科學(xué)和工程計(jì)算復(fù)習(xí)題

科學(xué)和工程計(jì)算基礎(chǔ)復(fù)習(xí)題一、填空題:1.評(píng)論一個(gè)數(shù)值計(jì)算方法的利害主要有兩條標(biāo)準(zhǔn):計(jì)算結(jié)果的精度和得到結(jié)果需要付出的代價(jià).計(jì)算機(jī)計(jì)費(fèi)的主要依照有兩項(xiàng):一是使用中央辦理器(CPU)的時(shí)間,主要由算數(shù)運(yùn)算的次數(shù)決定;二是占有儲(chǔ)存器的空間,主要由使用數(shù)據(jù)的數(shù)目決定.3.用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí),所有的函數(shù)都一定轉(zhuǎn)變成算術(shù)運(yùn)算.4.關(guān)于某個(gè)算法,若輸入數(shù)據(jù)的偏差在計(jì)算過程中快速增加而得不到控制,則稱該算法是數(shù)值不穩(wěn)固的,不然是數(shù)值穩(wěn)固的.5.函數(shù)求值問題yfx的條件數(shù)定義為:C(x)cond(f(x))xf(x)f(x)6.單一減且有下界的數(shù)列必定存在極限;單一增且有上界的數(shù)列必定存在極限.7.方程實(shí)根的存在獨(dú)一性定理:設(shè)f(x)C[a,b]且f(a)f(b)0,則起碼存在一點(diǎn)a,b使f0.當(dāng)fx在a,b上存在且不變號(hào)時(shí),方程在a,b內(nèi)有獨(dú)一的實(shí)根.8.函數(shù)fx,y在有界閉地區(qū)D上對(duì)y知足Lipschitz條件,是指關(guān)于D上的隨意一對(duì)點(diǎn)x,y1和x,y2成立不等式:f(x,y1)f(x,y2)Ly1y2.此中常數(shù)L只依靠于區(qū)域D.9.設(shè)ARnn,i,i1,2,,n為其特點(diǎn)值,則稱(A)maxi為矩陣A的譜半徑.1in10.設(shè)A1存在,則稱數(shù)cond(A)A1A為矩陣A的條件數(shù),此中是矩陣的算子范數(shù).11.方程組xBx關(guān)于隨意的初始向量x0和右端項(xiàng)f,迭代法xk1Bxkf收f,斂的充分必需條件是選代矩陣B的譜半徑(B)1.12.設(shè)被插函數(shù)fx在閉區(qū)間a,b上n階導(dǎo)數(shù)連續(xù),fn1x在開區(qū)間a,b上存在.若xiin0為a,b上的n1個(gè)互異插值節(jié)點(diǎn)n,并記n1xxxi,則插值多項(xiàng)式i0nn1xf(n1)(x)Lnxfxk的余項(xiàng)為Rn(x)f(x)Ln(x)n1(x),xxk(n1)!k0n1xk此中x(x)(a,b).n13.若函數(shù)組kxk0為正交函數(shù)序列.

Ca,b知足(k,l)0,klk,l=0,1,2,,n,則稱kxkn00,klbhn1f(x)dxTn(f)f(a)2f(akh)f(b),14.復(fù)化梯形求積公式a2k1其他項(xiàng)為RT(ba)h2(),(a,b)12fn15.復(fù)化Simpson求積公式bhn1n1f(x)dxSn(f)f(a)4f(a(2k1)h)2f(a2kh)f(b)a3k0k1,其他項(xiàng)為RS(ba)h4f(4)(),(a,b)n18016.選互異節(jié)點(diǎn)x0,x1,,xn為Gauss點(diǎn),則Gauss型求積公式的代數(shù)精度為2n+1.17.假如給定方法的局部截?cái)嗥钍荰n1Ohp1,此中p1為整數(shù),則稱該方法是P階的或擁有P階精度.18.微分方程的剛性現(xiàn)象是指快瞬態(tài)解嚴(yán)重影響數(shù)值解的穩(wěn)固性和精度,給數(shù)值計(jì)算造成很大的實(shí)質(zhì)性困難的現(xiàn)象.19.迭代序列xkab停止準(zhǔn)則往常采納xkxk1，此中的0為相對(duì)偏差k0,1xk容限.20.在求解非線性方程組的阻尼牛頓迭代法中加進(jìn)阻尼項(xiàng)的目的,是使線性方程組(牛頓方程)的系數(shù)矩陣非奇怪并良態(tài).二、選擇題下述哪個(gè)條件不是能使高斯消去法順利實(shí)現(xiàn)求解線性代數(shù)方程組充分條件(D)

