湖南省郴州市行廊中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析

湖南省郴州市行廊中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d有兩個極值點x1，x2，若點P（x1，f（x1））為坐標原點，點Q（x2，f（x2））在圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上運動時，則函數(shù)f（x）圖象的切線斜率的最大值為（）A．3+ B．2+ C．2+ D．3+參考答案：D【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】先求出c=0，d=0，得到x2=﹣＞0，f（x2）=＞0，判斷出a＜0，b＞0，得到kmax=，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，從而求出k的最大值即可．【解答】解：f′（x）=3ax2+2bx+c，若點P（x1，f（x1））為坐標原點，則f′（0）=0，f（0）=0，故c=0，d=0，∴f′（x）=3ax2+2bx=0，解得：x2=﹣，∴f（x2）=，又Q（x2，f（x2））在圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上，∴x2=﹣＞0，f（x2）=＞0，∴a＜0，b＞0，∴kmax=﹣=，而表示⊙C上的點Q與原點連線的斜率，由，得：（1+k2）x2﹣（6k+4）x+12=0，得：△=0，解得：k=，∴的最大值是2+，∴kmax=3+，故選：D．2.（多選題）關于函數(shù)，下列判斷正確的是（

）A.是f(x)的極大值點B.函數(shù)有且只有1個零點C.存在正實數(shù)k，使得成立D.對任意兩個正實數(shù)，，且，若，則.參考答案：BD【分析】A.求函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合函數(shù)極值的定義進行判斷B.求函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和零點個數(shù)進行判斷即可C.利用參數(shù)分離法，構造函數(shù)g（x），求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值進行判斷即可D.令g（t）＝f（2+t）﹣f（2﹣t），求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性進行證明即可【詳解】A.函數(shù)的的定義域為（0，+∞），函數(shù)的導數(shù)f′（x），∴（0，2）上，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，（2，+∞）上，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，∴x＝2是f（x）的極小值點，即A錯誤；B.y＝f（x）﹣xlnx﹣x，∴y′10，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（1）﹣1ln1﹣1=1>0，f（2）﹣2ln2﹣2=ln2﹣1<0，∴函數(shù)y＝f（x）﹣x有且只有1個零點，即B正確；C.若f（x）＞kx，可得k，令g（x），則g′（x），令h（x）＝﹣4+x﹣xlnx，則h′（x）＝﹣lnx，∴在x∈（0，1）上，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，x∈（1，+∞）上函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，∴h（x）≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，∴不存在正實數(shù)k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正確；D.令t∈（0，2），則2﹣t∈（0，2），2+t＞2，令g（t）＝f（2+t）﹣f（2﹣t）ln（2+t）ln（2﹣t）ln，則g′（t）0，∴g（t）在（0，2）上單調(diào)遞減，則g（t）＜g（0）＝0，令x1＝2﹣t，由f（x1）＝f（x2），得x2＞2+t，則x1+x2＞2﹣t+2+t＝4，當x2≥4時，x1+x2＞4顯然成立，∴對任意兩個正實數(shù)x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）＝f（x2），則x1+x2＞4，故D正確故正確的是BD，故選：BD．【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)零點個數(shù)的判斷，以及構造法證明不等式，綜合性較強，運算量較大，有一定的難度．3.一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到圓面的距離是4cm，則該球的體積是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略4.在平面直角坐標系中，直線與圓相交于兩點，則弦的長等于(

)

參考答案：選

圓的圓心到直線的距離

弦的長5.設為直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是A．若，，則 B．若，，則C．若，，則

D．若，，則參考答案：D6.“sinxcosx＞0”是“sinx＋cosx＞1”的A．必要不充分條件

B．充分不必要條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略7.已知函數(shù)是定義在實數(shù)集R上得不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)都有，則=（

）A．0

B.

