2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中+期末高效復(fù)習(xí)課第一章空間向量與立體幾何章節(jié)綜合檢測新高考題型基錯(cuò)含解析

Page1第一章空間向量與立體幾何章節(jié)綜合檢測（新高考版基礎(chǔ)卷）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)镋、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，所以，.故選：C2．（2022·湖北·丹江口市二中高二期末）已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．， B．，C．， D．以上都不對【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以；因?yàn)椋裕蔬x：C.3．（2022·江蘇·鹽城中學(xué)高二期中）已知向量，，若與互相垂直，則的值為（

）A．－1 B．2 C． D．1【答案】B【詳解】解：因?yàn)榕c互相垂直，所以，即，解得.故選：B.4．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)，且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線l的方程為，根據(jù)上面的材料解決下面的問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過點(diǎn)的直線l的方程為，則直線與平面所成角為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題知：平面的法向量，直線的方向向量，所以，因?yàn)?，所?故選：C5．（2022·湖南·高三開學(xué)考試）兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點(diǎn)和點(diǎn)，使，且.已知?jiǎng)t線段的長為（

）A．8 B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知：，所以，又異面直線所成的角為，則所以，則或（舍去）故選：B.6．（2022·江蘇淮安·高二期末）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，，M為PC上一動(dòng)點(diǎn)，，若∠BMD為鈍角，則實(shí)數(shù)t可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】分別以、、為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，，故，,，,由可知，，即，又因?yàn)闉殁g角，所以，由,,可知，，，整理得，解得，故選：D.7．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測（理））在矩形ABCD中，O為BD中點(diǎn)且，將平面ABD沿對角線BD翻折至二面角為90°，則直線AO與CD所成角余弦值為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】在平面中過作，垂足為；在平面中過作，垂足為.由于平面平面，且交線為，所以平面，平面，設(shè)，，同理可得，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)與所成角為，則.故選：C8．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（理））在四棱錐中，已知底面為矩形，底面，.若分別為的中點(diǎn)，經(jīng)過三點(diǎn)的平面與側(cè)棱相交于點(diǎn).若四棱錐的頂點(diǎn)均在球的表面上，則球的半徑為（

）A． B． C． D．2【答案】B【詳解】解：根據(jù)題意，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，設(shè)，則，因?yàn)榻?jīng)過三點(diǎn)的平面與側(cè)棱相交于點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)使得，即，所以，解得，所以，即為棱的三等分點(diǎn)靠近點(diǎn)，四棱錐的頂點(diǎn)均在球的半徑與邊長為的長方體的外接球半徑相同，因?yàn)檫呴L為的長方體的外接球半徑為，所以四棱錐的外接球的半徑為故選：B二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．空間向量，若，則B．若對空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面C．已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底D．任意向量滿足【答案】ABC【詳解】對于：空間向量，若，則，故正確；對于B：若對空間中任意一點(diǎn)，有，由于，則四點(diǎn)共面，故B正確；對于C：已知是空間的一組基底，若，則兩向量之間不共線，故也是空間的一組基底，故C正確；對于D：任意向量滿足，由于是一個(gè)數(shù)值，也是一個(gè)數(shù)值，則說明和存在倍數(shù)關(guān)系，由于是任意向量，不一定存在倍數(shù)關(guān)系，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10．（2022·山東德州·高一期末）如圖，菱形ABCD邊長為2，∠BAD=60°，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，使A到，連接，，且，平面與平面的交線為l，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．平面平面 B．C．ВС與平面所成角的余弦值為 D．二面角的余弦值為【答案】ABD【詳解】在菱形ABCD中，E為邊AB的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以ED⊥DC，因?yàn)锳′D⊥DC，，所以平面A′DE，因?yàn)?，所以平面A′DE，因?yàn)槠矫鍭′BE，所以平面A′DE⊥平面A′BE，故A正確；因?yàn)?，平面A′BE，平面A′BE，所以平面A′BE，又平面A′BE與平面A′CD的交線為l，所以CD∥l，故B正確；由A知，平面A′DE，則A′E，又菱形ABCD邊長為2，∠BAD＝60°，E為邊AB的中點(diǎn)，所以A′E，又BE∩DE=E，所以A′E平面BED,，以E為原點(diǎn)，分別以EB，ED,EA′為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，由上可知：平面A′DE，設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，則，所以有，因此選項(xiàng)C不正確；顯然平面的一個(gè)法向量為：，設(shè)平面的一個(gè)法向量為：則有則，即，所以所以，所以選項(xiàng)D正確，故選：ABD11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為正方體底面的中心，為棱上動(dòng)點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，則（