Axb,Aaij的nnA.矩陣A的各階次序主子式均不為零;B.A對(duì)稱正定;C.A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu);D.A的隊(duì)列式不為零.2.高斯消去法的計(jì)算量是以下述哪個(gè)數(shù)目級(jí)的漸近速度增加的(B)A.1n3;B.2n3;C.1n3;D.3n3.33443.關(guān)于隨意的初始向是x0和右端項(xiàng)f,求解線性代數(shù)方程組的迭代法xk1Bxkf收斂的充分必需條件是(A).A.B1B.B1detB0;D.B嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu).;;C.4.下述哪個(gè)條件不是能使求解線性代數(shù)方程組Axb,Aaijnn的Gauss-Seidel迭代法收斂的充分條件(C)A.A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣;B.A為不行約弱對(duì)角占優(yōu)陣;C.A的隊(duì)列式不為零;D.A為對(duì)稱正定陣.5.設(shè)fxC2a,b，并記M2maxfx，則函數(shù)fx的過點(diǎn)axba,fa,b,fb的線性插值余項(xiàng)R1x,xa,bA.RxM2ba;B.RxM2ba21818C.R1xM22D.R1xM2baba;66

知足(A).2;2.6.設(shè)nx是在區(qū)間a,b上帶權(quán)x的首項(xiàng)系數(shù)非零的n次正交多項(xiàng)式n1,則nx的n個(gè)根(A).A.都是單實(shí)根;B.都是正根;C.有非負(fù)的根;D.存在重根7.Legendre多項(xiàng)式是()的正交多項(xiàng)式.(B)A.區(qū)間1,1上帶權(quán)x1;B.區(qū)間1,1上帶權(quán)x1x2;1C.區(qū)間,上帶權(quán)xex2;D.區(qū)間0,1上帶權(quán)x18.失散數(shù)據(jù)的曲線擬合的線性最小二乘法的Gram矩陣與(D)沒關(guān)xnximA.基函數(shù)kk0;B.自變量序列i0;m0;m0.C.權(quán)數(shù)wiiD.失散點(diǎn)的函數(shù)值yii9.Simpson求積公式的余項(xiàng)是(B).A.Rfh3f,a,b;B.Rfh5f4,a,b;1290C.Rfh2baf,a,b;D.Rfh4baf4,a,b129010.n個(gè)互異節(jié)點(diǎn)的Gauss型求積公式擁有(D)次代數(shù)精準(zhǔn)度.A.n;B.n1;C.2n1;D.2n1.11.一階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值計(jì)算公式中,中心差商公式的精度為(B).A.Oh;B.Oh2;C.oh2;D.Oh32.12.關(guān)于用插值法成立的數(shù)值求導(dǎo)公式,往常導(dǎo)數(shù)值的精準(zhǔn)度比用插值公式求得的函數(shù)值的精度(B).A.高;B,低;C.同樣;D.不行比.13.在常微分方程初值問題的數(shù)值解法中,梯形公式是顯式Euler公式和隱式Euler公式的(A).A.算術(shù)均勻;B.幾何均勻;C.非等權(quán)均勻;D.和.14.當(dāng)(B)時(shí),求解yy,0的顯式Euler方法是絕對(duì)穩(wěn)固的.A.1h1;B.2h0;C.0h1D.2h2;15.求解yy,0的經(jīng)典R-K公式的絕對(duì)穩(wěn)固條件是(C):2A．2h0;B.1hh1;2h2341h22121hhh1;hC.23!4!D.1h221.h1216.在非線性方程的數(shù)值解法中,只需x*1,(x*x*),那么無論原迭代法xk1xk,k0,1,2,L能否收斂,由它構(gòu)成的Steffensen迭代法的局部收斂的階是(D)階的.A.1;B.0;C.2;D.2.17.在非線性方程的數(shù)值解法中,Newton迭代法的局部收斂的階是(D)階的.A.1;B.0;C.2;D.2.18.在非線性方程的數(shù)值解法中,失散Newton迭代法的局部收斂的階是(C)階的.A.1;B.2;15D.2.C.2;19.在求解非線性方程時(shí),迭代停止準(zhǔn)則往常采納(A),此中的0為給定的相對(duì)偏差容限.A.xkxk1;B.xkxk1;C.xkxk1;D.xkxk11xkxk1xk.120.在求解非線性方程組時(shí),加進(jìn)阻尼項(xiàng)的目的,是使線性方程組的(C).A.系數(shù)矩陣非奇怪;B.系數(shù)矩陣的隊(duì)列式不等于零;C.系數(shù)矩陣非奇怪并良態(tài);D.系數(shù)矩陣可逆.三、判斷題1.