《專項(xiàng)練習(xí)》2023學(xué)年八年級上冊（人教版）整式的乘法與因式分解單元綜合提優(yōu)專練（解析版）

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D．8x3【答案】C【分析】根據(jù)整式的運(yùn)算法則即可求出答案．【詳解】由題意可知：-4x2?B=32x5-16x4，∴B=-8x3+4x2∴A+B=-8x3+4x2+（-4x2）=-8x3故選C．【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．4．圖（1）是一個長為2m，寬為2n（m＞n）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖（2）那樣拼成一個正方形，則中間空的部分的面積是（）A．2mn B．（m+n）2 C．（m-n）2 D．m2-n2【答案】C【詳解】解：由題意可得，正方形的邊長為（m+n），故正方形的面積為（m+n）2．又∵原矩形的面積為4mn，∴中間空的部分的面積=（m+n）2-4mn=（m-n）2．故選C．5．觀察下列各式及其展開式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…請你猜想（a+b）10的展開式第三項(xiàng)的系數(shù)是（）A．36 B．45 C．55 D．66【答案】B【分析】歸納總結(jié)得到展開式中第三項(xiàng)系數(shù)即可．【詳解】解：解：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第8個式子系數(shù)分別為：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9個式子系數(shù)分別為：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第10個式子系數(shù)分別為：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，則（a+b）10的展開式第三項(xiàng)的系數(shù)為45．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的規(guī)律，根據(jù)給的式子得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.6．已知a2+a﹣4=0，那么代數(shù)式：a2（a+5）的值是（)A．4 B．8 C．12 D．16【答案】D【分析】由a2+a﹣4=0，變形得到a2=-（a-4），a2+a=4，先把a(bǔ)2=-（a-4）代入整式得到a2（a+5）=-（a-4）（a+5），利用乘法得到原式=-（a2+a-20），再把a(bǔ)2+a=4代入計(jì)算即可．【詳解】∵a2+a﹣4=0，∴a2=-（a-4），a2+a=4，a2（a+5）=-（a-4）（a+5）=-（a2+a-20）=?(4?20)=16，故選D【點(diǎn)睛】此題考查整式的混合運(yùn)算—化簡求值，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵7．下列因式分解正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用提公因式法、公式法、十字相乘法等對各選項(xiàng)進(jìn)行分解因式即可判斷正誤.【詳解】A、，故A選項(xiàng)錯誤；B、，故B選項(xiàng)錯誤；C、不能分解，故C選項(xiàng)錯誤；D、，正確，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法以及注意事項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.8．觀察下列兩個多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算過程：根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，若（x+a）（x+b）=x2-7x+12，則a，b的值可能分別是（）A．， B．，4 C．3， D．3，4【答案】A【分析】根據(jù)題意可得規(guī)律為，再逐一判斷即可.【詳解】根據(jù)題意得，a，b的值只要滿足即可，A.-3+（-4）=-7，-3×（-4）=12，符合題意；B.-3+4=1，-3×4=-12，不符合題意；C.3+（-4）=-1,3×（-4）=-12，不符合題意；D.3+4=7,3×4=12，不符合題意.故答案選A.【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出規(guī)律.9．在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（）（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別表示出甲乙圖形中陰影部分的面積，根據(jù)面積相等可得結(jié)論.【詳解】甲圖中陰影部分的面積為大正方形的面積減去小正方形的面積，即，乙圖中陰影部分長方形的長為，寬為，陰影部分的面積為，根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等可得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的驗(yàn)證，靈活表示圖形的面積是解題的關(guān)鍵.10．因式分解，甲看錯了a的值，分解的結(jié)果是，乙看錯了b的值，分解的結(jié)果為，那么分解因式正確的結(jié)果為（）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)甲看錯了a的值，將分解的結(jié)果展開，能求出正確的b的值，乙看錯了b的值，可以求出a的值，再因式分解即可得到答案．