物理學(xué)中的群論基礎(chǔ)第一章

物理學(xué)中的群論及其應(yīng)用考察所有整數(shù)集合I={,-3,-2,-1,0,1,2,3}，考察下列四個(gè)性質(zhì)：(a)集合I的任意兩個(gè)元素之和仍是一整數(shù)，從而屬于此集合I.(b)此集合包含一個(gè)零元素0，具有這樣的性質(zhì)，對(duì)任意元素m

I，

m+0=0+m=m.(c)對(duì)于I的任意元素m，存在一個(gè)也屬于I的唯一n，使得m+n=

n+m=0；顯然n=-m.(d)若m，n和p是I的任意三個(gè)元素，m+(n+p)=(m+n)+p；這表示加法滿足結(jié)合律?！?.1什么是群？考察另一集合：所有n階幺正矩陣的集合U(n)，n是一個(gè)穩(wěn)定的有限正整數(shù)。此集合有四個(gè)性質(zhì)：(a)若U和V時(shí)任意兩個(gè)n階幺正矩陣，乘積UV仍是一個(gè)n階幺正矩陣，從而也屬于集合U(n).(b)包含單位矩陣I，具有性質(zhì)：

U

U(n)，UI=IU=U.(c)若U是U(n)的一元素，則存在唯一的V，它也在U(n)中，UV=VU=I.(d)若U，V和W是此集合的三個(gè)元素，U(VW)=(UV)W.上述兩集合的性質(zhì)定義了一個(gè)群，這兩個(gè)集合就是群的例子。群是一些不同元素的集合，G{E，A，B，C，D，}，這些元素被賦予以合成法則(加法、乘法、矩陣乘法等)，滿足性質(zhì)：(a)封閉性(b)存在恒等元A

B

G，

A，B

G.(c)存在逆元(d)結(jié)合律群中元素的個(gè)數(shù)叫做群的階。有限群包含有限個(gè)元素；包含無限多元素的叫做無限群。以后，符號(hào)“”將省去。AB將寫作AB。用“合成”替代“乘法”一般來說，AB

BA，若群的所有元素都相互對(duì)易，則稱此群為Abel群(交換群)1.1.1變換群Ox

y

——集合——線性空間線性運(yùn)算——內(nèi)積空間內(nèi)積

——?dú)W氏空間距離=?{(x,y)|x,y

R}=R2

人們對(duì)平面的認(rèn)識(shí)歐幾里德,笛卡兒,費(fèi)馬,…

一個(gè)系統(tǒng)的所有對(duì)稱變換的集合是一個(gè)群?！痢獭蘟1a2定義：設(shè)由點(diǎn)變換構(gòu)成的集合G，滿足下列兩個(gè)條件，稱G為變換群：G中任意兩個(gè)變換的乘積仍是G中的變換，即具有封閉性G中的每個(gè)變換都有逆變換，而且是G中的一個(gè)變換。平面上所有平移的集合平面上以一個(gè)定點(diǎn)為中心的所有旋轉(zhuǎn)的集合平面上所有軸反射的集合1.1.2正方形的對(duì)稱性群（1）平面上正方形ABCD的對(duì)稱變換群