）A．平面平面B．過三點(diǎn)的正方體的截面一定為等腰梯形C．與為異面直線D．與垂直【答案】AB【詳解】連接，易知平面．又平面，所以平面平面，即平面平面，所以A選項(xiàng)正確；因?yàn)椋B接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．因?yàn)椋裕郑腋鶕?jù)圖形對稱性得，所以截面必為等腰梯形，所以B選項(xiàng)正確；因?yàn)槠矫嫫矫妫耘c共面，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；以的正方向分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為1，則，由題設(shè)點(diǎn)，則，．又，所以，則，又，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，，所以，若，則，整理得．因?yàn)?，令，，無解，故與不垂直，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：AB．12．（2022·全國·高二單元測試）如圖，在邊長為的正方體中，點(diǎn)在底面正方形內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點(diǎn)使得平面B．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為C．若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為D．若平面，則三棱錐的體積為定值【答案】BD【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)點(diǎn)，其中，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，若平面，則，則，解得，，不合乎題意，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，若，可得，則點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓的，所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為，B對；對于C選項(xiàng)，若平面，則，則，所以，點(diǎn)在底面的軌跡為線段，故點(diǎn)的軌跡長度為，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，因?yàn)槠矫嫫矫?，若平面，則點(diǎn)的軌跡為線段，因?yàn)榍遥?，四邊形為平行四邊形，所以，，，則點(diǎn)到平面的距離為定值，又因?yàn)榈拿娣e為定值，則為定值，D對.故選：BD.三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，．當(dāng)時(shí)，若向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，，因?yàn)榕c垂直，所以.故答案為：14．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在四面體OABC中，點(diǎn)M，N分別為OA、BC的中點(diǎn)，若，且G、M、N三點(diǎn)共線，則______．【答案】【詳解】若G、M、N三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，又點(diǎn)M，N分別為OA、BC的中點(diǎn)，則，，則，則，解得，則.故答案為：.15．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，、分別是、的中點(diǎn).設(shè)D是線段上的（包括兩個(gè)端點(diǎn)）動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成角的余弦值為，則線段的長為_______.【答案】【詳解】解：如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系：則設(shè)，則，設(shè)直線與所成角為所以，即，解得或（舍去），所以，故答案為：．16．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模（理））矩形ABCD中，，現(xiàn)將沿對角線AC折起，得到四面體，若異面直線與所成角為，則______；若二面角的大小為，則______．【答案】

或##或

【詳解】如圖所示在矩形中，，所以，在四面體中，，其中為與的夾角；若異面直線與所成角為，則或，所以或；經(jīng)檢驗(yàn)或均滿足題意，故或；在矩形中，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在四面體中，作交于點(diǎn)，則，所以二面角的平面角為.設(shè)，因?yàn)?，所以，又四面體可知，，則，而，若二面角的大小為，則，所以，即．故答案為：或1；．四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2022·重慶南開中學(xué)高二期末）四棱錐，底面為矩形，面，且，點(diǎn)在線段上，且面.(1)求線段的長；(2)對于（1）中的，求直線與面所成角的正弦值.【答案】(1)1(2)(1)面，在矩形中，易得：；(2)如四建立空間直角坐標(biāo)系：則，，由題意可知：為平面的一個(gè)法向量，，，直線與面所成角的正弦值為.18．（2022·河北邯鄲·高三開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，平面平面.(1)證明：；(2)若為正三角形，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)（1）證明：由題意，設(shè)，又，得，又，所以，所以，又平面平面，且平面平面平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：方法一（向量法）：取的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S正方向，過點(diǎn)分別作和的平行線，分別為軸和軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由為正三角形，，得，則，則，設(shè)為平面的法向量，則有，即，可取，設(shè)為平面的法向量，同理所以，設(shè)二面角的平面角為，則，故二面角的正弦值為.方法二（幾何法）：如圖，取的中點(diǎn)，連接，在平面中作，連接，由（1）知，又為正三角形，所以，所以，所以，又，所以為二面角的平面角，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以，在中，，所以，所以，在中，，所以，在中，，所以，即二面角的正弦值?19．（2022·全國·高二單元測試）如圖，在直三棱柱中，底面ABC為等腰直角三角形，，AB＝AC＝2，，M是側(cè)棱上一點(diǎn)，設(shè)．(1)若，求證：；(2)若，求直線與平面ABM所成角的正弦值；(3)若，求點(diǎn)M到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)(3)1（1）由題意可得AB，AC，兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，AB，AC，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：當(dāng)h＝1時(shí)，，，，則，∵∴．（2）當(dāng)h＝2時(shí)，，，，，，，，設(shè)平面ABM的法向量則，取y＝1，得是平面ABM的一個(gè)法向量設(shè)直線與平面ABM所成角為則∴直線與平面ABM所成角的正弦值為．（3）當(dāng)h＝3時(shí)，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取a＝2，得是平面的一個(gè)法向量∴點(diǎn)M到平面的距離．20．（2022·海南·瓊海市嘉積第二中學(xué)高二期末）如圖，三棱柱中，，，平面.(1)求證：；(2)若，直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)(1)∵平面，平面∴，∵，四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形.∴，∵，平面，平面∴平面，∵平面∴.(2)∵與平面所成角為，平面，∴，若，則是正三角形.令，則，，，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，，令，解得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，即，令，解得，設(shè)二面角的大小為，由圖知非鈍角，∴.∴二面角的余弦值為.21．（2022·河南宋基信陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).(1)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AC與所成角的余弦值；(2)AE等于何值時(shí)，二面角的大小為.【答案】(1)；(2).(1)如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則∴，設(shè)AC與D1E所成的角為，則，即異面直線AC與所成角的余弦值為；(2)設(shè)，，則，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，平面的法向量可取，，解得