在用計(jì)算機(jī)求數(shù)學(xué)識(shí)題的數(shù)值解就是結(jié)構(gòu)算法的結(jié)構(gòu)問題.(×)2.用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí),所有的函數(shù)都一定轉(zhuǎn)變成算術(shù)運(yùn)算;在作加減法時(shí),應(yīng)防止接近的兩個(gè)數(shù)相減;在所乘除法時(shí),計(jì)算結(jié)果的精度不會(huì)比原始數(shù)據(jù)的高.(√)用計(jì)算機(jī)作加減法時(shí),互換律和聯(lián)合律成立.(×)單一減且有下界的數(shù)列必定存在極限。(√)5.設(shè)BRnn,則limBk0的充要條件是B的譜半徑B1.(√)k6.若ARnn,則必定有A2B.(×)7.求解線性代數(shù)方程組,當(dāng)n很大時(shí),Cholesky分解法的計(jì)算量比Gauss消去法大概減少了一半.(√)8.在用迭代法求解線性代數(shù)方程組時(shí),若Jacobi迭代矩陣為非負(fù)矩陣,則Jacobi方法和Gauss-Seidel方法同時(shí)收斂,或同時(shí)不收斂;若同時(shí)收斂,則Gauss-Seidel方法比Jacobi方法收斂快.(√)9.均差(或差商)與點(diǎn)列xi,fxin的序次相關(guān).(×)i0線性最小二乘法問題的解與所選基函數(shù)相關(guān).(×)復(fù)化梯形求積公式是2階收斂的,復(fù)化Simpson求積公式是4階收斂的.(√)Gauss求積系數(shù)都是正的.(√)在常微分方程初值問題的數(shù)值解法中,因?yàn)樘菪喂绞秋@式Euler公式和隱式Euler公式的算術(shù)均勻,而Euler公式和隱式Euler公式是一階方法,因此梯形公式也是一階方法.(×)14.在Runge-Kutta法中,往常同級(jí)的隱式公式能獲取比顯式公式更高的階.(√)15.求解yy,0的梯形公式是無條件穩(wěn)固的.(√)在常微分方程初值問題的數(shù)值解法中,無論單步法仍是多步法,隱式公式比顯式公式的穩(wěn)固性好.(√)迭代法的基本問題是收斂性、收斂速度和計(jì)算效率.(√)在一元非線性方程的數(shù)值解法中,最有效的是Steffensen迭代法和Newton迭代法.前者不需要求導(dǎo)數(shù),但不宜推行到多元的情況;后者需要求導(dǎo)數(shù),但可直接推行到多元方程組.(√)常微分方程邊值問題的差分法,就是將解空間和微分算子失散化、構(gòu)成知足邊值條件的差分方程組,求解此方程組,獲取邊值問題在節(jié)點(diǎn)上函數(shù)的近似值.(√)在求解非線性方程組時(shí),在必定條件下映內(nèi)性可保證不動(dòng)點(diǎn)存在,因此也能保證獨(dú)一性.(×)四、線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法1.用高斯消去法求解方程組Axb，即211x14132x26122x35（1）列出用增廣矩陣A,b表示的計(jì)算過程及解向量x；（2）列出由此獲取的Doolittle三角分解ALU中的三角陣L和U；（3）533由U計(jì)算detA。detA252P65例~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2.用高斯消去法求解方程組Axb，即711x13242x21113x32（1）列出用增廣矩陣A,b表示的計(jì)算過程及解向量x；（2）列出由此獲取的Doolittle三角分解ALU中的三角陣L和U；（3）由U計(jì)算detA。7113解：方程組的增廣矩陣24211132第一次消元：消元因子l212,l311，進(jìn)行消元，得777113026161777082017777第二次消元：消元因子l324，進(jìn)行消元，得137113026161777001962179191回代得x321731，x291919628，x12814易知100711210，U02616L777141002177139126217detA762791~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3.用高斯消去法求解方程組Axb，即133x11211x22234x321列出用增廣矩陣A,b表示的計(jì)算過程及解向量x；（）（2）列出由此獲取的Doolittle三角分解ALU中的三角陣L和U；（3）由U計(jì)算detA。1331解：方程組增廣矩陣21122342第一次消元：消元因子l212,l312，進(jìn)行消元，得133105500320第二次消元：消元因子l323，進(jìn)行消元，得5133105500010回代得x30，x20，x11易知100133L210，U0552310015detA1515~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~4.