感悟數(shù)形結(jié)合

感悟“數(shù)形結(jié)合”——“ ”“”的飛躍數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)和形關(guān)系非常密切。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合符合兒童的認(rèn)知規(guī)律我深深地體會(huì)在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透“數(shù)形結(jié)合”的 將帶給學(xué)生無窮的力量。“數(shù)形結(jié)合”就是使抽象思維和形象思維相互作用實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與圖形性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化將抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系和直觀的圖形結(jié)合起來研究數(shù)學(xué)問題。數(shù)形結(jié)合的 具有雙向性借助“形”的生動(dòng)和直觀性認(rèn)識(shí)“數(shù)唧以“形”為手段“數(shù)”為目的或借助于“數(shù)”精確和規(guī)范地闡明“形”的屬性。此時(shí)“數(shù)”是手段在新課程理念下。教學(xué)中我注重“數(shù)形結(jié)合” 的滲透使學(xué)生的能力得了很大的提升也改變著我的教育教學(xué)觀一、以“形”為起點(diǎn)——充分利用教材使學(xué)生感受“數(shù)形結(jié)合”“形”具有形象直觀的優(yōu)勢但也有其粗略、繁瑣和不便于表達(dá)的劣勢只有以簡潔的數(shù)學(xué)描述、形式化的數(shù)學(xué)模型表達(dá)“形”的特性才能更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象化與形式化的魅力。以“形”為起點(diǎn)充分利用教材使學(xué)生感受“數(shù)形結(jié)合”在北師大版第九冊(cè)教材《點(diǎn)陣中的規(guī)律》教學(xué)時(shí)我不斷地問自己“利用點(diǎn)陣來研究數(shù)的規(guī)律”其更為深入的價(jià)值在哪在深入分析研究教材的基礎(chǔ)上我認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)旨在讓學(xué)生體會(huì)我們借助點(diǎn)陣可以研究數(shù)的規(guī)律而這些規(guī)律如果僅僅研究數(shù)將是很困難的以“形”為起點(diǎn)使學(xué)生探究出更多的“數(shù)”的規(guī)律教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)我充分讓學(xué)生利用自己手中的點(diǎn)陣圖認(rèn)真觀察提出活動(dòng)要求1獨(dú)立思考不同角度觀察正方形點(diǎn)陣。你發(fā)現(xiàn)點(diǎn)陣中有哪些不同的排列規(guī)律并在圖中表示出來2組內(nèi)交流。說一說你發(fā)現(xiàn)的排列規(guī)律試著用算式表示出來。學(xué)生在圖形的幫助下了解圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)1491625伊。7所。7這些有規(guī)律的數(shù)是完全平方數(shù)進(jìn)而利用圖形動(dòng)手畫一畫可以發(fā)現(xiàn)更重要的規(guī)律1■一角向外擴(kuò)展來看114139t3516135725135791l每一個(gè)正方形數(shù)都可以寫成幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和奇數(shù)的個(gè)數(shù)與點(diǎn)陣中的行數(shù)和列數(shù)相同。進(jìn)而學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了重要的奇數(shù)列前n項(xiàng)和公式13579所鑰@^2n—1-F2斜著看11412191232116123432125123454321每一個(gè)正方形數(shù)都可以寫成1開始連續(xù)加點(diǎn)陣中的行數(shù)再遞減加1的連加算式進(jìn)而學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了求和的重要公式1234^6^7^6^7n-Inn一1^6^7^6^74321n2看似一節(jié)看圖找規(guī)律的數(shù)學(xué)課正是因?yàn)橛辛藞D形激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望鍛煉了學(xué)生的思維在短短的一節(jié)課中學(xué)生們總結(jié)出了一條又一條的重要公式以“形”為起點(diǎn)學(xué)生們嘗了“數(shù)形結(jié)合”帶給他們的快樂。