C.1

D.參考答案：A8.下列函數(shù)中，偶函數(shù)是（）A．y=2x﹣B．y=xsinx C．y=excosx D．y=x2+sinx參考答案：B【考點】函數(shù)奇偶性的判斷．【分析】利用奇偶函數(shù)的定義，進行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：對于A，是奇函數(shù)，對于B，f（﹣x）=（﹣x）sin（﹣x）=xsinx，是偶函數(shù)；對于C，f（﹣x）=e﹣xcos（﹣x）=e﹣xcosx，非奇非偶函數(shù)；對于D，f（﹣x）=x2﹣sinx，非奇非偶函數(shù)，故選B．【點評】本題考查奇偶函數(shù)的定義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．9.設向量，，定義一種向量積：．已知向量，，點P在的圖象上運動，點Q在的圖象上運動，且滿足（其中O為坐標原點），則在區(qū)間上的最大值是(

)A．4

B．2

C．

D．參考答案：10.已知等差數(shù)列{an}的前7項和為21，且，則數(shù)列的前10項和為A.1024 B.1023 C.512 D.511參考答案：B因為等差數(shù)列的前項和為，所以，所以，又，所以公差，所以，所以，顯然數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前項和為．故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.兩個正整數(shù)的公因數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，例如：2與7互質(zhì)，3與4互質(zhì)，在2，3，4，5，6，7的任一排列中使相鄰兩數(shù)都互質(zhì)的不同排列方式共有

種（用數(shù)字作答）。參考答案：7212.在中，，且，則此三角形為____________。參考答案：等邊三角形略13.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù))；以原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線的極坐標方程為 .參考答案：,或略14.設等比數(shù)列的前n項和為Sn,若則__________.參考答案：15.設橢圓C：+=1與函數(shù)y=tan的圖象相交于A1，A2兩點，若點P在橢圓C上，且直線PA2的斜率的取值范圍[﹣2，﹣1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】橢圓C：+=1與函數(shù)y=tan的圖象相交于A1，A2兩點，可知：A1，A2兩點關于原點對稱，設A1（x1，y1），A2（﹣x1，﹣y1），P（x0，y0），分別代入橢圓方程可得：=．由于直線PA2的斜率k1的取值范圍[﹣2，﹣1]，可得﹣2≤≤﹣1，==k2，可得k1k2=．即可得出．【解答】解：∵橢圓C：+=1與函數(shù)y=tan的圖象相交于A1，A2兩點，∴A1，A2兩點關于原點對稱，設A1（x1，y1），A2（﹣x1，﹣y1），=1，=．設P（x0，y0），則=1，可得：=．∴=．∵直線PA2的斜率k1的取值范圍[﹣2，﹣1]，∴﹣2≤≤﹣1，==k2，∴k1k2===．∴，∴﹣1，解得．那么直線PA1斜率的取值范圍是．故答案為：．16.設函數(shù)，若為奇函數(shù)，則=__________參考答案：

解析：

要使為奇函數(shù)，需且僅需，即：。又，所以只能取，從而。17.如圖，CD是山的高，一輛汽車在一條水平的公路上從正東方向往正西方向行駛，在點A處時測得點D的仰角為30°，行駛300m后到達B處，此時測得點C在點B的正北方向上，且測得點D的仰角為45°，則此山的高CD=