用高斯消去法求解方程組Axb，即211x14342x211324x311（1）列出用增廣矩陣A,b表示的計(jì)算過程及解向量x；（2）列出由此獲取的Doolittle三角分解ALU中的三角陣L和U；（3）由U計(jì)算detA。2114解：方程組增廣矩陣3421132411第一次消元：消元因子l213,l313，進(jìn)行消元，得22211401115220111522第二次消元：消元因子l321，進(jìn)行消元，得11211401115226000601111回代得x31，x21，x13易知100211310，U0111L2221310060211111160detA260~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~5.用高斯消去法求解方程組Axb，即1234x1214916x210182764x34411681256x4190（1）列出用增廣矩陣A,b表示的計(jì)算過程及解向量x；（2）列出由此獲取的Doolittle三角分解ALU中的三角陣L和U；（3）由U計(jì)算detA。123421491610解：方程組增廣矩陣8276444111681256190第一次消元：消元因子l211,l311,l411，進(jìn)行消元，得123420261280624604201478252188第二次消元：消元因子l323，l427，進(jìn)行消元，得1234202612800624180036168132第三次消元：消元因子l436，進(jìn)行消元，得1234202612800624180002424回代得x41，x31，x21，x11易知100012341100，U02612L310006241176100024detA12624288~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~6.用高斯消去法求解方程組Axb，即1241x1212864x25231088x379412106x482（1）列出用增廣矩陣A,b表示的計(jì)算過程及解向量x；（2）列出由此獲取的Doolittle三角分解ALU中的三角陣L和U；（3）由U計(jì)算detA。124121286452解：方程組增廣矩陣108879341210682第一次消元：消元因子l212,l313,l414，進(jìn)行消元，得12412104221004451604622第二次消元：消元因子l321，l421，進(jìn)行消元，得12412104221000236004012第三次消元：消元因子l432，進(jìn)行消元，得12412104221000236000624回代得x44，x33，x22，x11易知1000124121000422L110，U0233041210006detA142648~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~7.用追趕法求解三對(duì)角方程組Axf,此中4101A141,f10141解：d1c11，d2c21，u1b14，l2a21b2l2c115，u1，u244564l3a3，u3b3l3c2u215，得15100410L110，U01514445601001515解得y11，y254，y3，43得x35，x23514，x1147~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~8.用追趕法求解三對(duì)角方程組Axf,此中410r1A1431,f0142d1c11，d2c21，u1b1a21b2l2c1154，l2u1，u2，45644a3l3c2l3u2，u3b3，得1515100410L110，U01514445601001515解得y11，y23.25，y32.8668，得x30.7679，x21.0714，x10.5179Page77例~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~9.用追趕法求解三對(duì)角方程組Axf,此中216A132,r124f23351解：d1c11，d2c22，d3c33，u1b12，l2a21u1，2u2b2l2c15a34b3l3c212，la452，l3u2，u354u345u4b4l4c35得4100021001000520122L0410，U00123555500000144解得y16，y24，y3623，y4255得x492x371，x2342，x154612550125125~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~五、插值與擬合1.已知函數(shù)fx的三個(gè)點(diǎn)0,1,1,5和2,1，寫出Lagrange插值基函數(shù),并求2次插值多項(xiàng)式L2x.Page117例~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2.