【詳解】解：∵甲看錯了a的值∴b是正確的∵=∴b=-6∵乙看錯了b的值∴a是正確的∵=∴a=-1∴=故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，熟練因式分解以及計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題11．如圖，兩個正方形邊長分別為a、b，如果a+b=7，ab=13，則陰影部分的面積為_____．【答案】5【分析】由大三角形面積減去小三角形面積表示出陰影部分面積，將a+b與ab的值代入計(jì)算即可求出值.【詳解】解：根據(jù)題意得：當(dāng)a+b=7，ab=13時，S陰影=a2-b（a-b）=a2-ab+b2=[（a+b）2-2ab]-ab=5，故答案為5【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式的幾何背景，表示出陰影部分面積是解本題的關(guān)鍵.12．甲、乙兩個同學(xué)分解因式時，甲看錯了b，分解結(jié)果為；乙看錯了a，分解結(jié)果為，則______．【答案】15【分析】由題意分析a，b是相互獨(dú)立的，互不影響的，在因式分解中，b決定因式的常數(shù)項(xiàng)，a決定因式含x的一次項(xiàng)系數(shù)；利用多項(xiàng)式相乘的法則展開，再根據(jù)對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等即可求出ab的值.【詳解】解：分解因式x2+ax+b，甲看錯了b，但a是正確的，他分解結(jié)果為（x+2）（x+4）=x2+6x+8，∴a=6，同理：乙看錯了a，分解結(jié)果為（x+1）（x+9）=x2+10x+9，∴b=9，因此a+b=15．故應(yīng)填15.【點(diǎn)睛】此題考查因式分解與多項(xiàng)式相乘是互逆運(yùn)算，利用對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等是求解的關(guān)鍵.13．若x，y滿足方程組則的值為______.【答案】【分析】方程組中第二個方程整理后求出x+y的值，原式利用平方差公式變形，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：由②得，因?yàn)?，所?故答案為【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解，以及平方差公式，將原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵．14．有兩個正方形，現(xiàn)將放在的內(nèi)部得圖甲，將并列放置后構(gòu)造新的正方形得圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和12，則正方形的邊長之和為________．【答案】5【分析】設(shè)正方形A，B的邊長分別為a，b，根據(jù)圖形構(gòu)建方程組即可解決問題．【詳解】解：設(shè)正方形A，B的邊長分別為a，b．由圖甲得：，由圖乙得：，化簡得，∴，∵a+b>0，∴a+b=5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，正方形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程組解決問題，屬于中考?？碱}型．15．在我們所學(xué)的課本中，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘可以用幾何圖形的面積來表示.例如，（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用圖（1）來表示.請你根據(jù)此方法寫出圖（2）中圖形的面積所表示的代數(shù)恒等式：____________.【答案】（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2【詳解】試題分析：圖②的面積可以用長為a+a+b，寬為b+a+b的長方形面積求出，也可以由四個正方形與5個小長方形的面積之和求出，表示出即可．解：根據(jù)圖形列得：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2．故答案為（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2．考點(diǎn)：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式．點(diǎn)評：此題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，熟練掌握法則是解本題的關(guān)鍵．16．分解因式（2a﹣1）2+8a＝__．【答案】（2a+1）2【分析】運(yùn)用乘法公式展開，合并同類項(xiàng)即可，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行分解因式．【詳解】原式═4a2+4a+1＝（2a）2+4a+1＝（2a+1）2，故答案為：（2a+1）2．【點(diǎn)睛】本題考查乘法公式在多項(xiàng)式的化簡及因式分解中的運(yùn)用．解題關(guān)鍵是明確要求，特別是因式分解時，要分解到不能再分解為止．17．=_______．【答案】【分析】先利用平方差公式把每一個因數(shù)化為兩個因數(shù)的積，約分后可得余下的因數(shù)，再計(jì)算乘法，從而可得答案．【詳解】解：====故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的乘法運(yùn)算，運(yùn)用平方差公式對有理數(shù)進(jìn)行簡便運(yùn)算，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．18．若多項(xiàng)式是完全平方式，則的值是______．【答案】【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可得到結(jié)果．【詳解】∵是完全平方式，

