第八講 曲線曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識

第八講曲線曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識1顯式、隱式和參數(shù)表示

在工程上，曲線曲面的應(yīng)用十分廣泛。如根據(jù)實驗、觀測或數(shù)值計算獲得的數(shù)據(jù)來繪制出一條光滑的曲線，以描述事物的各種規(guī)律。在汽車、飛機、船舶的等產(chǎn)品的外形設(shè)計中，要用到大量的曲線和曲面來描述其幾何形狀。表示曲線和曲面的基本方法有兩種：參數(shù)法和非參數(shù)法。（1）非參數(shù)法y=f(x)顯函數(shù)(不能表示封閉或多值的曲線）f(x，y)=0隱函數(shù)（方程的根很難求）（2）參數(shù)法x=f(t)y=g(t)求導(dǎo)很方便，不會出現(xiàn)計算上的困難

對于非參數(shù)表示形式方式（無論是顯式還是隱式）存在下述問題：與坐標(biāo)軸相關(guān)；會出現(xiàn)斜率為無窮大的情形（如垂線）；對于非平面曲線、曲面，難以用常系數(shù)的非參數(shù)化函數(shù)表示；不便于計算機編程。

值得一提的是,隱式方程的優(yōu)點也很明顯.通過將某一點的坐標(biāo)代入隱式方程,計算其值是否大于、等于、小于零，能夠容易判斷出該點是落在隱式方程所表示的曲線（曲面）上還是某一側(cè)。利用這個性質(zhì)，在曲線曲面求交時將會帶來莫大的方便。在幾何造型系統(tǒng)中，曲線曲面方程通常表示成參數(shù)的形式，即曲線上任一點的坐標(biāo)均表示成給定參數(shù)的函數(shù)。假定用t表示參數(shù)，平面曲線上任一點P可表示為：P(t)=[x(t),y(t)]；

空間曲線上任一三維點P可表示為：P(t)=[x(t),y(t),z(t)]；

最簡單的參數(shù)曲線是直線段，端點為P1、P2的直線段參數(shù)方程可表示為：P(t)=P1+(P2-P1)tt∈[0,1];

圓在計算機圖形學(xué)中應(yīng)用十分廣泛，其在第一象限內(nèi)的單位圓弧的非參數(shù)顯式表示為：其參數(shù)形式可表示為：

在曲線、曲面的表示上，參數(shù)方程比顯式、隱式方程有更多的優(yōu)越性，主要表現(xiàn)在：

（1）可以滿足幾何不變性的要求。（2）有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀。如一條二維三次曲線的顯式表示為：只有四個系數(shù)控制曲線的形狀。而二維三次曲線的參數(shù)表達(dá)式為：有8個系數(shù)可用來控制此曲線的形狀。

（3）對非參數(shù)方程表示的曲線、曲面進(jìn)行變換，必須對曲線、曲面上的每個型值點進(jìn)行幾何變換；而對參數(shù)表示的曲線、曲面可對其參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何變換。（4）便于處理斜率為無窮大的情形，不會因此而中斷計算。（5）參數(shù)方程中，代數(shù)、幾何相關(guān)和無關(guān)的變量是完全分離的，而且對變量個數(shù)不限，從而便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴展到高維空間去。這種變量分離的特點使我們可以用數(shù)學(xué)公式處理幾何分量。（6）規(guī)格化的參數(shù)變量t∈[0,1]，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界。（7）易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡化了計算。有一空間點A，從原點O到A點的連線表示一個矢量，此矢量稱為位置矢量?？臻g一點的位置矢量有三個坐標(biāo)分量，而空間曲線是空間動點運動的軌跡，也就是空間矢量端點運動形成的矢端曲線，其矢量方程為：2參數(shù)曲線的定義及其位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和撓率

此式也稱為單參數(shù)的矢函數(shù)。它的參數(shù)方程為：型值點——指通過測量或計算得到的曲線或曲面上少量描述其幾何形狀的數(shù)據(jù)點。控制點——指用來控制或調(diào)整曲線曲面形狀的