二、以“形”助“數(shù)’在直觀中理解數(shù)學(xué)概念、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型借助圖形的直觀性將抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化給學(xué)生以直觀感讓學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)親歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型為理解數(shù)學(xué)概念奠定基礎(chǔ)。教師通過以“形助“數(shù)”突出圖的形象思維促進(jìn)學(xué)生形象思維與抽象思維的有機(jī)結(jié)合化繁為簡化難為易讓學(xué)生用多種感覺器官充分感知在形成表象的基礎(chǔ)上進(jìn)行想象、聯(lián)想達(dá)最終理解數(shù)學(xué)概念解決數(shù)學(xué)問題形成數(shù)學(xué) 的目的。案例1在學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的意義和基本性質(zhì)后我設(shè)計(jì)了如下的活動(dòng)。利用方格紙中學(xué)中的坐標(biāo)系幫助學(xué)生再次認(rèn)識(shí)“方格紙”中的分?jǐn)?shù)。小數(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)中只有了學(xué)習(xí)折線統(tǒng)計(jì)圖時(shí)才出現(xiàn)了坐標(biāo)系的影子。但方格紙卻是學(xué)生數(shù)學(xué)課上常用的學(xué)具把方格紙上畫出相互垂直的兩條數(shù)軸這就是數(shù)學(xué)家笛卡兒發(fā)明的平面直角坐標(biāo)系了。由于分?jǐn)?shù)是由分子、分母這兩個(gè)位置上的自然數(shù)構(gòu)成的所以可以用平面上的點(diǎn)表示它。把分?jǐn)?shù)如圖4所示用橫軸點(diǎn)表示分母縱軸上的點(diǎn)表示分2/3可以用過橫軸上“3點(diǎn)的縱線與過縱軸“2”這一點(diǎn)線的交點(diǎn)A來表示可以用的B點(diǎn)來表示。5/7、4/9、7/10該樣表示呢學(xué)生很快就把分?jǐn)?shù)表示在圖中。這樣表示分?jǐn)?shù)我們能發(fā)現(xiàn)什么呢如果將0點(diǎn)也稱坐示原點(diǎn)與這些點(diǎn)分別連接起來再用一把直尺放在橫軸上按逆時(shí)針方向?qū)⒅背呃@原點(diǎn)0慢慢旋轉(zhuǎn)掃 的第一個(gè)分?jǐn)?shù)是1/6第二個(gè)是4/9然后依次2/3、7/10、5/7、3/4。我們發(fā)現(xiàn)通過很麻煩的通分可以比較這六個(gè)分?jǐn)?shù)的大小現(xiàn)在我們用直尺逆時(shí)針掃過分?jǐn)?shù)的順序也是比較分?jǐn)?shù)大小的又一個(gè)新分?jǐn)?shù)小大排列為1/6lt4/9lt2/3lt7/10lt5/7lt3/4。只把分?jǐn)?shù)畫在方格紙上找在方格紙中的位置就可以比較分?jǐn)?shù)的大小了。利用這種辦法學(xué)生把2/3、4/6、619g畫在方格紙上學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這些、分?jǐn)?shù)恰好位于同一條直線上分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)也就被“畫”在了方格紙上。將某一個(gè)具體的平面圖形平均分、涂陰影來表示分?jǐn)?shù)。是分?jǐn)?shù)的意義角度而這里實(shí)際上是將直線與分?jǐn)?shù)建立了聯(lián)系也就是用直線斜率表示分?jǐn)?shù)。學(xué)生這個(gè)角度去認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)不僅能初步感受分?jǐn)?shù)的大小是由分子、分母兩個(gè)數(shù)共同決定的而且可以對(duì)坐標(biāo)系有一個(gè)初步的了解對(duì)以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是非常有益的。學(xué)生在我精心設(shè)計(jì)的課堂上再次體會(huì)了數(shù)與形的完美結(jié)合學(xué)生把分?jǐn)?shù)畫方格紙坐標(biāo)系的時(shí)候我想他們對(duì)分?jǐn)?shù)的理解又有了獨(dú)特的想法。案例2前不久我聽了一節(jié)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的評(píng)優(yōu)課。這位老師是把枯燥的計(jì)算教學(xué)課與圖一“點(diǎn)子圖”聯(lián)系在一起數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合發(fā)散了學(xué)生的思維。