單調(diào)性與最值3L

（三）1.3.1單調(diào)性與最大(小)值【教學(xué)重點(diǎn)】【教學(xué)目標(biāo)】【教學(xué)難點(diǎn)】課程目標(biāo)理解增函數(shù)、減函數(shù)的概念掌握判斷某些函數(shù)增減性的方法步滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法函數(shù)單調(diào)性概念的理解及應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的判定及證明教法:自學(xué)輔導(dǎo)法、討論法、講授法學(xué)法:歸納—討論—練習(xí)【教學(xué)方法】【教學(xué)手段】多媒體電腦與投影儀?判斷函數(shù)在區(qū)間(-1,1)上的單調(diào)性.解:設(shè)則f(x1)－f(x2)∵－1＜x1＜x2＜1,∴1+x1x2＞0,x2－x1＞0,∴f(x1)－f(x2)＞0.即f(x1)＞f(x2).故此函數(shù)在(-1,1)上是減函數(shù).課前熱身利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最大(小)值的方法

1.利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大(小)值

2.利用圖象求函數(shù)的最大(小)值

3.利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x)在x=a處有最小值f(a),在x=b處有最大值f(b)；

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

1.增函數(shù)與減函數(shù)

一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1,x2,當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)．2.單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù),那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.復(fù)習(xí)回顧(1)任取x1,x2∈D,且x1<x2；(2)作差f(x1)-f(x2);(3)變形;(4)判號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負(fù))；(5)定論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性)．3.利用單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：4.常見函數(shù)的單調(diào)性：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)在(-∞,+∞)上是減函數(shù)在(-∞,+∞)上是增函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)yox當(dāng)k<0時,yox當(dāng)k>0時,yox當(dāng)a<0時,yox當(dāng)a>0時,增函數(shù)減函數(shù)圖象圖象特征自左至右,圖象上升.自左至右,圖象下降.數(shù)量

特征y隨x的增大而增大.當(dāng)x1＜x2時，y1＜y2y隨x的增大而減小.當(dāng)x1＜x2時，y1＞y21.利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大(小)值

2.利用圖象求函數(shù)的最大(小)值

3.利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,則函數(shù)y=f(x)在x=a處有最小值f(a),在x=b處有最大值f(b);

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b).利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最大(小)值的方法1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;2.判斷函數(shù)的單調(diào)性(證明);5.求函數(shù)的最值或值域3.比較函數(shù)的大小函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用4.求參數(shù)的取值范圍【例1】函數(shù)y=x2-2|x|-3的單調(diào)遞增區(qū)間是____________;[-1,0],[1,+)-21-1oxy一、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【1】求函數(shù)y=|x+1|－|1－x|

的單調(diào)區(qū)間.解:由y=|x+1|－|1－x|,知xy-112-2o故函數(shù)的增區(qū)間為[－1,1].練一練【2】畫出函數(shù)y=|x2-2x－3|的圖象.解:當(dāng)x2-2x-3≥0,即x

≤－1或x≥3時,y=x2-2x－3=(x-1)2－4.當(dāng)x2-2x－3＜0,即－1＜x＜3時,y=－(x2-2x-3)=－(x-1)2+4.xyo4-431-1【3】求函數(shù)y=2|x-1|-3|x|的最大值.解:(1)當(dāng)x<0時,y=-2(x-1)+3x=x+2;(2)當(dāng)0≤x<1時,y=-2(x-1)-3x=-5x+2;(3)當(dāng)x≥1時,y=2(x-1)+3x=-x-2.xyO備課資料1.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為______.2.函數(shù)y=|2x-1|的單調(diào)增區(qū)間是______.鞏固練習(xí)【例2】證明函數(shù)在 上是減函數(shù).二、判斷(證明)函數(shù)的單調(diào)性證明：任取因此在上是減函數(shù).【例2】證明函數(shù)在二、判斷(證明)函數(shù)的單調(diào)性上是減函數(shù).另解:yxo向上平移向左平移2個單位3個單位所以函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是練一練【1】寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.xyo例3.已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)t都有比較f(1),f(2),f(3)的大小.三、利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小【1】已知函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),則的大小關(guān)系為___________.練一練

例6.函數(shù)f(x)是定義在(0,+)上的遞減函數(shù),且f(x)<f(2x-3),求x的取值范圍.解:∵函數(shù)f(x)在(0,+)上為減函數(shù),∴x的取值范圍是.解之,得六、利用函數(shù)單調(diào)性解不等式【1】已知函數(shù)y=f(x)在定義域R上是單調(diào)減函數(shù),且f(a+1)>f(3-a),求實(shí)數(shù)a的取值范圍【2】函數(shù)y=f(x)是定義在(-1,1)上的減函數(shù),若f(2-a)>f(3-a),求實(shí)數(shù)a的取值范圍教材P11練習(xí)T4.教材P12A組T7,9,10.作業(yè)布置再見課堂小結(jié)1.函數(shù)單調(diào)性的定義：圖象法定義法2.函數(shù)單調(diào)性的判定：3.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用：(1)設(shè)元:對任意x1,x2∈D,且x1＜x2(2)作差:f(x1)-f(x2)(3)變形(4)判號(5)定論*求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