∴，

∴，

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵．三、解答題19．先化簡，再求值：，其中，．【答案】ab-1,【分析】先算乘法，再合并同類項(xiàng)，算除法，最后代入求出即可．【詳解】，當(dāng)，時，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算和求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵．20．(1)若3a=5，3b=10，則3a+b的值．(2)已知a+b=3，a2+b2=5，求ab的值．【答案】(1)50；(2)2.【分析】（1）逆用同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算即可得；（2）由a+b=3，可得a2+2ab+b2=9，再根據(jù)a2+b2=5，即可求得ab的值.【詳解】（1）∵3a=5，3b=10，∴3a+b=3a×3b=5×10=50；（2）∵a+b=3，∴（a+b）2=9，即a2+2ab+b2=9，又∵a2+b2=5，∴ab=2.【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪乘法的逆用，完全平方公式，熟練掌握同底冪乘法的運(yùn)算法則是解（1）的關(guān)鍵，掌握完全平方公式是解（2）的關(guān)鍵.21．如圖①所示是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖②的方式拼成一個正方形．(1)按要求填空：①你認(rèn)為圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于______；②請用兩種不同的方法表示圖②中陰影部分的面積：方法1：______方法2：______③觀察圖②，請寫出代數(shù)式(m+n)2，(m-n)2，mn這三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系：______；(2)根據(jù)(1)題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若|m+n-6|+|mn-4|=0，求(m-n)2的值．(3)實(shí)際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示，如圖③，它表示了______．【答案】（1）①m﹣n；②（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn，③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（2）（m﹣n）2=20；（3）（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2【分析】（1）①觀察可得陰影部分的正方形邊長是m-n；②方法1：陰影部分的面積就等于邊長為m-n的小正方形的面積；方法2：邊長為m+n的大正方形的面積減去4個長為m，寬為n的長方形面積；③根據(jù)以上相同圖形的面積相等可得；（2）根據(jù)|m+n-6|+|mn-4|=0可得m+n=6、mn=4，利用（1）中結(jié)論（m-n）2=（m+n）2-4mn計(jì)算可得；（3）根據(jù)：大長方形面積等于長乘以寬或兩個邊長分別為m、n的正方形加上3個長為m、寬為n的小長方形面積和列式可得．【詳解】（1）①陰影部分的正方形邊長是m﹣n．②方法1：陰影部分的面積就等于邊長為m﹣n的小正方形的面積，即（m﹣n）2，方法2：邊長為m+n的大正方形的面積減去4個長為m，寬為n的長方形面積，即（m+n）2﹣4mn；③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn．（2））∵|m+n﹣6|+|mn﹣4|=0，∴m+n﹣6=0，mn﹣4=0，∴m+n=6，mn=4∵由（1）可得（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn∴（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=62﹣4×4=20，∴（m﹣n）2=20；（3）根據(jù)大長方形面積等于長乘以寬有：（2m+n）（m+n），或兩個邊長分別為m、n的正方形加上3個長為m、寬為n的小長方形面積和有：2m2+3mn+n2，故可得：（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2．故答案為（1）m﹣n；（2）①（m﹣n）2，②（m+n）2﹣4mn，③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（3）（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握完全平方公式的相關(guān)知識.22．觀察下列算式：①②③（1）請按照三個算式的規(guī)律寫出第④個、第⑤個算式；（2）把這個規(guī)律用含有字母的式子表示出來，并說明其正確性.【答案】(1)4×6-52=24-25=-1；5×7-62=35-36=-1；(2)n×（n+2）-（n+1）2=-1．【分析】（1）按照前3個算式的規(guī)律寫出即可；（2）觀察發(fā)現(xiàn)，算式序號與比序號大2的數(shù)的積減去比序號大1的數(shù)的平方，等于-1，根據(jù)此規(guī)律寫出即可．【詳解】（1）①1×3-22=3-4=-1，②2×4-32=8-9=-1，③3×5-42=15-16=-1，④4×6-52=24-25=-1；⑤5×7-62=35-36=-1；（2）第n個式子是：n×（n+2）-（n+1）2=-1．故答案為4×6-52=24-25=-1；5×7-62=35-36=-1；n×（n+2）-（n+1）2=-1．【點(diǎn)睛】本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，觀察出算式中的數(shù)字與算式的序號之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23．閱讀以下材料：

對數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J．Nplcr，1550-1617年），納皮爾發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Evlcr，1707-1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系．