S(K)={，，，，，，，}：ABCD2

ABCD2

：ABCD2

ABCD

---2：ABCD2

ABCD

：ABCD2

ABCD3

--—2：ABCDABCD：ABCDABCD：ABCDABCD：ABCDABCD（2）S(K)中的運(yùn)算舉例1jABCD2

ABCD2

2jABCD

——2ABCDABCDABCD2j（3）S(K)中的幺元：ABCD2

ABCD2

（4）S(K)中的逆元ABCD2

ABCD

——2ABCD2

O

x

yfi(

)=Qi

恒等f1f2f3f4f5f6f7f810010

110

100

101

1001100

1

101001

1001ABCDABCDABCD1.2乘法表(Cayley表)f1f2f3f4f5f6f7f8f1f2f3f4f5f6f7f8f1

f2

f3

f4

f5

f6

f7

f8

f2

f3

f4

f5

f6

f7

f8

f3

f4

f1

f4

f1

f1

f2

f2

f3

f1

f1

f1

f1

f8

f7

f5

f6

1.2.1重排定理從乘法表看出，群的每一個(gè)元素在每一列中出現(xiàn)一次，且只出現(xiàn)一次。這就是所謂重排定理。這個(gè)定理的一個(gè)重要推論：若f是群元素的任意函數(shù)，則這里B是有限群G的一個(gè)元素，求和遍及所有群元素。1.2.2有限群的生成元考慮一些元素的最小集合，這些元素的冪和乘積可以生成群的所有元素，此集合的元素成為群的生成元。例：由元素A生成一個(gè)群，只要求An=E，n是滿足此關(guān)系式的最小正整數(shù)。由于A是群中的一個(gè)元素，所有它的整數(shù)冪必定也在這個(gè)群中。故可以生成群的新元素，A2，A3，…，直到An=E，更高次冪不能給出新元素，因?yàn)锳n+k=Ak.所求得群，故所求得群階為n.例：由兩元素A和B生成一個(gè)群，只要求A2=B3=(AB)2=E.由于A2=E和B3=E，此群必包含元素E，A，B，B2.它一定也包含所有A，B和B2的乘積.因此得到兩個(gè)新元素AB和BA.A和B不對(duì)易，否則由(AB)2=E將得到E=ABAB=A2B2=B2.AB和BA是不同的元素.由此生成6個(gè)元素E,A,B,B2,AB,BA.可以證明，這個(gè)集合是一個(gè)群，即它對(duì)乘法是封閉的。1.3共軛元素和類A，B和C是群的元素，當(dāng)元素B和C之間存在關(guān)系A(chǔ)-1BA=C，它們被稱為共軛元素，這種運(yùn)算叫做B通過A的相似變換.顯然ACA-1=B例如，前面群元素之間的這種關(guān)系：f4-1f5f4=f6，f5和f6互為共軛.若B與C共軛，B又與D共軛，則C與D共軛，B，C和D互為共軛.這樣，可以把一個(gè)群分成一些集合，使得每一集合中的所有元素相互共軛，不同集合的兩元素互不共軛。這種群叫做共軛類。1.3.1類的乘法令Ci=(A1,A2,...,Am)和Cj=(B1,B2,…,Bn)為群中包含m和n個(gè)元素的兩類，它們的積就是Ci中任意元素和Cj中任意元素所有積所組成的集合。CiCj=(A1B1,A2B2,…,AlAk,…,AmBn)1.4子群集合H的所有元素都在群G中，且H本身也是在同樣合成法則下的一個(gè)群，則H叫做群G的一個(gè)子群。每個(gè)群G都有兩個(gè)平凡子群——單位元和G自身。若H≠G，即G比H有更多的元素，則子群H叫做G的真子群。1.4.1循環(huán)群若G是有限群，則必然存在一個(gè)有限正整數(shù)n使得An=E.滿足上式的最小非零正整數(shù)叫做元素A的階。前面討論過的群(A,A2,A3,…,An=E)有這樣的性質(zhì)，其中每一元素都是某一特定元素的乘冪。這樣的群叫做循環(huán)群。由單一元素生成的群就是一個(gè)循環(huán)群。循環(huán)群是Abel群，但其逆未必。1.4.2陪集(coset)考察g階群G的一個(gè)h階子群H=(H1=E,H2,…,Hh)。設(shè)X為G中任意元素，構(gòu)造所有像XE,XH2等等的乘積并組成集合XH=(XE,XH2,XH3,…,XHh).現(xiàn)在有兩種情況：X可能或者不在子群H中。若X是H的元素，由群的定義，集合XH必與群H恒等。集合XH中，僅僅是把H中的元素重新排列。可以記作XH=H,

X

H.假設(shè)對(duì)于某一值i(1≤i≤h)，XHi屬于H，H是個(gè)群，Hi-1也屬于此群，從而(XHi)Hi-1=X在H中，這與假設(shè)X不是H的元素相矛盾，也就證明了H和XH沒有公共元素，H和XH為不相交集，說H和XH的交是零集(nullset)或空集(emptyset)

:H∩(XH)=

.若X不屬于H，則可證XH中的元素都不屬于H.下面用反證法。定義

H

G,X

G,H的左陪集:XHH的右陪集:HX1.4.3Lagrange定理若h階群H為g階群G的一個(gè)子群，則|G|＝|H|·[G:H]。證明令H=(E,H2,H3,…,Hh,X,XH2,…,XHh)是G的一個(gè)子群.相對(duì)于一個(gè)屬于G而不屬于H的元素X組成的作陪集XH.前面已證明，所有的元素XHi(1≤i≤h)都屬于G而不屬于H，于是得到G的h個(gè)新元素.這樣就生成G的下列2h個(gè)元素:H∪XH=(E,H2,H3,…,Hh,X,XH2,…,XHh).如果這不是全部G，就在G的剩余部分中取一元素Y(Y屬于G但不