例題是同學(xué)們站隊(duì)用“點(diǎn)”來表示隊(duì)列中的學(xué)生14x12或12x14得多少7下面是學(xué)生利用手中的點(diǎn)子圖想出解決這道計(jì)算題的策略圖5。這個(gè)案例教學(xué)伊始教師直接創(chuàng)設(shè)點(diǎn)子圖的數(shù)學(xué)活動(dòng)通過這些活動(dòng)激活學(xué)生的形象思維透過數(shù)學(xué)潛在的“形”與“數(shù)”的關(guān)系把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來使抽象思維和形象思維相結(jié)合。為研究“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”借助直觀來理解算理。進(jìn)而為培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力打下良好的基礎(chǔ)有效地實(shí)現(xiàn)原有知識(shí)與新知識(shí)之間的鏈接誘發(fā)學(xué)生探索與學(xué)習(xí)的欲望激活學(xué)生的思維這說明以“形”助“數(shù)”能把許多抽象概念和性質(zhì)、運(yùn)算化為直觀形象。將這些較難的數(shù)學(xué)問題借助圖形可幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型找解題的捷徑。三、感悟“三、感悟“數(shù)形結(jié)合”是一朝一夕能夠達(dá)學(xué)實(shí)踐我深刻地感受一種數(shù)學(xué) 的滲透決不是一朝一夕能夠達(dá)的只有在點(diǎn)滴的教學(xué)中滲透“數(shù)形結(jié)合”使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)看數(shù)想形、看形想數(shù)才能使學(xué)生的思維得飛躍。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合 有時(shí)能使數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系變得比較直觀成為解決問題的有效之一在分析問題的過程中注意把數(shù)和形結(jié)合起來考察根據(jù)問題的具體情形把圖形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的問題使復(fù)雜問題簡單化抽象問題具體化化難為易。http://一在學(xué)習(xí)完分?jǐn)?shù)加減法后我設(shè)計(jì)一道題“一杯牛奶小明第一次喝了半杯第二次又喝了剩下的一半就這樣每次都喝了上一次剩下的一半問小明喝了五次后一共喝了這杯牛奶的幾分之幾”。學(xué)生一般把五次所喝的牛奶加起來列式后通分求得五次共喝一杯牛奶的幾分之幾。但這并不是最好的解題策略這時(shí)有學(xué)生敢于創(chuàng)新提出畫一個(gè)正方形如圖6并假設(shè)這個(gè)正方形的面積為單位1。學(xué)生圖中直觀地得出第一次開始每喝一次都減少一半所剩的數(shù)量依次為最后計(jì)算結(jié)果為。在這里根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系充分利用數(shù)形結(jié)合的 使數(shù)量關(guān)系與空間形式巧妙、和諧地結(jié)合在一起學(xué)生正是在這樣的學(xué)習(xí)過程中體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的達(dá)了一次“”“ ”的飛躍二數(shù)軸上找倒數(shù)深化對(duì)“倒數(shù)”的認(rèn)識(shí)乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)——倒數(shù)的概念對(duì)于學(xué)生來說并不難理解教材的編排上看“倒數(shù)的認(rèn)識(shí)”是為后面學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法而專門設(shè)置的學(xué)生對(duì)這個(gè)概念的理解僅僅停留在對(duì)語義理解的層面上形象的解釋為分子分母互問顛倒的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)倒數(shù)的概念除了為后面學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法做準(zhǔn)備外恰當(dāng)?shù)睦谩皵?shù)形結(jié)合”的 使分?jǐn)?shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間有機(jī)的聯(lián)系起來使學(xué)生的思維得飛躍。在《倒數(shù)》一課中我設(shè)計(jì)了這樣幾個(gè)練習(xí)使學(xué)生感悟“數(shù)形結(jié)合” 。