對數(shù)的定義：一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作：x=logaN．比如指數(shù)式24=16可以轉(zhuǎn)化為4=log216，對數(shù)式2=log525可以轉(zhuǎn)化為52=25．

我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：loga（M?N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：

設(shè)logaM=m，logaN=n，則M=am，N=an

∴M?N=am?an=am+n，由對數(shù)的定義得m+n=loga（M?N）

又∵m+n=logaM+logaN

∴l(xiāng)oga（M?N）=logaM+logaN

解決以下問題：（1）將指數(shù)43=64轉(zhuǎn)化為對數(shù)式:.（2）仿照上面的材料，試證明：=—(a>0，al，M>0，N>0).（3）拓展運(yùn)用：計(jì)算log32+log36-log34=____.【答案】（1）3=log464；；（2）見解析；（3）1【分析】（1）根據(jù)題意可以把指數(shù)式43=64寫成對數(shù)式；

（2）先設(shè)logaM=m，logaN=n，根據(jù)對數(shù)的定義可表示為指數(shù)式為：M=am，N=an，計(jì)算的結(jié)果，同理由所給材料的證明過程可得結(jié)論；

（3）根據(jù)公式：loga（M?N）=logaM+logaN和loga=logaM-logaN的逆用，將所求式子表示為：log3（2×6÷4），計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】（1）由題意可得，指數(shù)式43=64寫成對數(shù)式為：3=log464，

故答案為3=log464；

（2）設(shè)logaM=m，logaN=n，則M=am，N=an，

∴==am-n，由對數(shù)的定義得m-n=loga，

又∵m-n=logaM-logaN，

∴l(xiāng)oga=logaM-logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；

（3）log32+log36-log34，

=log3（2×6÷4），

=log33，

=1，

故答案為1．【點(diǎn)睛】此題考查整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是明確新定義，明白指數(shù)與對數(shù)之間的關(guān)系與相互轉(zhuǎn)化關(guān)系.24．閱讀：已知a、b、c為△ABC的三邊長，且滿足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，試判斷△ABC的形狀．解：因?yàn)閍2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）．②所以c2＝a2+b2．③所以△ABC是直角三角形．④請據(jù)上述解題回答下列問題：（1）上述解題過程，從第步（該步的序號）開始出現(xiàn)錯誤，錯的原因?yàn)椋唬?）請你將正確的解答過程寫下來．【答案】（1）③，忽略了a2﹣b2＝0的可能；（2）見解析【分析】（1）上述解題過程，從第三步出現(xiàn)錯誤，錯誤原因?yàn)樵诘仁絻蛇叧詀2-b2，沒有考慮a2-b2是否為0；

（2）正確的做法為：將等式右邊的移項(xiàng)到方程左邊，然后提取公因式將方程左邊分解因式，根據(jù)兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個數(shù)為0轉(zhuǎn)化為兩個等式；根據(jù)等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形或等腰三角形．【詳解】解：（1）上述解題過程，從第③步開始出現(xiàn)錯誤，錯的原因?yàn)椋汉雎粤薬2﹣b2＝0的可能；（2）正確的寫法為：c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2），移項(xiàng)得：c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，因式分解得：（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0，則當(dāng)a2﹣b2＝0時，a＝b；當(dāng)a2﹣b2≠0時，a2+b2＝c2；所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．故答案為：③，忽略了a2﹣b2＝0的可能．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用、分類討論．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．25．如圖，一塊長5厘米、寬2厘米的長方形紙板，一塊長4厘米、寬1厘米的長方形紙板，一塊小正方形以及另兩塊長方形的紙板，恰好拼成一個大正方形，求大正方形的面積.【答案】大正方形的面積是36cm2【分析】設(shè)小正方形的邊長為x，然后表示出大正方形的邊長，利用正方形的面積相等列出方程求得小正方形的邊長，然后求得大正方形的邊長即可求得面積．【詳解】設(shè)小正方形的邊長為x，則大正方形的邊長為4＋（5?x）cm或（x＋1＋2）cm，根據(jù)題意得：4＋（5?x）＝（x＋1＋2），解得：x＝3，∴4＋（5?x）＝6，∴大正方形的面積為36cm2．答：大正方形的面積為36cm2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)出小正方形的邊長并表示出