若函數(shù)f(x),g(x)在給定的區(qū)間I上具有單調(diào)性,(1)k＞0時,函數(shù)y=f(x)與y=kf(x)+b具有相同的單調(diào)性；(2)若f(x)恒為正或恒為負(fù)時,函數(shù)f(x)與1/f(x)具有相反的單調(diào)性.(3)若函數(shù)f(x),g(x)都是增(減)函數(shù),則f(x)+g(x)仍是增(減)函數(shù).(4)若f(x)＞0,g(x)＞0,且f(x)與g(x)都是增(減)函數(shù),則f(x)·g(x)也是增(減)函數(shù);若f(x)＜0,g(x)＜0,且f(x)與g(x)都是增(減)函數(shù),則f(x)·g(x)是減(增)函數(shù).單調(diào)性性質(zhì)規(guī)律總結(jié):(4)奇函數(shù)在對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.(5)復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性由f(x)和g(x)的單調(diào)性共同決定(同則增異則減).單調(diào)性性質(zhì)規(guī)律總結(jié):復(fù)合函數(shù)：y=f[g(x)]令u=g(x)則y=f(u)內(nèi)函數(shù)外函數(shù)y=f[g(x)]原函數(shù)以x為自變量以u為自變量以x為自變量(5)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)單調(diào)性結(jié)論：①當(dāng)內(nèi)外函數(shù)在各自定義域內(nèi)同增同減時,原函數(shù)增;②當(dāng)內(nèi)外函數(shù)在各自定義域內(nèi)一增一減時,原函數(shù)減.(1)f(x)是[a,b]上增函數(shù),若存在x1,x2∈[a,b]且x1<x2,則f(x1)<f(x2).(2)若存在x1,x2∈[a,b]且x1<x2,則f(x1)<f(x2)f(x)是[a,b]上增函數(shù).(3)函數(shù)f(x)在[a,b]上滿足f(a)<f(b)，則f(x)在[a,b]上是增函數(shù).(4)若存在x1,x2∈[a,b]且x1<x2,則f(x1)>f(x2)f(x)是[a,b]上減函數(shù).（正確）（錯誤）（錯誤）（錯誤）【2】判斷下列兩個命題的正誤：練一練練習(xí)：注意：在原函數(shù)定義域內(nèi)討論函數(shù)的單調(diào)性補(bǔ)充練習(xí)：(1)f(x)是[a,b]上增函數(shù),若存在x1,x2∈[a,b]且x1<x2,則f(x1)<f(x2).(2)若存在x1,x2∈[a,b]且x1<x2,則f(x1)<f(x2)f(x)是[a,b]上增函數(shù).(3)函數(shù)f(x)在[a,b]上滿足f(a)<f(b)，則f(x)在[a,b]上是增函數(shù).(4)若存在x1,x2∈[a,b]且x1<x2,則f(x1)>f(x2)f(x)是[a,b]上減函數(shù).（正確）（錯誤）（錯誤）（錯誤）【1】判斷下列說法是否正確.練一練①定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)>f(1),則函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)().②定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)>f(1),則函數(shù)f(x)在R上不是減函數(shù)().③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上對于任意的x1,x2滿足,則f(x)在區(qū)間I上為單調(diào)增函數(shù)().yxO12f(1)f(2)√√X練一練【2】判斷下列說法是否正確.⑤定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0]上是增函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)上也是增函數(shù),則函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)().⑥定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0]上是增函數(shù),在區(qū)間[0,+∞)上也是增函數(shù),則函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)().yxO√X④函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上對于任意的x1,x2,且x1<x2,滿足,則f(x)在區(qū)間I上為單調(diào)減函數(shù)().X

復(fù)合函數(shù)

f[g(x)]

的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)

u=g(x),

y=f(u)

的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律如下：函數(shù)單調(diào)性u=g(x)

增增減減y=f(u)增減增減y=f[g(x)]增減減增四、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性五、函數(shù)單調(diào)性的判定方法1.定義法:主要適用于抽象函數(shù)或已知函數(shù).

2.導(dǎo)數(shù)法:適用于具體函數(shù).3.圖像法:4.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定:5.和函數(shù)單調(diào)性的判定:9.已知函數(shù)

f(x)

的定義域?yàn)?/p>

(-∞,0)∪(0,+∞),且滿足條件:①

f(xy)=f(x)+f(y),②

f(2)=1,③

當(dāng)

x>1

時,f(x)>0.(1)求證:f(x)為偶函數(shù)；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)求不等式

f(x)+f(x-3)≤2的解集.(1)證:

在①中令

x=y=1,得

f(1)=f(1)+f(1)f(1)=0.令

x=y=-1,得

f(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=0.再令

y=-1,得

f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x).∴f(x)

為偶函數(shù).先討論

f(x)

在

(0,+∞)

上的單調(diào)性,任取x1,

x2,

設(shè)x2>x1>0,∴f(x2)>f(x1).∴f(x)

在

(0,+∞)

上是增函數(shù),

∴由

(1)

知,f(x)

在(-∞,0)

上是減函數(shù).

∵偶函數(shù)圖象關(guān)于

y

軸對稱,(2)解:

在①中令y=

,得:x1∴由③知

f(

)>0.

x2x1∵

>1,x2x1f(1)=f(x)+f(

)f(

)

=-f(x),x

1x

1則

f(x2)-f(x