支球隊積分相同的概率為.21.已知雙曲線C：的離心率為，A，B分別是C的左?右頂點，點在C上，點，直線AD，BD與C的另一個交點分別為P，Q．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線PQ經(jīng)過定點．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)及在雙曲上列式求解即可；（2）分別設(shè)出直線與的方程，進(jìn)而求得坐標(biāo)，根據(jù)斜率是否存在分情況寫出直線的方程，再證明過定點即可．【小問1詳解】解：由題意得，，，∵點在C上，，，解得，，∴雙曲線方程為．【小問2詳解】解：由（1）知，，直線AD的方程為，設(shè)，，將直線AD的方程與C的方程聯(lián)立