通過找倒數(shù)并標(biāo)在數(shù)軸上這一活動(dòng)由于已經(jīng)看了真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)分別在1的左右兩邊。學(xué)生很快得出了“真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)都大于1假分?jǐn)?shù)不等于1的倒數(shù)小于1”的結(jié)論有些學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了“分?jǐn)?shù)越大倒數(shù)越小的規(guī)律分?jǐn)?shù)大于0”。由于數(shù)軸實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的聯(lián)姻將數(shù)與直線上的點(diǎn)建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系揭示了數(shù)與形的內(nèi)在的聯(lián)系數(shù)軸使抽象的數(shù)有“形”可依。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中我們巧用這種帶有箭頭和刻度的射線其實(shí)就是數(shù)軸的正半軸可以幫助學(xué)生感知數(shù)的大小與位置的關(guān)系“高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解現(xiàn)象的工具而且也是明天用以回憶那個(gè)現(xiàn)象的工具?！薄皵?shù)形結(jié)合”作為數(shù)學(xué).之一它也是數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的對(duì)于學(xué)生“不管他們將來事什么工作唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維 、研究 卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用使他們受益終生”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生懂得“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué) 后對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解性記憶是非常有益的四、數(shù)與形巧聯(lián)系一一小學(xué)生能夠理解的幾個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)公式小學(xué)課外數(shù)學(xué)的教學(xué)中尤其是巧算的教學(xué)中經(jīng)常會(huì)用平方差、完全平方公式由于沒有學(xué)過初中的代數(shù)式的相關(guān)知識(shí)這些公式的掌握學(xué)生只能單純靠記憶。其實(shí)如果巧用圖形將這些公式與圖形結(jié)合起來與平面圖形的面積計(jì)算聯(lián)系起來這些對(duì)于小學(xué)生來說十分深?yuàn)W的公式也是完全可以理解的一平方差公式學(xué)生在學(xué)習(xí)過用字母表示數(shù)、用含有字母的算式表示長正方形面積的計(jì)算公式之后學(xué)生再看a2很容易想它表示邊長為a的正方形的面積而aba-b應(yīng)該是長ah寬a-h的長方形的面積有這些做基礎(chǔ)學(xué)生理解起平方差公式應(yīng)該并不困難。我們把a(bǔ)、b分別想成是一大一小兩個(gè)正方形的邊長那么az、bz應(yīng)該分別是這兩個(gè)正方形的面積az_bz就應(yīng)該是大正方形與小正方形的面積的差也就是上圖中的涂色部分我們把灰色部分進(jìn)行割補(bǔ)之后會(huì)發(fā)現(xiàn)灰色部分成為一個(gè)長方形而這個(gè)長方形的長是ab寬是ab面積自然就是abfa-b1。面積在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是一個(gè)比較特殊的概念一方面它是描述平面圖形大小的一個(gè)數(shù)量另一方面在計(jì)算面積時(shí)又會(huì)用代數(shù)的計(jì)算 在小學(xué)階段主要是乘法它可以將幾何與代數(shù)建立起聯(lián)系就像解析幾何一樣真可謂是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)多面手巧用面積的概念還可以幫助我們理解下面的完全平方公式二完全平方公式理解完全平方公式與平方差公式類似我們把a(bǔ)b看成是一個(gè)大正方形的邊長那么這個(gè)正方形的面積abz是由四部分組成的如圖8兩個(gè)正方形邊長分別是ab兩個(gè)全等的長方形。長a、寬b所以大正方形的面積是a22abb2學(xué)生借助這些圖形結(jié)合學(xué)過的面積公式及字母表示數(shù)的知識(shí)很容易就能