m．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（08年全國卷Ⅰ理）（本小題滿分10分）（注意：在試題卷上作答無效）設的內(nèi)角所對的邊長分別為，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值．參考答案：【解析】（Ⅰ）由正弦定理得依題意得整理得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，故都是銳角，于是且當時，上式取等號．因此的最大值為．19.已知函數(shù)(，)的圖象關于直線對稱，兩個相鄰的最高點之間的距離為2π．（1）求的解析式；（2）在△ABC中，若，求的值．參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由題意可求正弦函數(shù)的周期，利用周期公式可求ω，由圖象關于直線對稱，可求，結(jié)合范圍，可求，即可求得函數(shù)解析式．（2）由已知可求，結(jié)合范圍A+∈（π，），利用同角三角函數(shù)基本關系式可求cos（A+），根據(jù)兩角差的正弦函數(shù)公式可求sinA的值．【詳解】（1）∵函數(shù)（ω＞0，）的圖象上相鄰兩個最高點的距離為2π，∴函數(shù)的周期T＝2π，∴＝2π，解得ω＝1，∴f（x）＝sin（x+φ），又∵函數(shù)f（x）的圖象關于直線對稱，∴，k∈Z，∵，∴＝，∴f（x）＝sin（x+）．（2）在△ABC中，∵，A∈（0，π），∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查由的部分圖象確定其解析式，考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20.已知函數(shù)f（x）的定義域為[﹣2，2]，若對于任意的x，y∈[﹣2，2]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，有f（x）＞0．（Ⅰ）證明：f（x）為奇函數(shù)；（Ⅱ）判斷f（x）在[﹣2，2]上的單調(diào)性，并證明；（Ⅲ）設f（1）=1，若f（x）＜logam（a＞0且a≠1）對?x∈[﹣2，2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】抽象函數(shù)及其應用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】（Ⅰ）令x=y=0可得f（0）=0，令y=﹣x及奇函數(shù)的定義即得證；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）在[﹣2，2]上的單調(diào)性，并證明；（Ⅲ）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)將不等式恒成立進行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）令x=y=0可得f（0）=0，令y=﹣x則f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．（Ⅱ）f（x）在[﹣2，2]上為單調(diào)遞增函數(shù)．…任取﹣2≤x1＜x2≤2，則f（x1）﹣f（x2）=f（x1）﹣f[（x2﹣x1）+x1]=f（x1）﹣[f（x2﹣x1）+f（x1）]=﹣f（x2﹣x1），因為當x＞0時，f（x）＞0，且x2﹣x1＞0，所以f（x2﹣x1）＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以函數(shù)f（x）在[﹣2，2]上為單調(diào)遞增函數(shù)．…（III）因為f（x）在[﹣2，2]上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f（x）max=f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=2，若f（x）＜logam（a＞0且a≠1）對?x∈[﹣2，2]恒成立，則等價為f（x）max＜logam（a＞0且a≠1）對?x∈[﹣2，2]恒成立，即2＜logam（a＞0且a≠1）對?x∈[﹣2，2]恒成立，若a＞1，則m＞a2，此時實數(shù)m的取值范圍是（a2，+∞），若0＜a＜1，則0＜m＜a2，此時實數(shù)m的取值范圍是（0，a2）．【點評】本題主要考查抽象函數(shù)的應用，以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應用，利用定義法是解決本題的關鍵．21.已知函數(shù)f（x）=alnx++1．（Ⅰ）當a=﹣時，求f（x）在區(qū)間[，e]上的最值；（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅲ）當﹣1＜a＜0時，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．【分析】（Ⅰ）求導f（x）的定義域，求導函數(shù)，利用函數(shù)的最值在極值處與端點處取得，即可求得f（x）在區(qū)間[，e]上的最值；（Ⅱ）求導函數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，可確定函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當﹣1＜a＜0時，f（x）min=f（），即原不等式等價于f（）＞1+ln（﹣a），由此可求a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）當a=﹣時，，∴．∵f（x）的定義域為（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（x）在區(qū)間[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，而f（1）=，f（）=，f（e）=，∴f（x）max=f（e）=，f（x）min=f（1）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①當a+1≤0，即a≤﹣1時，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②當a≥0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③當﹣1＜a＜0時，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）∴f（x）在（，+∞）單調(diào)遞增，在（0，）上單調(diào)遞減；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣綜上，當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當﹣1＜a＜0時，f（x）在（，+∞）單調(diào)遞增，在（0，）上單調(diào)遞減；當a≤﹣1時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當﹣1＜a＜0時，f（x）min=f（）即原不等式等價于f（）＞1+ln