已知f10,f13,f24,求函數(shù)fx過這三點(diǎn)的二項(xiàng)Lagrange插值多項(xiàng)式L2x.解：這里n=2l0(2)(x)(x1)(x2)1(x1)(x2)(11)(12)2l1(2)(x)((x1)(x2)1(x1)(x2)11)(12)6l2(2)(x)(x1)(x1)1(x1)(x1)(21)(21)3L2(x)0l0(2)(x)3l1(2)(x)4l2(2)(x)5x23x7623~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~求不超出3次的多項(xiàng)式p3x，使它知足插值條件：p12,p01,p10,p00.Page121例~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~求不超出4次的多項(xiàng)式px，使它知足插值條件：p0p00,p1p11,p21.解：結(jié)構(gòu)p(x)p00(x)p11(x)p00(x)p11(x)a(xx0)2(xx1)2此中的插值基函數(shù)0(x)，1(x)，0(x)，1(x)為三次多項(xiàng)式，a為待定常數(shù)。xx022xxx10(x)12x10(x)(xx1x0x0x1x0)x1x0xx1x2x21(x)12x01(x)(xx1)x0x0x1x1x0x1x0計(jì)算得0(x)(12x)(x1)2，1(x)(32x)x2，0(x)x(x1)21(x)(x1)x2p(x)(32x)x2(x1)x2ax2(x1)2因?yàn)閜(2)1，得a=1，因此p(x)(32x)x2(x1)x21x2(x1)244=x2(1x23x9)424~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~給定數(shù)據(jù)以下:x102x作函數(shù)fx的均差表;用牛頓插值公式求三次插值多項(xiàng)式N3x.解：均差表xif(xi)1階均差2階均差3階段均差1f[x0,x1]2.50f[x1,x2]1f[x0,x1,x2]1.52f[x2,x3]2.25f[x1,x2,x3]2.5f[x0,x1,x2,x3]12）N3(x)f(x0)f[x0,x1](xx0)f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)f[x0,x1,x2,x3](xx0)(xx1)(xx2)=+(x1)+(x1)(x1.5)+(x1)(x1.5)x~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~6.求不超出3次的多項(xiàng)式Hx，使它知足插值條件:H19,H115,H11,H11.解：結(jié)構(gòu)H(x)y00(x)y11(x)y00(x)y11(x)此中的插值基函數(shù)0(x)，1(x)，0(x)，1(x)為三次多項(xiàng)式，a為待定常數(shù)。xx0xx12xx120(x)120(x)(xx0)x0x0x1x0x1x1xx1xx02xx021(x)121(x)(xx1)x1x1x0x1x0x0計(jì)算得0(x)1(x2)(x1)2，1(x)1(2x)(x1)2，0(x)1(x1)(x1)24441(x)1(x1)(x1)249(x1(2H(x)2)(x1)2x)(x1)24415(x1)(x1)21(x1)(x1)244~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~己知函數(shù)fx的三個(gè)點(diǎn)處的值為：f11,f00,f11在區(qū)間[-1,1]上,求fx在自然界限條件下的三次樣條插值多項(xiàng)式.P129例~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~8.已知fx為定義在區(qū)間0,3上的函數(shù),且有f00,f10.5,f22.0,f31.5,f00.2,f31.試求區(qū)間0,3上知足上述條件的三次樣條插值函數(shù).解：hixi1xi1，i0,1,2hi111,2；i111,2ihi1hi，ii，i22均差表xif(xi)1階均差2階均差001f[x0,x1]0.52f[x1,x2]1.5f[x0,x1,x2]0.53f[x2,x3]0.5f[x1,x2,x3]1d160.53，d26(1)6d06f(x0))6(0.50.2)1.8(f[x0,x1]h0d36(f(xn)f[xn1,xn])6(10.5)3h2利用固支條件，得矩陣2100M01.80.520.50M1300.520.5M260012M33用追趕法求解方程組：d1c11，d2c20.5，d3c30.5，u1b12，l2a20.25，u1u2b2l2c11.75，l3a32，u3b313，l4a47u27l3c2u313457u4b4l4c3得261011420700

0021000007104210，U001317271000451326解得y1951，y347181，y220，y4130570得M39M293，M163，M0925252525因此s(x)Mi(xi1x)3Mi1(xxi)3[f(xi)Mihi2]xi1x6hi6hi6hi[f(xi1)Mi1hi2]xxix[xi,xi1]，i=0,1,26hi~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~9.己知點(diǎn)列和權(quán)數(shù)xii402,1,0,1,2,wii400.5,1,1,1,1.5,試用三項(xiàng)遞推公式結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的正交多項(xiàng)式0x,1x,2x.解：0(x)x01，(x0,0)mwixi[0(xi)]2=21(x)xa0，a0(0,0)i0于是1(x)x21(xi)}i41,0)T，(1,41(xi)]2=221{0(4,3,2,1)wi[i04wixi[1(xi)]2=(x1,1)24i0(x1,1)12(1,1)22a1(1,1)，b1(0,0)511于是2(x)(x12)1(x)220(x)=(x12)(x2)22115115~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~察看物體的直線運(yùn)動(dòng),得出以下數(shù)據(jù)：時(shí)間t/s距離s/m010305080110求運(yùn)動(dòng)方程satb,并作圖.解：選擇多項(xiàng)式子空間的基函數(shù)為0(t)1,1(t)t,它們?cè)谧宰兞啃蛄衶xi}im0處的函數(shù)值向量為0(1,1,1,1,1,1)T，1(0.0,0.9,1.9,3.0,3.9,5.0)T，數(shù)據(jù)中沒有給出權(quán)數(shù)，表示默認(rèn)它們都是1，即wi1。(0,0)1,0614.7格蘭姆矩陣G=0,1)(1,=14.753.63(1)右端向量d=(y,0)=280(y,1)1078解正規(guī)方程組，獲取a*7.855022.2538得圖形以下：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~11.試用二次多項(xiàng)式擬合下表中的失散數(shù)據(jù):i01234xiyiPage151例~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~12.試用二次多項(xiàng)式擬合下表中的失散數(shù)據(jù):i01234xiyi解：n=2，子空間的基函數(shù)為0(x)1，1(x)x，2(x)x2。數(shù)據(jù)中沒有給出權(quán)數(shù)，表示默認(rèn)它們都是1，即wi1。(0,0)(1,0)(2,0)52.51.875G(0,1)(1,1)(2,1)2.51.8751.5625(0,2)(1,2)(2,2)1.8751.56251.3828(y,0)8.768d(y,1)5.4514(y,2)4.4015解正規(guī)方程組，獲取a*(1.0051,0.8647,0.8432)T~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~13.用自己的語言表達(dá)最小二乘原理，并求參數(shù)和，使積分值2sinxx2最小.dx0解：最小二乘原理：Page146定義，關(guān)于連續(xù)函數(shù)的狀況能夠用函數(shù)范數(shù)取代向量范數(shù)。令ysinx，(x)x，選擇多項(xiàng)式子空間的基函數(shù)為0(x)1,1(x)x,權(quán)函數(shù)w(x)1。2(0,0)1,02dx2xdx28格蘭姆矩陣G==00=23(0,1)(1,1)2xdx2x2dx82400(y,0)2sinxdx1右端向量d==0(y,1)=2xsinxdx10解正規(guī)方程組，獲取*G1d0.11480.66440.1148，0.6644~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~六、數(shù)值積分和數(shù)值微分求積公式10

fxdx

A0

f

0

A1

f1

B0

f

0已知其他項(xiàng)的表達(dá)式為

Rf

kf

,

0,1,試確立系數(shù)

A0,A1,B0使該求積公式具有盡可能高的代數(shù)精準(zhǔn)度解：P165例

,并給出該求積公式的余項(xiàng)和代數(shù)精準(zhǔn)度的次數(shù)

.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~確立以下求積公式的待定參數(shù),使該求積公式的代數(shù)精準(zhǔn)度盡量高,并指出其代數(shù)精準(zhǔn)度的次數(shù).111fxdxA0fA1fx1A2f(1)122解：題中有4個(gè)待定參數(shù)，起碼要成立4個(gè)方程。按代數(shù)精準(zhǔn)度，分別令f(x)1,x,x2,x3，帶入上式，有f(x)1，A0A1A22f(x)x，1A0x1A11A2022f(x)x2，1A0x12A11A22443f(x)x3，13A1108A0x18A2由第一式可知，A0A22A1，代入第三式可得(12x123)A12，4乘以第四式減去第二式得，(4x121)x1A10，由題目和上邊的結(jié)論知x11，A10242得x10，A1，A0A233于是得求積公式14f(1)2f(0)4f(1)f(x)dx132332它起碼有3次代數(shù)精度。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~hA1f0A2fh(2)fxdxA0fhh解：題中有4個(gè)待定參數(shù)，起碼要成立4個(gè)方程。按代數(shù)精準(zhǔn)度，分別令f(x)1,x,x2,x3，帶入上式，有f(x)1，A0A1A22hf(x)x，hA0hA20f(x)x2，h2A0h2A22h33f(x)x3，h3A0h3A20由h0和第二式可知A0A2，再由第三式可知A0A21h，再由第一式知A14h,33于是得求積公式hhhhf(x)dxf(h)4f(0)f(h)h3333次代數(shù)精度。它起碼有~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~1(3)fxdxA0f0A1f1A2f00解：P165例，此題有三個(gè)未知量，起碼有2次代數(shù)精度，和例近似。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3.確立以下求積公式的待定參數(shù),使該求積公式的代數(shù)精準(zhǔn)度盡量高,指出其代數(shù)精確度的次數(shù),并求出余項(xiàng)中的常數(shù)k.1A2f1kf,(1)fxdxA0f0A1f10,10解：余項(xiàng)為三階導(dǎo)數(shù)，可知求積公式起碼有2次代數(shù)精度題中有3個(gè)待定參數(shù)，起碼要成立3個(gè)方程。按代數(shù)精準(zhǔn)度，分別令f(x)1,x,x2，帶入上式，有f(x)1，A0A11f(x)x，A1A212f(x)x2，A12A213解得A01，A12，A2111f(0)2f(1)1f(1)，則有f(x)dx3360336令f(x)x3，分別代入求積公式的左右兩邊，左側(cè)=1，右側(cè)=1，左側(cè)不等于右側(cè)，不可以46使求積公式正確成立，因此該求積公式只有2次代數(shù)精度?？紤]余項(xiàng)，當(dāng)f(x)x3時(shí)，代入求積公式，得116k，k1，因此余項(xiàng)為：4672R(f)1f( )72~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~1A1fx1kf,(2)fxdxA0f11,11解：余項(xiàng)為三階導(dǎo)數(shù)，可知求積公式起碼有2次代數(shù)精度題中有3個(gè)待定參數(shù)，起碼要成立3個(gè)方程。按代數(shù)精準(zhǔn)度，分別令f(x)1,x,x2，帶入上式，有f(x)1，A0A12f(x)x，A0x1A10f(x)x2，A0x12A12解得A01，A13，x11，則有f(x)dx33f(1)11f(1)2231223令f(x)x3，分別代入求積公式的左右兩邊，左側(cè)=0，右側(cè)=4，左側(cè)不等于右側(cè)，不可以2次代數(shù)精度。9使求積公式正確成立，因此該求積公式只有考慮余項(xiàng)，當(dāng)f(x)x3時(shí)，代入求積公式，得046k，k2，因此余項(xiàng)為：2927R(f)f( )27~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~給定數(shù)據(jù)表:xfx分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化解：h0.2，n4復(fù)化梯形公式：bf(x)dxa=0.1[f(1.8)2f(2.0)

2.6Simpson公式計(jì)算fxdx的近似值.1.8h[f(a)n1Tn(f)2f(akh)f(b)]，2k12f(2.2)2f(2.4)f(2.6)]h0.2，n2復(fù)化Simpson公式:bh[f(a)n1n1Sn(f)f(x)dx4f(a(2k1)h)2f(a2kh)f(b)]a3k0k1=1[f(1.8)4f(2.0)4f(2.4)2f(2.2)f(2.6)]15~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~5.分別用4段梯形公式和2段Simpson公式計(jì)算以下積分,運(yùn)算時(shí)取5位有效數(shù)字。3x2dx(1)9xdx(2)x112解：（1）n=4,h=(9-1)/4=2數(shù)據(jù)表：x13579fx13復(fù)化梯形公式：bn1h[f(a)2f(akh)f(b)]，f(x)dxTn(f)a2k1=1[f(1)2f(3)2f(5)2f(7)f(9)]h2，n2復(fù)化Simpson公式:bn1h[f(a)4f(x)dxSn(f)f(a(2k1)h)a3k0=2[f(1)4f(3)4f(7)2f(5)f(9)]3精準(zhǔn)解：，復(fù)化Simpson精準(zhǔn)度更高些。**************************************************************************2）（1）n=4,h=(3-2)/4=14數(shù)據(jù)表：x2fx

n12f(a2kh)f(b)]k13復(fù)化梯形公式：bn1Tn(f)h[f(a)2f(x)dxf(akh)f(b)]，a2k1=1[f(2)2f(2.25)2f(2.5)2f(2.75)f(3)]8h1，n24復(fù)化Simpson公式:bh[f(a)4n1n1Sn(f)f(x)dxf(a(2k1)h)2f(a2kh)f(b)]a3k0k1=1f(2.25)4f(2.75)2f(2.5)f(3)][f(2)412~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~己知求積公式:2fxdx42f1f02f1238fxdx的2段復(fù)化求積公式.試?yán)么斯綄?dǎo)出計(jì)算0解：作變量置換xabbat，x[a,b]時(shí)，t[2,2]244[2g(4[2f(1)f(2)2f(3)]42f(2t)dt21)g(0)2g(1)]f(x)dx2g(t)dt023382t)dt24[2g(1)g(0)2g(1)]4[2f(5)f(6)2f(7)]f(x)dxf(6g(t)dt4223384[2f(1)則fxdx=f(2)2f(3)2f(5)f(6)2f(7)]03~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~7.用兩種不一樣的方法確立x1,x2,A1,A2，使下邊公式為Gauss求積公式:1fxdxA1fx1A2fx20解：（1）作變量置換xabbat，x[a,b]時(shí)，t[1,1]，則有221111111111f(x)dx2f(t)dtf(22)f(2)01222323（2）題中有4個(gè)待定參數(shù)，起碼要成立4個(gè)方程。按代數(shù)精準(zhǔn)度，分別令f(x)1,x,x2